La mitad del cuadrado
Se presenta al alumnado como "El problema más fácil del curso" pero contiene un pequeño secreto. Conseguir un polígono en el interior de un cuadrado cuya área sea la mitad se puede convertir en un reto tan difícil como queramos, entrar en problemas numéricos, geométricos, algebraicos o estocásticos tan complicados como queramos, pasar por el infinito, por los fractales. Y llegar más allá: comunicar matemáticas, realizar conexiones, resolver problemas, generalizar, investigar, probar, demostrar... En resumen hacer matemáticas como las hacen los matemáticos. Toda una aventura
Inhoudstafel
- El problema. Primeros pasos
- Presentación. La mitad
- El cuadrado se mueve
- El enunciado. La mitad
- Primeros pasos
- Delimitar problemas
- El trabajo matemático en la clase
- Generalizar
- Una figura, varias soluciones.
- Hablar de matemáticas
- Demostrar
- Los polígonos. Geometría
- Los polígonos como punto de partida
- Los polígonos 2
- Polígonos 3. Rombos
- Combinaciones de soluciones
- El área
- El área
- Una visión dinámica del área
- El área dinámica. La explanada de Alicante
- La simetría y los mosaicos
- Los movimientos en el plano
- Mosaico del trapecio
- Los azulejos del Museo de Onda
- Los azulejos de la Alhambra
- Concurso de mosaicos en 1º de ESO
- Mosaicos seleccionados
- El museo del Azulejo de Onda
- Preparación del estarcido
- El taller del museo de Onda
- Los azulejos en el instituto
- Los mosaicos de 2017
- El mosaico del hueso
- Cuatro formas de construir el hueso
- El hueso y los movimientos en un mosaico
- Hueso
- División de un cuadrado en cuatro partes
- La mitad del cubo
- Mitad del cubo
- Mitad del cubo. Corte 4.
- Mitad del cubo. Rectángulos
- Mitad del cubo. Rombos
- Mitades ensambladas en cola de milano
- Ampliaciones
- Aproximaciones al infinito
- La mitad fractal
- Escher en medio cuadrado
- La mitad y el currículo de matemáticas
- Contenidos, objetivos, competencias.
- Recursos. Temporización
- Programación del curso
- La Mitad. Situación de aprendizaje para 1º de ESO.
- Bibliografía
- La Mitad. Situación de aprendizaje para 1º de ESO.
Presentación. La mitad
[size=100]Estas páginas son un compendio de tres artículos publicados a lo largo de mi vida profesional en los que he ido dando forma, junto con mis alumnos, a las ideas geométricas de los primeros cursos de ESO. [br][br][url=http://jmora7.com/GG5/Mitad/Docu/1991_Mitad_Suma8.pdf]La mitad del cuadrado.[/url] Revista SUMA núm. 8. Págs. 11 a 29 (FESPM, Granada). 199.1. Mitades con lápiz y la tecnología más avanzada del papel cuadriculado y el lápiz con punta fina pasra añadir precisión. El foco se puso en los procesos que llevan a los estudiantes a descubrir nuevos procedimientos para conseguir la mitad del cuadrado y en la organización de la clase para conseguir que unos procedimientos abran el camino a otros.[br][/size][size=150][size=100][br][url=http://jmora7.com/GG5/Mitad/Docu/2006_Mitad_Gaceta10-3.pdf]La mitad del cuadrado con geometría dinámica[/url]. La Gaceta de la RSME. Vol. 10.3 pags 743-762. 2007. Se exploran las ideas de construcción de un procedimiento con el software matemático Cabri II y se centra en las soluciones que incluyen elementos dinámicos para ir de unos procedimientos a otros.[br][br][url=http://jmora7.com/GG5/Mitad/Docu/2017_Onda_UNO77.pdf]Azulejos con GeoGebra en el Museo de Onda[/url]. Revista UNO. Editorial Graó. Núm 77 pags 24-33. 