El rastro de color dinámico puede emplearse para crear [url=https://www.geogebra.org/m/cpuye9j7]mapas de calor[/url] pero también para visualizar algunas “demostraciones sin palabras”. Para ello, emplearemos los canales HSL. Mientras los dos últimos (Saturación, Luminosidad) se mantendrán con valores constantes, el canal H ([i]hue[/i], es decir, tono o matiz) variará entre 0 y 1, siguiendo los colores del arco iris. Gracias a esta elección, resultará sencilla la asociación entre la orientación de un segmento o de un vector y su color. Es decir, cada color representará un ángulo diferente. [br][br]Aplicaremos este método a tres tipos distintos de construcción: dos problemas revisados por Papert, el método de Mamikon para calcular áreas barridas por un segmento tangente y el espectacular cálculo de Feynman que muestra por qué la luz elige siempre el camino más breve.

[url=https://es.wikipedia.org/wiki/Seymour_Papert]Seymour Papert[/url] fue uno de los tres desarrolladores del lenguaje [i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Logo_(lenguaje_de_programaci%C3%B3n)]Logo[/url][/i]. Además, se preocupó de aspectos didácticos de las matemáticas, como muestra su libro [i][url=https://tekberriak.files.wordpress.com/2012/09/desafio-a-la-mente.pdf&ved=2ahUKEwig_O6sq7aVAxVfP_sDHQ2jHgEQFnoECCMQAQ&usg=AOvVaw0Xtm6orcxvxAKoN33IvZFx]Desafío a la mente: computadoras y educación[/url][/i]. Veamos aquí cómo una sola construcción dinámica puede ayudar a nuestra intuición a reinterpretar dos resultados chocantes. Se trata de dos problemas muy conocidos, pero no por ello menos sorprendentes.[br][br][b]Problema 1[/b]. Una moneda de radio [math]r[/math] rueda alrededor de otra idéntica, sin deslizarse. Cuando haya completado una revolución, ¿cuántas vueltas habrá dado? La intuición puede que nos diga que la respuesta es 1, ya que la moneda rueda alrededor de otra que tiene su misma circunferencia. Sin embargo, al realizar el experimento, comprobamos que da 2 vueltas. ¿Por qué?[br][br][b]Problema 2[/b]. Supondremos la Tierra como una esfera perfecta, sólida y lisa. Imaginemos un hilo ceñido alrededor del ecuador, con una longitud de 40.000 km. Alguien propone colocar el hilo sobre postes de [math]r=2[/math] metros de alto, así que el hilo deberá ser más largo. ¿Cuánto más largo? Papert asegura que muchas personas saben [i]calcular [/i]la respuesta. Pero, antes de hacerlo, la mayoría intuye que se necesitará "mucho" más hilo, para ser añadido "a lo largo" de 40.000 km, cuando en realidad solo necesitamos 12 metros y pico de hilo adicional.[br][br]En vez de desterrar nuestra intuición como "ineficaz" para abordar ambos problemas, Papert propone reeducar esa intuición mediante una aproximación sucesiva a la idea de "curva" como repetición de un pequeño avance y un pequeño giro, al estilo Logo. Para ello, sustituimos en ambos problemas la circunferencia central por un polígono regular (de 3, 4, 5, 6, 7... lados) de igual perímetro que la circunferencia. Ahora, [i]miremos [/i]de nuevo ambos problemas:[br][br][b]Problema 1[/b]. Al llegar a cada vértice, la moneda que rueda ha de girar un ángulo extra. Y la suma de todos los ángulos extra constituye una vuelta extra completa. Así que a la vuelta que da la moneda al rodar sobre los lados (cuya longitud total es [math]2\pi r[/math]) hay que añadir esa vuelta adicional. ¿Sencillo, no?[br][br][b]Problema 2[/b]. El hilo sobre postes está a [math]r=2[/math] metros (el radio de la circunferencia) del polígono. A lo largo de los lados, el hilo está recto. Los segmentos rectos (en rojo) del hilo tienen la misma longitud que los lados del polígono, así que la longitud adicional se encuentra exclusivamente en las esquinas. Al doblar las esquinas, recorre una circunferencia de radio [math]r[/math] metros, es decir, hace falta [math]2\pi r[/math] (algo más de 12 metros) de hilo.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/p2jz68bq/9hBMlL6cDWZ99pJE/material-p2jz68bq.png[/img]Observa, en el segundo problema, que el aumento del tamaño del polígono no modifica la longitud adicional, pues esta solo se da en las esquinas. Es decir, obtenemos el mismo resultado colocando postes de 2 m de alto sobre la Tierra que sobre una pelota de baloncesto. Esto es consecuencia de que si el poste no girara, es decir, si la Tierra fuera plana, no habría que añadir nada de hilo. Lo que se añade es porque el poste gira. ¿Cuánto? Pues, evidentemente, en total, una vuelta completa, es decir, [math]2\pi[/math] radianes. Así que el hilo que hay que añadir tendrá una longitud de [math]2\pi[/math] veces la altura del poste, sea cual sea el radio de la Tierra.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/kbjjembp/jqnANfyV3iERALhs/material-kbjjembp.png[/img] En el segundo problema, el área barrida por el poste que gira alrededor del polígono no depende del número de lados del polígono, es siempre igual a [math]3\pi r^2[/math]. ¿Por qué?

