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Puntos y rectas notables en el triángulo
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1. Familiarizándonos con GeoGebra
- Construcción libre
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2. El triángulo
- Entre rectas paralelas anda el juego
- Los "dibujitos" no demuestran nada
- Triangulaciones de polígonos
- La suma de los ángulos de cualquier polígono
- Número de diagonales de un polígono (copia)
-
3. Dos problemas sobre el triángulo
- Problema 1. El ángulo exterior a un triángulo
- Problema 2. Los ángulos de la estrella de 5 puntas
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4. Rectas y puntos notables
- A. Mediatriz de un segmento
- Las mediatrices en el triángulo
- B. La bisectriz de un ángulo
- Las bisectrices del triángulo
- C. Alturas de un triángulo
- D. Medianas del triángulo
-
5. Un problema ¿Dónde nos encontramos?
- ¿Dónde nos encontramos? (3p)
- ¿Dónde nos encontramos? (4p)
-
6. La recta de Euler
- La recta de Euler. Juntamos todo
-
7. Ángulos inscritos
- El ángulo inscrito y el ángulo central
- Demostración caso 1
- Demostración caso 2
-
8. Cuadriláteros circunscriptibles o cíclicos
- Cuadrilátero inscriptible o cíclico
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Puntos y rectas notables en el triángulo
Álvaro Vielba, Oct 8, 2022
Lección sobre el triángulo. Triangulaciones; rectas y puntos notables; la recta de Euler, y algunos problemas. ESTALMAT Palencia
Table of Contents
- Familiarizándonos con GeoGebra
- Construcción libre
- El triángulo
- Entre rectas paralelas anda el juego
- Los "dibujitos" no demuestran nada
- Triangulaciones de polígonos
- La suma de los ángulos de cualquier polígono
- Número de diagonales de un polígono (copia)
- Dos problemas sobre el triángulo
- Problema 1. El ángulo exterior a un triángulo
- Problema 2. Los ángulos de la estrella de 5 puntas
- Rectas y puntos notables
- A. Mediatriz de un segmento
- Las mediatrices en el triángulo
- B. La bisectriz de un ángulo
- Las bisectrices del triángulo
- C. Alturas de un triángulo
- D. Medianas del triángulo
- Un problema ¿Dónde nos encontramos?
- ¿Dónde nos encontramos? (3p)
- ¿Dónde nos encontramos? (4p)
- La recta de Euler
- La recta de Euler. Juntamos todo
- Ángulos inscritos
- El ángulo inscrito y el ángulo central
- Demostración caso 1
- Demostración caso 2
- Cuadriláteros circunscriptibles o cíclicos
- Cuadrilátero inscriptible o cíclico
Construcción libre
GeoGebra
GeoGebra es un software de geometría dinámica, esto es, nos permite no solo construir objetos geométricos fijos como hacemos en el papel, sino que podemos moverlos y observar cómo están relacionados los unos con los otros y como cambian o permanecen constantes algunas de sus propiedades.
A continuación tienes un applet de GeoGebra donde vas a trabajar, y debajo tienes los pasos que deberás ir siguiendo.
Primeros pasos
Como la mejor demostración no es con las palabras sino con vuestra propia experimentación vamos a realizar alguna construcción sencilla para familiarizarnos con el programa. 
Sigue los pasos:
1. Selecciona la herramienta punto 
y crea tres puntos en la vista gráfica (solo tienes que hacer clic).
2. Si vuelves a la herramienta puedes seleccionar los puntos creados y moverlos por el plano.
3. Desde esa misma herramienta si pinchas con el botón derecho del ratón en uno de los puntos que has creado y te vas a la opción que dice "propiedades" verás que tienes distintas opciones para el color, el tamaño, el nombre... del punto. Cámbiale el color.
Nota: También lo puedes hacer seleccionando el punto y pinchando en el símbolo de engranaje (menú de opciones) que se despliega arriba a la derecha de la pantalla.
Sigue los pasos:
1. Selecciona la herramienta punto y crea tres puntos en la vista gráfica (solo tienes que hacer clic).
2. Si vuelves a la herramienta puedes seleccionar los puntos creados y moverlos por el plano.
3. Desde esa misma herramienta si pinchas con el botón derecho del ratón en uno de los puntos que has creado y te vas a la opción que dice "propiedades" verás que tienes distintas opciones para el color, el tamaño, el nombre... del punto. Cámbiale el color.