2017. El software utilizado es GeoGebra, el foco se pone en la construcción de soluciones dinámicas que incluyen elementos manipulables (mediante desplazamiento, giro, etc.) bajo ciertas condiciones para dar lugar a nuevas soluciones. Con esos diseños creamos baldosas para obtener mosaicos que después llevamos al taller del Museu del Taulell de Onda para pintarlos y decorar con ellos el instituto.[br][br]La mitad de un cubo. Revista SUMA núm 98. Págs 93-104 (FESPM, Barcelona). 2021. Artículo escrito en colaboración con José L. Muñoz y José A. Pina. Del plano al espacio y del cuadrado al cubo, con José Luis Muñoz y José Aurelio Pina nos ponemos a investigar formas de dividir el cubo en dos partes de igual volumen y a estudiar qué soluciones al problema podemos generalizar (un corte paralelo a una cara que pase por el centro del cubo se puede inclinar para obtener nuevas soluciones)[br][br]Cuatro artículos que empiezan y acaban en la revista SUMA, con 90 números de diferencia que cuentan lo que ha ocurrido en clase de matemáticas desde que me encontré con un Punto de Partida (NCTM, 1982) allá por 1988. [color=#38761D][b]Puntos de Partida[/b][/color] es el nombre que utilizaba la publicación del NCTM para una propuesta de aprendizaje de matemáticas, que ahora llamaríamos de suelo bajo y techo alto. Más adelante le pusimos el nombre de [color=#1155Cc][b]Trabajo de Investigación en Clase[/b][/color] y ahora parece que reciben el nombre de[color=#900000][b] Situaciones de Aprendizaje[/b][/color] que ponen el centro en las competencias del alumnado, en lo que ya sabe para poner en práctica en un contexto cercano, que todos los estudiantes puedan abordar con confianza y les hace avanzar tanto individualmente en su aprendizaje de las matemáticas como en el colectivo con toda la clase.[/size][/size]
Mi agradecimiento a los estudiantes de los institutos Leonardo da Vinci y Sant Blai de Alicante por su paciencia con el profesor de matemáticas que les proponía "El problema más fácil del curso" y después los tenía más de un mes enfrascados con ideas geométricas. Dos institutos de la ciudad de Alicante que en los primeros cursos de la ESO se les propone una investigación matemática que lleva por título [i]La mitad del cuadrado[/i]. La propuesta de trabajo revisa los conocimientos geométricos que los estudiantes han adquirido en primaria, sigue con su avance en la reflexión sobre las relaciones entre los elementos geométricos y les inicia en el estudio de las isometrías.[br][br]La investigación acaba en el diseño de baldosas cuadradas que después convertimos en azulejos para componer mosaicos en el Museo de Cerámica de Onda (Castellón) mediante la técnica del estarcido.[br]Durante el curso 2016-7 el trabajo se ha realizado en las cuatro clases de 1º de ESO del IES Sant Blai junto con los profesores Arturo Prieto, Ramón Galdrán y Javier Candela.[br][br]El centro de atención del trabajo de los alumnos se ha puesto en la reflexión sobre los elementos geométricos y las relaciones entre las ideas numéricas, geométricas, algebraicas, funcionales o estocásticas de los estudiantes que traen de lo aprendido en cursos anteriores y de su experiencia de la vida diaria.[br][br]Esta investigación conecta con los conocimientos de educación plástica y la utilización de las nuevas tecnologías, especialmente el software matemático GeoGebra.