[color=#38761d][color=#38761d][color=#38761d][img]https://www.geogebra.org/resource/th7bfy4d/L6zFWgbKuGKIITlK/material-th7bfy4d.png[/img] [/color][/color]Puedes descargar la construcción [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/vwpz2w9y]directamente aquí[/url]. [/color]

Vamos a intentar averiguar el área de la corona circular de la siguiente figura.[br][br][center][img]https://www.geogebra.org/resource/twzyxehn/EqMAKwJAAOO4jaQH/material-twzyxehn.png[/img][/center]Para ello, recreamos la figura con GeoGebra, colocando la cuerda en el eje Y, como muestra la construcción. Al mover C([math]r[/math], 0) en el eje X, el área de la corona no varía. El radio AC es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 40 y [math]r[/math]. Por lo tanto, 40[sup]2[/sup] = AC[sup]2[/sup] - [math]r^2[/math][sup] [/sup]= área corona/[math]\pi[/math]. Así que el área de la corona no depende de [math]r[/math].[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/kbjjembp/jqnANfyV3iERALhs/material-kbjjembp.png[/img] ¿Cuál es entonces el valor exacto de esa área?[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/kbjjembp/jqnANfyV3iERALhs/material-kbjjembp.png[/img] Otro [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_servilletero]problema similar[/url], versión 3D de este, consiste en averiguar el volumen de lo que queda de una esfera maciza que ha sido completamente perforada con un orificio de 10 cm pasando por su centro. ¿Sabrías resolverlo? (Al igual que antes, no hace falta saber ni el radio de la esfera ni del orificio.)

[color=#38761d][color=#38761d][color=#38761d][img]https://www.geogebra.org/resource/th7bfy4d/L6zFWgbKuGKIITlK/material-th7bfy4d.png[/img] [/color][/color]Puedes descargar la construcción [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/g6jpzhxq]directamente aquí[/url].[/color]