Nota: También lo puedes hacer seleccionando el punto y pinchando en el símbolo de engranaje (menú de opciones) que se despliega arriba a la derecha de la pantalla.
5. Con la herramienta recta 
une dos de los puntos que has creado.
6. Con la herramienta recta paralela 
vamos a hacer una paralela a esa recta y que pase por el tercer punto. Para ello pincha primero en cualquier lugar de la recta y después en el punto.
7. Pinta de color rojo la recta paralela que has creado.
8. Con la herramienta punto en objeto 
crea un punto sobre la recta paralela (que no coincida con el que ya hemos creado).
9. Ahora vas a crear un triángulo con la herramienta polígono 
. El triángulo tendrá por vértices los dos puntos que están sobre la recta roja y uno de los puntos que están sobre la recta negra.
10. Vuelve a la herramienta seleccionar y mueve los puntos de la recta roja.
¿Qué diferencias observas cuando los mueves?
une dos de los puntos que has creado.
6. Con la herramienta recta paralela vamos a hacer una paralela a esa recta y que pase por el tercer punto. Para ello pincha primero en cualquier lugar de la recta y después en el punto.
7. Pinta de color rojo la recta paralela que has creado.
8. Con la herramienta punto en objeto crea un punto sobre la recta paralela (que no coincida con el que ya hemos creado).
9. Ahora vas a crear un triángulo con la herramienta polígono . El triángulo tendrá por vértices los dos puntos que están sobre la recta roja y uno de los puntos que están sobre la recta negra.
10. Vuelve a la herramienta seleccionar y mueve los puntos de la recta roja.
¿Qué diferencias observas cuando los mueves?Entre rectas paralelas anda el juego
Aquí tienes dos rectas paralelas:
- Mueve los puntos azules A y B.
- Ve a la herramienta ángulo
y clica, en este orden, en C-A-B.
- De nuevo con la herramienta clica ahora, en este orden, en D-B-A.
Problema 1. El ángulo exterior a un triángulo
¿Cuánto mide el ángulo X?
- Mueve los vértices del triángulo y escribe los valores de los ángulos , y X para al menos tres posiciones distintas en la tabla (como en el ejemplo) ¿Qué observas?
- ¿Cuánto vale X? ¿Por qué?
| | | X |
| 79.63 | 60.88 | 140.51 |
| | | |
| | | |
A. Mediatriz de un segmento
Aquí tienes el segmento AB. Sigue las instrucciones para construir su mediatriz (seguramente te suenan de la asignatura de Dibujo).
Instrucciones
1. Con la herramienta compás 
toma la apertura del segmento AB (pincha en A y luego en B) y traza la circunferencia con ese radio y centro en A (pincha en A). Haz lo mismo, pero ahora toma el centro en B.
2. Selecciona cada circunferencia y en la barra de estilo (arriba a la derecha) cambia su estilo a una línea discontinua --- y modifica su grosor a 3.
3. Dibuja los puntos de intersección de las dos circunferencias seleccionando cada una de ellas con la herramienta 
.
4. Traza la recta que pasa por los dos puntos de intersección.
5. Esa es la mediatriz del segmento AB. Selecciónala y en la barra de estilo modifica su grosor a 7 y píntala de rojo.
Ve pensando en qué recta es la mediatriz en relación con el segmento AB (definición 1 en la hoja de trabajo)...
6. Sitúa un punto sobre la mediatriz con y desde ese punto dibuja un segmento 
hacia A y otro hacia B. Cambia el grosor de ambos segmentos a 3.
7. Mide con la herramienta distancia o longitud 
la distancia desde el punto creado a cada uno de los vértices del segmento.
8. Sitúa un punto fuera de la mediatriz y repite los pasos anteriores.
8. Mueve el punto que has situado sobre la mediatriz y también el punto exterior a la mediatriz.
¿Qué cumplen todos los puntos de la mediatriz? Completa en la hoja de trabajo las dos definiciones equivalentes de mediatriz.
toma la apertura del segmento AB (pincha en A y luego en B) y traza la circunferencia con ese radio y centro en A (pincha en A). Haz lo mismo, pero ahora toma el centro en B.
2. Selecciona cada circunferencia y en la barra de estilo (arriba a la derecha) cambia su estilo a una línea discontinua --- y modifica su grosor a 3.
