[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4]El dominio del Tiempo[/url].[/color][br][br]Imagina una rueda que gira sobre un plano horizontal, sin deslizarse. Un punto de su circunferencia realizará una combinación de dos movimientos: el rectilíneo uniforme (MRU) del centro de la rueda (punto blanco) y el circular uniforme (MCU) del punto que gira alrededor de ese centro (punto verde). Esta combinación da lugar al recorrido del punto de la rueda (punto naranja), un recorrido curvo denominado [i]cicloide[/i] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url] (también conocida como [i]la Helena de la Geometría[/i], por las muchas discusiones físico-matemáticas que generó a lo largo de la historia).[br][br]Pulsa el botón [img]https://www.geogebra.org/resource/yxbcmb2f/CZJZaLQBirTUHVXU/material-yxbcmb2f.png[/img] para ver esta curva.[br][br]Como puedes observar, a partir de su definición, hay dos consecuencias evidentes. La primera es que la cicloide una curva periódica, pues, a cada vuelta de rueda, el punto comienza el mismo trazado. La segunda es que su período es la longitud de la circunferencia (2π[i]r[/i], siendo [i]r[/i] el radio de la rueda), pues en cada vuelta la rueda recorre su perímetro. Varía el valor de [i]r[/i] para comprobarlo.[br][br]En la construcción, hemos limitado la curva a los valores de un ángulo [i]β[/i] entre -2π y 2π. Para cada valor de [i][i]β[/i][/i], el ángulo del punto verde es -[i]β[/i] - π/2. Así que su posición es (recuerda lo que hemos visto sobre las [url=https://www.geogebra.org/m/nfjy7ug4#material/zfxfwd9n]coordenadas polares[/url]): ([i]r[/i] ; -[i][i][i]β[/i][/i][/i] - π/2). Para ese mismo valor [i][i][i]β[/i][/i][/i], el punto blanco se desplaza en horizontal, a una altura [i]r[/i], la longitud del arco de rueda correspondiente: [i]β[/i] [i]r[/i]. Así que su posición es ([i]β[/i] [i]r[/i], [i]r[/i]). Por lo tanto, la posición del punto naranja es:[br][br] ([i]β[/i] [i]r[/i], [i]r[/i]) + ([i]r[/i] ; -[i][i][i]β[/i][/i][/i] - π/2)[br][br]Esta es la ecuación de la cicloide. Con GeoGebra, podemos representar los dos arcos mostrados de la curva como:[br][br] c([i]β[/i]) = ([i]β[/i] r, r) + (r ; -[i]β[/i] - π/2), -2π ≤ [i]β[/i] ≤ 2π[br][br]o bien, usando el comando Curva:[br][br] Curva(([i]β[/i] r, r) + (r ; -[i]β[/i] - π/2), [i]β[/i], -2π, 2π)[br][br]En las siguientes actividades haremos uso de esta curva, pero invertida. Activa la casilla "Invierte" para verla. En la cicloide invertida, la posición del punto naranja viene dada, para el ángulo [i]β[/i], por:[br][br] ([i]β[/i] [i]r[/i], [i]r[/i]) + ([i]r[/i] ; [i][i][i]β[/i][/i][/i] + π/2)

[color=#0000ff][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]