Un rayo de luz va de A a B, reflejándose en un espejo. Derivando [math]d(x)[/math], podemos hallar el mínimo trayecto posible y deducir que es aquel en que los ángulos [math]\alpha[/math] y [math]\beta[/math] son iguales:[br][center][math]d'\left(x\right)=\frac{2\left(x-x_A\right)}{2a}-\frac{2\left(x_B-x\right)}{2b}=0\Longleftrightarrow\frac{x-x_A}{a}=\frac{x_B-x}{b}\Longleftrightarrow cos\left(\alpha\right)=cos\left(\beta\right)[/math][/center]Este mínimo trayecto corresponde al recorrido más breve: es el camino que seguirá la luz porque es el que menos tiempo emplea ([i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Fermat]principio de Fermat[/url][/i]). Ahora bien, ¿cómo sabe la luz cuál es ese camino?[br][br]La respuesta es simple, no lo sabe. Esa es precisamente una de las ideas más sorprendentes y elegantes de la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_caminos_(mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica)]formulación de Feynman[/url]: lo que en la física clásica parece un problema global de optimización surge, en la descripción cuántica, como una consecuencia automática de la superposición e interferencia. Es parecido (aunque mucho más extravagante y sutil) a preguntarse cómo "sabe" una [url=https://www.geogebra.org/m/gbtuf9qk]cuerda vibrante[/url] resolver la [i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda]ecuación de onda[/url][/i]. La cuerda no resuelve ninguna ecuación diferencial; simplemente obedece las acciones locales, y el resultado global coincide con la solución matemática.[br][br]En esta construcción puedes ver un modelo del [b]cálculo[/b] de esa solución (como insistió el propio Feynman, no es que los fotones se comporten "realmente" así, sino que su comportamiento final puede calcularse así). Para alcanzarla, Feynman piensa de modo similar que al lanzar una moneda al aire: tanto el estado inicial de la moneda como del fotón son indeterminados, así que solo podemos hallar una probabilidad. Y para ello necesitamos contemplar el espacio de sucesos ([i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral]espacio muestral[/url][/i]).[br][br]Algunos fotones salen de A y una vez que llegan al espejo se dirigen a B. En ese tiempo, sus fases (como números complejos asignados a la [i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_onda]función de onda[/url][/i]) van cambiando periódicamente. Al alcanzar el punto B, cada uno de ellos tendrá una fase diferente, por lo que la suma de todos será prácticamente nula (interferencia destructiva). ¿Todos? No. Los primeros en llegar alcanzan B casi con la misma fase, por lo que su interferencia es constructiva. Es el rayo que vemos. Resumiendo, la luz viaja por el camino más breve por pura probabilidad.[br][br]Elementos de esta construcción:[list][*]El número [math]n[/math] indica el número de caminos considerados posibles. (En la práctica, este número es infinito.)[/*][*]La gráfica [math]d[/math] corresponde a la longitud de cada trayectoria, en función de [math]x[/math].[/*][*]La gráfica [math]d'[/math] es la función derivada de [math]d[/math].[/*][*]La ordenada de los pequeños puntos blancos indica la diferencia de longitud entre un camino y el siguiente. Observa cómo se ajustan a la gráfica de la derivada [math]d'(x)[/math]. [img]https://www.geogebra.org/resource/kbjjembp/jqnANfyV3iERALhs/material-kbjjembp.png[/img] ¿Por qué? [br][/*][*]El punto M corresponde al mínimo de la función [math]d(x)[/math].[/*][*]El sentido y color de los pequeños vectores indica la fase, como número complejo, de cada fotón. Cada fase varía periódicamente con el tiempo, pero se detiene al ser detectado el fotón en B.[/*][*]Si la casilla "[math]\Sigma[/math]vectores" está activada, se mostrará la suma (vector negro en línea discontinua) de los pequeños vectores. Puedes mover el punto P a la zona que desees de la vista gráfica, para mejorar la visualización. Observa que cuando los distintos fotones alcanzan B, la mayoría de los vectores se arremolinan, mostrando que se anulan mutuamente. La suma solo es constructiva en los vectores centrales, correspondientes a los primeros fotones en alcanzar B.[/*][/list][img]https://www.geogebra.org/resource/p2jz68bq/9hBMlL6cDWZ99pJE/material-p2jz68bq.png[/img]Si consideramos infinitos vectores de tamaño infinitesimal, al colocar un vector detrás del otro para sumarlos geométricamente, la figura resultante sería una [i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide]clotoide[/url][/i] (o espiral de Euler, o espiral de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Marie_Alfred_Cornu]Cornu[/url]).[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/p2jz68bq/9hBMlL6cDWZ99pJE/material-p2jz68bq.png[/img][url=https://fisicatabu.com/el-comportamiento-cuantico-de-la-luz/]Más información[/url].

[color=#38761d][color=#38761d][color=#38761d][img]https://www.geogebra.org/resource/th7bfy4d/L6zFWgbKuGKIITlK/material-th7bfy4d.png[/img] [/color][/color]Puedes descargar la construcción [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/d5aarxyb]directamente aquí[/url]. [/color]

[list][*]APOSTOL, T. M. & MNATSAKANIAN, M. A. (2012). [i]New horizons in geometry[/i]. The Mathematical Association of America.[/*][*]LOSADA, R. (2022): [i][url=https://revistasuma.fespm.es/revistas-revistas/revista-102.html]Mapas de c@lor con GeoGebra[/url][/i]. [i]SUMA[/i], 102. [br][/*][*]PAPERT, S. (1981): [i][url=https://tekberriak.files.wordpress.com/2012/09/desafio-a-la-mente.pdf&ved=2ahUKEwig_O6sq7aVAxVfP_sDHQ2jHgEQFnoECCMQAQ&usg=AOvVaw0Xtm6orcxvxAKoN33IvZFx]Desafío a la mente: computadoras y educación[/url][/i]. Galápago.[br][/*][/list]