Generalizar
[justify]De la misma forma que se generaliza desde el triángulo rectángulo y el isósceles hacia cualquier punto en del lado superior para el triángulo, hay otras soluciones que se pueden generalizar. Si tomamos una línea que pase por el centro del cuadrado, obtenemos una figura que tardan en reconocer como trapecio (porque en los libros siempre aparece el isósceles). Si hacemos que la recta pase por el centro y por un punto del lado superior, podremos realizar la animación de éste último y ver los sucesivos trapecios de los que tanto el primer rectángulo como los dos triángulos rectángulos son casos particulares.[br][br]En el siguiente applet, podemos desplazar los puntos marcados con color verde:[/justify]
[justify]La prueba de que el trapecio rectángulo es la mitad del cuadrado puede venir al dar un giro de 180º alrededor del cuentro del cuadrado una de las dos partes caerá sobre la otra. Esa idea lleva a que la línea puede no ser recta, sino una línea quebrada con centro de rotación en el centro del cuadrado, es decir, una línea que coincida consigo misma cuando realicemos la rotación.[br][br]Muchos estudiantes se plantean si la línea puede ser curva. La limitación puede provenir del enunciado ya que lo que buscamos es un "polígono" de área la mitad.[/justify]
Los polígonos como punto de partida
Otro enfoque del trabajo puede venir de la búsqueda de nuevos polígonos dentro del cuadrado, han aparecido rectángulos triángulos de varios tipos, trapecios, polígonos de muchos lados. Hay otros polígonos conocidos que aún no han aparecido. La propuesta de trabajo puede animar a considerar polígonos de distinto número de lados, a que consigan polígonos cóncavos. También podemos proponer figuras conocidas que puede que no hayan aparecido hasta ahora como el rombo, el trapecio isósceles, el paralelogramo, el pentágono o el hexágono. La pregunta podría ser: ¿Qué otros polígonos conocidos podríamos encontrar en el interior del cuadrado cuya área sea la mitad?
Los alumnos encuentran trapecios isósceles cuando la suma de las bases es igual al lado del cuadrado y también paralelogramos que tienen por base la mitad del lado y por altura el lado del cuadrado, y no es necesario que utilicen los vértices del cuadrado.
La idea de utilizar desplazamientos da sus frutos al revisar el trabajo realizado y obtener polígonos convexos (octógono) donde antes obteníamos polígonos cruzados y en algunos caso eran rechazados como polígonos.
En el trabajo previo seguramente han aparecido pentágonos y otros de mayor cantidad de lados. Es más fácil que encuentren los convexos que los cóncavos.
Algunos de los polígonos conocidos que aparecen en la fase exploratoria:
El área
Avanzado el trabajo, a algunos estudiantes se les ocurre el procecimiento consistente en dividir el cuadrado en cuadrados más pequeños y tomar la mitad. A partir de aquí podemos obtener figuras más o menos elegantes.
Aunque como procedimiento se agota enseguida, no se puede sacar mucho más de él
Los movimientos en el plano
Se ha tomado una baldosa con forma de cometa y se le ha sometido a cuatro movimientos:[br][br][list=1][*]Traslación (con dos vectores situados sobre los lados del cuadrado),[/*][*]Rotación de 90º (alrededor de uno de los vértices del cuadrado), con eso se forma una baldosa 2x2 que después se desplaza con vectores horizontal y vertical.[/*][*]Simetría axial (respecto de los lados del cuadrado)[/*][*]Simetría central o rotación de 180º alrededor del punto medio de los lados.[br][/*][/list][br]En cada uno de ellos nos paramos a ver los diferentes resultados que obtenemos para el mosaico.
El deslizador desplaza verticalmente el punto rojo. [br][br]Es interesante fijarse en lop huecos que dejan nuestras cometas según el movimiento elegido: [br][list=1][*]En las traslaciones la forma del hueco es la misma cometa. [/*][*]En las rotaciones aparece una especie de molinillo con simetría central[/*][*]En la simetría axial nos encontramos es dos tipos de rombols[/*][*]En la simetría central respecto de los centros de los lados aparece un polígonos que a veces tiene forma de barco de papel.[/*][/list]
Preparación del estarcido
La técnica para pintar los azulejos se remonta al siglo XIX y es la que se conoce con el nombre de [i] estarcido[/i]. El museo nos envía una presentación con los pasos que hay que seguir para pintarlos. Las construcciones geométricas se realizan en la clase de matemáticas con papel cuadriculado o con la ayuda del ordenador. GeoGebra permite que podamos tener la previsión del mosaico para distintos movimientos.
Para trasladar la mitad del cuadrado al azulejo se construye la solución elegida, se imprime sobre papel en un cuadrado de dimensiones 20x20 y se copia sobre una plantilla en papel vegetal.
