Práctica final GeoGebra y la Tercera Dimensión
En este libro podemos encontrar todas las actividades realizadas en el curso, junto con los enlaces más destacados de cada una de las unidades vistas.
Table of Contents
- Construcción de figuras en el espacio
- prismas y pirámides
- Prismas y Pirámides
- Volumen de cilindro y prisma
- Volumen de cilindro, cono y esfera
- Volumen Paralelepípedo
- Geometría analítica en el espacio
- Posiciones de rectas y planos
- ángulos directores
- Distancias y ángulos en el espacio
- Poliedros
- Cinco poliedros regulares convexos
- Poliedros inscritos. Euclides
- Omnipoliedro
- Plantilla para construir poliedros regulares
- Dualidad Dodecaedro-Icosaedro
- Dualidad Icosaedro-Dodecaedro
- Movimientos en el espacio
- Isometrías
- Introducción a las superficies y curvas en el espacio
- Superficies de revolución
- Toro-Banda de Moebius
- Algunos ejercicios y prácticas realizadas en el curso
- Superficie reglada
- Ejercicio Poliedros
- Esfera que pasa por 4 puntos
- Helicoide
- Pirámide, altura y apotema de su cara
prismas y pirámides
Posiciones de rectas y planos
Cinco poliedros regulares convexos
Se muestran los cinco poliedros regulares convexos. [br]Tetraedro. Cubo. Octaedro. Dodecaedro. Icosaedro.
Pulsa los botones de la izquierda para animar la construcción.
Isometrías
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. [/color][br][br]Las isometrías son transformaciones afines que conservan las longitudes. Es decir, dados dos puntos P y Q sometidos a la misma isometría, la distancia de P' a Q' es la misma que la de P a Q.[br][br]Por lo tanto, las isometrías mantienen la forma (los ángulos) y el tamaño de las figuras planas sometidas ellas. Lo único que puede variar es la posición o la orientación.[br][br]Esta característica de las isometrías se traduce en una importante propiedad en las matrices de cambio de base. Resulta que:[br][center][color=#cc0000]M=([b]a[/b] | [b]b[/b][color=#cc0000] | [b]c[/b][/color]) es la matriz de cambio de base de una [b]isometría[/b][math]\Longleftrightarrow[/math]M es una [b]matriz ortogonal[/b].[/color][/center]Esto equivale a que los vectores [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] son [color=#cc0000][b]ortogonales y unitarios[/b][/color] (es decir, [i]ortonormales[/i]). Además, el determinante de M ha de valer 1 o -1. En el primer caso determinará un movimiento que conserva la orientación: el giro. En el segundo, determinará un movimiento que invierte la orientación: la reflexión. Ambos tipos de movimientos, reunidos, forman el llamado [color=#cc0000]grupo ortonormal[/color], simbolizado como [color=#cc0000]O(3)[/color] (el número 3 corresponde a la dimensión del espacio).[br][br]En la construcción, puedes elegir las posiciones de [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] (esta última viene determinada por [b]a[/b] y [b]b[/b], salvo en el sentido del vector). Observa que en todos ellos la imagen del cubo unidad sigue siendo un cubo unidad (no varía la forma ni el tamaño).
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Superficies de revolución
Larson 11.6: Superficies en el espacio
Para este tipo de superficies necesitaremos una [b][color=#0000ff]curva[/color][/b] o [b][color=#0000ff]directriz[/color][/b] en un plano (x-z, y-z o x-y). [br][br]Luego, dicha [b][color=#0000ff]curva[/color][/b] o [b][color=#0000ff]directriz [/color][/b]girará en torno a uno de los ejes del que está compuesto. Por lo que se verán circunferencias en torno al eje de rotación. Por ejemplo, a continuación verás curvas en diversos ejes de coordenadas.[br][br][center][img]http://www.wikimatematica.org/images/f/f0/Superficie_de_revolucion.JPG[/img] [/center]
Superficies de revolución
En la aplicación de abajo, tienes la función de la [b][color=#0000ff]curva[/color][/b] o [b][color=#0000ff]directriz[/color][/b]: [math]y=f\left(z\right)[/math][br]Como te puedes dar cuenta, se relacionan las variables [b]y[/b] y [b]z[/b]. Por lo tanto, el plano sobre el que se dibuja la curva es el y-z.[br][br]Dicha curva la puedes hacer girar o [i]animar[/i] en torno al eje z o al eje y. Al girar en torno al eje z[sup]+[/sup], los puntos de la función forman circunferencias de radio [b]r[/b]. [br][br][center][math]x^2+y^2=r^2[/math][/center][left][b][color=#ff0000]Nota:[/color][/b] Estas circunferencias son [i]paralelas[/i] al plano x-y. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia será [math]x^2+y^2=r^2[/math].[br][br]Dicho radio [b]r [/b]no es el mismo para cada valor de z; es más, depende de la altura en z. Por lo tanto, dicho radio se asocia con la función inicial.[/left][center][math]y=f\left(z\right)[/math][br][math]x^2+y^2=\left[f\left(z\right)\right]^2[/math][/center][b][color=#ff0000]Nota:[/color][/b] La ecuación final de la superficie de revolución debe quedar en término de las tres variables.
