[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/jqrfwutz]Mecanismos[/url].[/color][br][br]En la siguiente construcción podemos elegir distintos elementos.[br][br][b]1 punto[/b][br]La posición de un punto libre del plano viene determinada por 2 coordenadas, ya que el plano tiene dos dimensiones. Decimos que el punto tiene 2 [i][b]grados de libertad[/b][/i], pues cada coordenada es libre de tomar cualquier valor.[br][br]Ahora bien, en ausencia de un sistema de referencia visible (como sucede en la construcción), al no conocer esas coordenadas, el punto O se nos muestra igual a cualquier otro punto del plano. No hay nada, salvo su posición (que suponemos ignorada), que diferencie a O de cualquier otro punto.[br][br][b]2 puntos y 1 barra[br][/b]Si colocamos 2 puntos, entre ambos tendrán 4 grados de libertad (sus 4 coordenadas). Sin embargo, si imponemos la restricción de que la distancia entre ambos sea fija, el número total de grados de libertad se reduce a 3. Esto se ve mejor si visualizamos esta restricción mediante un segmento (o barra indeformable) con la longitud fijada por esa distancia. La posición de esa barra en el plano queda determinada por la posición de O y el ángulo que forma con la horizontal: en total 3 parámetros o grados de libertad.[br][br]De hecho, debido al proceso de construcción, mientras que O es un punto libre que puede moverse por todo el plano (dimensión 2), el punto U, una vez fijada una posición para O, ha de mantenerse en una circunferencia (dimensión 1) de centro O y radio fijo (la distancia dada).[br][br]Se puede demostrar que todas las configuraciones (no puntuales) de puntos y barras tienen, en el plano, como mínimo 3 grados de libertad. Por ello, podemos considerar solo los grados de libertad "que se añaden" a estos tres. Se denominan "grados de libertad internos". La configuración de dos puntos y una barra tiene entonces [i][b]0 grados de libertad internos[/b][/i]. [br][br]Observemos que si la barra fuese material (por ejemplo, de acero) no dudaríamos en calificarla de rígida, en el sentido de que solo puede adoptar una forma, no se puede deformar de modo continuo hasta alcanzar otra forma diferente. En los siguientes ejemplos, comprobaremos que esta [i][b]rigidez local[/b][/i] es consecuencia de que el número de grados de libertad internos sea 0.[br][br]Además, en este caso, todas las barras de la misma longitud son [i][b]congruentes[/b][/i], esto es, son idénticas salvo isometría. Es decir, tienen la misma medida sin importar su posición u orientación. En tal caso, decimos que la figura, además de localmente rígida, es también [i][b]globalmente rígida[/b][/i].[br][br]Para visualizar mejor los grados de libertad internos, [b]en lo sucesivo supondremos fijos los puntos O y U[/b], así como la distancia entre ellos. De este modo, al considerar la configuración {O, U, OU} con 0 grados de libertad en vez de 3, el número de grados de libertad coincidirá con el número de grados de libertad internos.[br][br][b]3 puntos y 2 barras[/b][br]En este caso, vemos claramente que, al mover E, la configuración de puntos y barras puede adquirir diferentes formas. Es una configuración [i][b]flexible[/b][/i], podemos encontrar diversas posiciones no congruentes. Ahora existe 1 grado de libertad interno (la dimensión de la circunferencia que recorre E) que dota a la configuración de esa flexibilidad. [br][br][b]3 puntos y 3 barras[/b][br]Sabemos que todos los triángulos con las mismas medidas son congruentes. Así que, siempre que sea posible obtener un triángulo (una barra no puede medir más que la suma de las otras dos), este será rígido. Observemos que aunque hay 2 posiciones (llamadas [i][b]isómeras[/b][/i]) posibles para E, los dos triángulos correspondientes (OUE y OUE') son, en este caso, congruentes. Efectivamente, por construcción, el punto E carece de libertad, así que el número total de grados de libertad internos es 0. Esta configuración es, entonces, local y globalmente rígida.[br][br][b]4 puntos & 3 barras[/b] (a)[br]Este caso es similar al de 3 puntos y 2 barras. Al añadir un punto F y una barra más a la configuración OUE, estamos añadiendo 1 grado más de libertad. Por lo tanto, esta configuración es flexible, con 2 grados de libertad internos. Las dimensiones de las circunferencias centradas en O y E muestran, respectivamente, el grado de libertad de los puntos E y F.[br][br][b]4 puntos & 3 barras[/b] (b)[br]Aunque esta configuración es diferente a la anterior, podemos observar que tiene igualmente 2 grados de libertad internos.[br][br][b]4 puntos & 4 barras[/b] (a)[br]A pesar de que esta configuración es cerrada, como la triangular, comprobamos rápidamente que no es rígida. Basta mover E para obtener diferentes formas no congruentes. Efectivamente, el punto F carece de libertad, así que el número total de grados de libertad internos es 1 (la dimensión de la circunferencia recorrida por E).[br][br]Ahora bien, ¿qué sucede si fijamos, además de O y U, la posición de E? Obtenemos dos posibles formas que, en general (véase [url=https://www.geogebra.org/m/tkctbgaz]la siguiente actividad[/url] para el análisis de un caso particular), no son congruentes: UOEF y UOEF', cada una con 0 grados de libertad internos. Sin embargo, en el plano no podemos pasar de una a la otra de modo continuo. Haría falta "forzar" un salto para convertir F en F'. Por ello decimos que, con O, U y E fijos, la configuración UOEF es localmente rígida aunque no lo sea globalmente.[br][br][b]4 puntos & 4 barras[/b] (b)[br]Aunque esta configuración es diferente a la anterior, podemos observar que tiene igualmente 1 grado de libertad interno. Además, si fijamos F, de nuevo la configuración FUOE es localmente rígida, aunque no lo sea globalmente (pues FUOE y FUOE' no son, en general, figuras congruentes).