Cuatro formas de construir el hueso
Cada uno de estos cuatro procedimientos lleva aparejado un uso de la simetría del cuadrado. [br][br] 1- Elimina dos trapecios en lados opuestos del cuadrado y los lleva a los otros dos lados.[br] 2- Separa dos triángulos en vértices opuestos del cuadrado y los lleva al centro.[br] 3- Utiliza una línea poligonal que parte desde el centro del cuadrado hacia un lado y tres rotaciones de 90º, 180º y 270º.[br] 4- Otra línea poligonal distinta a la anterior que también utiliza el centro del cuadrado como centro de simetría rotacional.[br][br]Los movimientos necesarios para construir el mosaico a partir de cada una de esas baldosas serán diferentes.
Mitad del cubo
Antes de empezar con las mitades del cubo podemos comenzar con una secuencia de instrucciones que persiguen mejorar la intuición espacial de los estudiantes. Se ha tomado de P. Alonso y A. Salar (1992) para trabajar la imaginación con las figuras geométricas en el espacio:[br][list][*]Toma un cubo. Da un pequeño corte a una esquina.[br]Intenta que la sección que se obtiene sea un triángulo equilátero.[/*][*]Da un nuevo corte de forma que el triángulo equilátero sea un poco mayor. [/*][*]Sigue hasta que el triángulo sea lo más grande posible.[/*][*]Sigue un poco más, ¿ya no es triángulo? ¿Qué nueva figura se ha formado?[/*][*]¿Puedes conseguir que el hexágono sea regular?. Cómo es el corte en este caso.[/*][*]Sigue dando cortes paralelos a los anteriores.[br]hasta que salga de nuevo un triángulo equilátero cada vez más pequeño.[/*][/list][br]El trabajo continuaba con la obtención de secciones del cubo con todas las formas que pudiéramos obtener: triángulos, cuadriláteros y otros polígonos[br][br]Tradicionalmente, el esquema de trabajo de una investigación solía ser Haz - Discute - Descubre, pero D. Fielker (1987) da un vuelco a este orden que se daba por establecido y propone Descubre (conjetura) - Discute (con tus compañeros) - Haz (para confirmar tus descubrimientos y los de tus compañeros). Es decir, primero se les pide que hagan una predicción de la figura que se va a obtener después el estudiante debe defender su propuesta ante otras distintas de sus compañeros y, solo al final, hacer dibujos sobre plantillas de cubos o dar el corte a cubos de estiropor.[br][br]De aquella propuesta inicial de trabajo cuyo objetivo era conseguir secciones poligonales en los cortes del cubo hemos pasado a otra que enlaza mejor con la mitad del cuadrado. Lo que nos propusimos es intentar que esas secciones fueran modulares, es decir, que dieran lugar a dos partes exactamente iguales en forma y tamaño.[br][br]Las primeras secciones del cubo no eran difíciles: un plano paralelo a una de las caras que pase por los puntos medios de cuatro aristas (sección cuadrada), un plano que entre por una arista y salga por la arista opuesta[br](rectángulo) un plano que vaya por la diagonal principal y sea perpendicular a la diagonal espacial opuesta (rombo) o un plano perpendicular a la diagonal principal que incluya a los puntos medios de seis aristas (hexágono):
[br][br]En los applets se representa el desplazamiento del plano de corte que se introduce en el interior del cubo para componer una de las dos partes en las que se ha dividido el cubo. Tomamos nota de los puntos que se generan para construir una a una las caras del poliedro que constituye esa sección modular (la cara que proviene del corte y todas las caras poligonales que se originan sobre las caras del cubo). [br]La técnica utilizada con GeoGebra ha consistido en crear una lista con todos los polígonos que envuelven a esa mitad del cubo, esto nos permite trabajar con ese poliedro como un objeto único (una lista en color rojo) con el que construir la otra mitad (en color verde) por traslación, giro o simetría (o una combinación de esos movimientos). Después los separamos con una traslación para ver la descomposición del cubo en dos partes que podemos alejar y acercar con un deslizador.[br][br]Una vez familiarizados con las formas 3D y las diferentes vistas se lanzó el reto de dividir el cubo en dos mitades iguales. Al igual que en la mitad [size=100]el cuadrado, los primeros cortes surgen de modo natural, son las que hemos construido en la imagen anterior[/size][size=150][size=100]. Para avanzar un poco más en la visualización tridimensional, se sugirió la posibilidad de usar más de un corte al dividir el cubo, en la propuesta no se menciona usar exclusivamente uno solo.[/size][/size][br]