Ejemplo 1
Teniendo la ecuación:[br][center][math]x=3y[/math][/center]Que gira en torno al eje x.[br][br][b]Solución[/b][br]Entonces, se verán circunferencias ([i]vista frontal[/i]) en el plano yz:[br][center][math]y^2+z^2=\left[f\left(x\right)\right]^2[/math][br]R//[math]y^2+z^2=\left[\frac{x}{3}\right]^2[/math] [/center][b][color=#ff0000]Nota:[/color][/b] Recuerda que la función debe quedar en término de las tres variables.[br]Al graficar la solución en GeoGebra, colocamos [b]z[/b] en términos de [b]x[/b] y [b]y[/b]:[br][center][math]z=\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2-y^2}[/math][/center]
Ejemplo 2
Teniendo la ecuación:[br][center][math]y=\frac{1}{z}[/math][/center]Que gira en torno al eje z[sup]+[/sup].[br][br][b]Solución[/b][br]Que gire en torno al eje z[sup]+[/sup], significa que se verán circunferencias ([i]desde arriba[/i]) en el plano x-y, con la siguiente ecuación de la circunferencia. [br][center][math]x^2+y^2=r^2[/math][/center]El tamaño de las circunferencias es proporcional al valor de z. Por lo tanto, el radio de la circunferencia está relacionada al valor actual de z.[br][center][br][math]x^2+y^2=\left[f\left(z\right)\right]^2[/math][br]R//[math]x^2+y^2=\left[\frac{1}{z}\right]^2[/math][/center]Para graficar la solución en GeoGebra, colocamos [b]z[/b] en términos de [b]x[/b] y [b]y[/b]:[br][center][math]z=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math][/center]
En resumen
[b]Ecuación de la superficie de revolución[/b][br][br][b]1.[/b] Sí la función está en el plano xz o el plano xy; y gira en torno del eje x. [br]La ecuación de la superficie de revolución será [math]y^2+z^2=\left[r\left(x\right)\right]^2[/math].[br][br][b]2. [/b]Sí la función está en el plano xy o en el plano yz; y gira en torno del eje y.[br]La ecuación de la superficie de revolución será [math]x^2+z^2=\left[r\left(y\right)\right]^2[/math].[br][br][b]3.[/b] Sí la función está en el plano xz o el plano yz; y gira en torno del eje z. [br]La ecuación de la superficie de revolución será [math]x^2+y^2=\left[r\left(z\right)\right]^2[/math]
Ejercicio
Encontrar la ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva en el plano coordinado indicado, sobre el eje dado.[br][br]z[sup]2[/sup]= 4y; Plano yz; Eje de revolución y[br]z = 3y; Plano yz; Eje de revolución y[br][math]2z=\sqrt{4-x^2}[/math]; Plano xz; Eje de revolución x[br]xy = 2; Plano xy; Eje de revolución x[br]z = 4x - x[sup]2[/sup]; Plano xz; Eje de revolución z[br][br][b]z = ln y; Plano yz; Eje de revolución z ([/b]Abajo la solución graficada[b])[/b]
Pregunta
Te ayudo con la última ecuación: z = ln(y), que rota en torno a z.[br][br]Selecciona la opción que contenga la ecuación de las circunferencias que se formarán.