[color=#999999]Autor de la construcción GeoGebra: [color=#999999][url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url][/color][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/jqrfwutz]Mecanismos[/url].[/color][br][br]Gracias al uso de scripts, podemos simular el comportamiento interactivo de los mecanismos superando las limitaciones impuestas por la estructura de dependencia propia de la Geometría Dinámica. En este ejemplo, los cinco puntos son libres, pero mantienen en todo instante la longitud constante de las barras.

A continuación se detallan los scripts utilizados.[br][br]Al mover A:[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(A,B), Circunferencia(A,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(B,C), Circunferencia(B,1)))[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(C,D), Circunferencia(C,1)))[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Circunferencia(D,1)))[br][br]Al mover B:[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Circunferencia(B,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(B,C), Circunferencia(B,1)))[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(C,D), Circunferencia(C,1)))[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Circunferencia(D,1)))[br][br]Al mover C:[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(C,B), Circunferencia(C,1)))[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(C,D), Circunferencia(C,1)))[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Circunferencia(B,1)))[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Circunferencia(D,1)))[br][br]Al mover D:[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Circunferencia(D,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(D,C), Circunferencia(D,1)))[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(C,B), Circunferencia(C,1)))[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Circunferencia(B,1)))[br][br]Al mover E:[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(E,D), Circunferencia(E,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(D,C), Circunferencia(D,1)))[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(C,B), Circunferencia(C,1)))[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Circunferencia(B,1)))[br]

[color=#999999][color=#999999]Autor de la construcción GeoGebra: [color=#999999][url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url][/color][/color][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/jqrfwutz]Mecanismos[/url].[/color][br][br]El paso de mecanismos planos a mecanismos 3D es simple. Aquí vemos la versión 3D de la cadena de 5 puntos y 4 barras que ya habíamos visto en su [url=https://www.geogebra.org/m/jqrfwutz#material/zhtkkmjr]versión plana[/url]. Podemos observar que ha bastado sustituir en los scripts las circunferencias encargadas de ajustar las distancias por esferas de radio unidad.

A continuación se detallan los scripts empleados.[br][br]Al mover A:[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(A,B), Esfera(A,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(B,C), Esfera(B,1)))[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(C,D), Esfera(C,1)))[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Esfera(D,1)))[br][br]Al mover B:[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Esfera(B,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(B,C), Esfera(B,1)))[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(C,D), Esfera(C,1)))[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Esfera(D,1)))[br][br]Al mover C:[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(C,B), Esfera(C,1)))[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(C,D), Esfera(C,1)))[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Esfera(B,1)))[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Esfera(D,1)))[br][br]Al mover D:[br] Valor(E, Interseca(Semirrecta(D,E), Esfera(D,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(D,C), Esfera(D,1)))[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(C,B), Esfera(C,1)))[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Esfera(B,1)))[br][br]Al mover E:[br] Valor(D, Interseca(Semirrecta(E,D), Esfera(E,1)))[br] Valor(C, Interseca(Semirrecta(D,C), Esfera(D,1)))[br] Valor(B, Interseca(Semirrecta(C,B), Esfera(C,1)))[br] Valor(A, Interseca(Semirrecta(B,A), Esfera(B,1)))

[color=#999999]Autor de la construcción GeoGebra: [color=#999999][url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url][/color][/color]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/jqrfwutz]Mecanismos[/url].[/color][br][br]Esta construcción muestra un cubo articulado, es decir, doce barras de longitud uno unidas formando un cubo. Este cubo es flexible, ya que el ángulo que forma cada par de barras concurrentes en un vértice no tiene por qué ser recto. [br][br]Este modelo parece fácil de construir. Sin embargo, requiere una fuerte y sutil combinación de [b]Geo[/b]metría y el Ál[b]gebra[/b]. [br][list][*]Nota: esta construcción simula el espacio virtual 3D, usando proyecciones, en vez de usar directamente la Vista Gráfica 3D de GeoGebra, porque esta solo apareció años después de publicar este trabajo [[url=https://www.geogebra.org/m/jqrfwutz#material/uqnkrzhu]1[/url]].[/*][/list]

[color=#999999][color=#999999]Autor de la construcción GeoGebra: [color=#999999][url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url][/color][/color][/color]

Nota: ha sido comprobado el acceso a todos los enlaces web con fecha 15 de marzo de 2022.[br][br][1] Arranz, J. M., Losada, R., Mora, J. A., Recio, T., & Sada, M. (2011). Modeling the cube using GeoGebra. In L. Bu & R. Schoen (Eds.), [url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-6091-618-2]Model-Centered Learning: Pathways to mathematical understanding using GeoGebra[/url] (pp. 119-131). Rotterdam: Sense Publishers.[br]