Aproximaciones al infinito
Podemos llevar la mitad del cuadrado a cursos posteriores en los que queramos introducir a los estudiantes en la idea del infinito y hacer aflorar una paradoja clásica que se deriva de un abusivo paso al límite. Las siguientes construcciones son soluciones de la mitad del cuadrado:
La sucesión de los perímetros de las mitades sombreadas es una sucesión [img width=77,height=24]http://jmora7.com/GG5/Mitad/Images/f01.gif[/img] que tiende a 4, pero en el límite, la línea poligonal tiende a la diagonal, es decir, en el límite debería valer. La cuestión la reconoció Rafael Losada del IES Pravia de Asturias como una falsa paradoja, porque las poligonales no corresponden a funciones derivables, por lo que no se puede asegurar que la sucesión de las longitudes converja a la longitud del límite.[br][br]Otra forma de acercarnos al concepto de infinito es mediante una suma infinita de fracciones:
Se trata de [img width=81,height=50]http://jmora7.com/GG5/Mitad/Images/f03.gif[/img], es decir: [img width=169,height=38]http://jmora7.com/GG5/Mitad/Images/f04.gif[/img]Se utiliza un procedimiento en el que cada cuadrado nuevo tiene por lado [img width=30,height=41]http://jmora7.com/GG5/Mitad/Images/f05.gif[/img] siendo [i]l[/i] el lado del anterior y se forman figuras que después se puedan repetir por autosemejanza.
Contenidos, objetivos, competencias.
A partir del trabajo con la mitad del cuadrado los alumnos:[table][tr][td][br]Enriquecen la terminología geométrica y su vocabulario en la descripción de formas y figuras.[list][*]Profundizan en conceptos como los de polígono, área o los movimientos en el plano (traslaciones, simetrías, giros) y los relacionan. [/*][*]Estiman, miden y calculan longitudes, y superficies. [/*][*]Consolidan destrezas como la obtención y utilización de fórmulas y la manipulación algebraica. [/*][*]Realizan construcciones geométricas con regla y compás y/o con ordenador con el programa GeoGebra. [/*][*]Utilizan propiedades y resultados geométricos como el teorema de Pitágoras o la semejanza [/*][*]Comprenden los movimientos en el plano y los utilizan en contexto para crear composiciones bellas. [/*][/list]Perfeccionan algunos procedimientos y estrategias que se utilizan para hacer matemáticas. [list][*]Realizan una búsqueda sistemática a la vez que imaginativa de soluciones a un problema. [/*][*]Generalizan desde casos particulares y particularizan al darse cuenta de que una solución engloba a otras particulares encontradas previamente. [/*][*]Formulan conjeturas, e intentan probarlas y/o buscan contraejemplos para refutarlas.[/*][*]Demuestran utilizando argumentos geométricos y algebraicos adaptados al nivel en que se encuentran. [/*][/list]La metodología que se propone pretende fomentar una la actitud típicamente matemática con que el estudiante interpreta esta experiencia: [list][*]Perfeccionan la comunicación matemática cuando describen los procedimientos con sus propias palabras.[/*][*]Defienden sus soluciones ante sus compañeros.[/*][*]Toman decisiones en el curso de su trabajo y examinan las consecuencias de su elección.[br] [/*][/list]Todo lo anterior se puede resumir en el planteamiento investigador que se da a la situación matemática: los alumnos obtienen resultados, los contrastan con los compañeros, toman decisiones para reorganizar su camino y siguen obteniendo nuevos resultados.[/td][/tr][/table]