3. Dibuja los puntos de intersección de las dos circunferencias seleccionando cada una de ellas con la herramienta .
4. Traza la recta que pasa por los dos puntos de intersección.
5. Esa es la mediatriz del segmento AB. Selecciónala y en la barra de estilo modifica su grosor a 7 y píntala de rojo.
Ve pensando en qué recta es la mediatriz en relación con el segmento AB (definición 1 en la hoja de trabajo)...
6. Sitúa un punto sobre la mediatriz con y desde ese punto dibuja un segmento hacia A y otro hacia B. Cambia el grosor de ambos segmentos a 3.
7. Mide con la herramienta distancia o longitud la distancia desde el punto creado a cada uno de los vértices del segmento.
8. Sitúa un punto fuera de la mediatriz y repite los pasos anteriores.
8. Mueve el punto que has situado sobre la mediatriz y también el punto exterior a la mediatriz.
¿Qué cumplen todos los puntos de la mediatriz? Completa en la hoja de trabajo las dos definiciones equivalentes de mediatriz.¿Dónde nos encontramos? (3p)
Paula, María y Cristina se hicieron amigas en un campamento de verano. Años después deciden reencontrarse. Paula vive en La Coruña, María en Sevilla (bueno, en un pueblo que está 30km al sur de Sevilla) y Cristina es de Tarragona. Como no acaban de decidirse por una de sus ciudades deciden quedar en la provincia de España que esté a la misma distancia de cada una de sus ciudades, así todas tienen querecorrer los mismos kilómetros.
¿En qué ciudad se encontrarán?
¿Qué famoso monumento histórico van a visitar en la ciudad donde se encuentran?
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El acueducto de Segovia
La recta de Euler. Juntamos todo
En el siguiente triángulo vas a construir todos los puntos notables. Sigue las instrucciones que están debajo del applet.
Instrucciones
1. Obtén el circuncentro del triángulo. Cuando lo tengas llámalo C y píntalo de rojo. Oculta todas las mediatrices salvo la del lado BC. Cambia su estilo a una línea discontinua de grosor 3.
2. Obtén el incentro del triángulo. Cuando lo tengas llámalo I y píntalo de amarillo. Oculta todas las bisectrices salvo la bisectriz interior del vértice A. Cambia su estilo a una línea discontinua y de grosor 3.
3. Obtén el ortocentro del triángulo. Cuando lo tengas llámalo O y píntalo de azul. Oculta todas las alturas salvo la altura del vértice A. Cambia su estilo a una línea discontinua y de grosor 3.
4. Obtén el centro de gravedad o baricentro del triángulo. Cuando lo tengas llámalo G y píntalo de rosa. Oculta todas las medianas salvo la mediana del vértice A. Cambia su estilo a una línea discontinua y de grosor 3.
5. Mueve los vértices del triángulo:
¿Logras que en algún momento las cuatro rectas notables coincidan?¿en qué tipo de triángulos?
¿Logras que todos los puntos coincidan?¿en qué tipo de triángulos?
6. Traza la recta que pasa por C y por O. Esta es la recta de Euler. Mueve los vértices del triángulo.
¿Qué ocurre con esta recta?
El ángulo inscrito y el ángulo central
1. Mueve los puntos A, B y C y observa cómo se relacionan los ángulos y .
¿Qué observas?
El ángulo se llama ángulo central y el ángulo se llama ángulo inscrito.
Da una definición de cada tipo de ángulo en la hoja de trabajo en función de cuál es el vértice de cada tipo de ángulo y cuáles son sus lados.
2. Colocando algunos puntos sobre la circunferencia crea un ángulo inscrito diferente al que se te ha dado. Crea también el ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo inscrito.
Anota ahora en la hoja la propiedad que cumplen los ángulos inscritos y los ángulos centrales.
Cuadrilátero inscriptible o cíclico
Has visto en una de las actividades anteriores que si tenemos tres puntos en el plano siempre hay un punto que equidista de los tres (el circuncentro).
Esto no es así para el caso en el que hay cuatro puntos (lo has visto también). Es decir, dado un cuadrilátero, no siempre hay un punto que equidista de los cuatro vértices. No todo cuadrilátero se puede inscribir en una circunferencia.
Los cuadriláteros que se pueden inscribir en una circunferencia se llaman cuadriláteros inscriptibles o cuadriláteros cíclicos.
Aquí tienes un cuadrilátero cíclico ¿Qué propiedad cumplen los ángulos del cuadrilátero cíclico? (Forma sus ángulos y mueve los vértices).
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