Elipsa. Noțiuni elementare
Această parte introductivă conține aplicații cu ajutorul cărora sunt prezentate noțiuni elementare despre elipsă:[br][list=1][*]două exemple de elipse;[/*][*]o metodă de construcție a unei elipse;[/*][*]ecuația canonică a unei elipse;[/*][*]ecuațiile parametrice ale unei elipse.[/*][/list]Ecuațiile elipsei sunt necesare pentru construcțiile geometrice ale triunghiurilor izoperimetrice și ale patrulaterelor izoperimetrice[br]
[size=150][size=200]Două exemple de elipse[/size][/size]
Suprafața liberă a unui lichid în echilibru, aflat într-un vas cilindric, înclinat față de verticală.
1. Următoarea aplicație modelează următoarea situație: un vas cilindric circular drept, care are raza bazei [b]R [/b]și înălțimea [b]H[/b], este sprijinit, inițial, pe o suprafață plană și conține o coloană de lichid omogen de înălțime [b]h. [/b]La suprafața acestui lichid se găsește o peliculă dintr-un alt lichid, de culoare galbenă, nemiscibil cu primul.[br]Vasul poate fi înclinat față de verticală cu unghiul [math]\rho[/math].[br]Valorile mărimilor [b]R[/b], [b]H[/b], [b]h [/b]și [math]\textbf{\rho }[/math] se pot modifica cu ajutorul cursoarelor corespunzătoare.[br]În fereastra din partea dreaptă se poate observa vizualizarea [b]2D[/b] a planului ce conține pelicula de lichid de culoare galbenă.[br]Atunci când [b]vasul cilindric[/b] este [b]înclinat[/b], [b]conturul peliculei de lichid de culoare galbenă[/b] are formă de [b][u]elipsă[/u][/b]![br][b]Elipsă[/b] (< fr. [i]ellipse[/i] < lat. lit. [i]ellipsis[/i] < gr. [i]elleipsis,[/i] lipsă)[br][i]ETIMOLOGIE[/i][br][i][b]Ἔλλειψις[/b][/i], care semnifică [b][i]lipsă[/i][/b], se aplică elipsei gramaticale, deoarece ceva este șters, și elipsei geometrice, pentru că îi lipsește ceva pentru a fi un cerc perfect; de la ἐν, și λείπτειν, a lăsa, a lipsi”. (Conform [url=https://www.littre.org/definition/ellipse]https://www.littre.org/definition/ellipse[/url])
Aplicația este astfel concepută încât, atunci când vasul cilindric este înclinat, lichidul să nu curgă din vas și pelicula de lichid galben să nu atingă fundul vasului.[br]Care este valoarea limită a unghiului [math]\rho[/math]?
[size=150]2. Orbita Pământului[br][/size]Accesați animația care are linkul următor [url=https://www.earthspacelab.com/app/earth-revolution/]https://www.earthspacelab.com/app/earth-revolution/[/url]
Construcția elipsei
Următoarea listă conține linkurile a două materiale care prezintă o metodă de construcție a unei elipse.[br][list=1][*][url=https://www.youtube.com/watch?v=PgP7eDXAOjQ][/url][url=https://www.youtube.com/watch?v=PgP7eDXAOjQ]Echte Ellipse konstruieren nach der Gärtnermethode - YouTube[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/N3ygSvbw][/url][url=https://www.geogebra.org/m/N3ygSvbw]Elipsă cu ață și creion – GeoGebra[/url][/*][/list]Ținând cont de această metodă, [b]elipsa[/b] se poate defini ca [b]locul geometric al punctelor din plan, pentru care suma distanțelor față de două puncte fixe, numite focare, este constantă[/b].
Ecuațiile elipsei
1. Ecuația canonică a elipsei
Următoarea aplicație ilustrează, prin intermediul unei animații, modalitatea de construcție a elipsei demonstrată de cele două materiale anterioare.[br]Cu ajutorul cursoarelor [i][b]f[/b] [/i]și [i][b]m[/b][/i] pot fi modificate distanța dintre focare, [i][b]FF'[/b][/i], respectiv suma distanțelor de la punctele elipsei la focare, [b][i]PF+PF'[/i][/b].[br]Animația poate fi pornită, întreruptă și reinițializată cu ajutorul butoanelor de culoare albastră, situate în zona centrală a părții inferioare.[br]După finalizarea construcției elipsei, apare o casetă care permite vizualizarea/ascunderea unui punct al elipsei. Acest punct poate fi deplasat cu ajutorul mouse-lui.
1.
Utilizând relațiile dintre coordonatele punctului [b]P[/b] al elipsei și numerele [b]m[/b] și [b]f[/b], demonstrați că elipsa are ecuația [math]\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1[/math], unde [math]n^{2}=m^{2}-f^{2}[/math].
Ecuația se numește [b]ecuația canonică a elipsei[/b].
2.
Demonstrați că elipsa intersectează axa în raport cu care focarele au coordonatele [i]F(f,0)[/i] și [i]F'(-f,0)[/i] în punctul care are abscisa [i][b]m[/b][/i].
[b]m[/b] se numește [b]semiaxa mare[/b] a [b]elipsei[/b].
3.
Demonstrați că elipsa intersectează axa perpendiculară pe axa în raport cu care focarele au coordonatele [i]F(f,0)[/i], respectiv [i]F'(-f,0)[/i], în punctul de ordonată [math]n=\sqrt{m^2-f^2}[/math].[br]
[math]n=\sqrt{m^{2}-f^{2}}[/math] se numește [b][i]semiaxa mică[/i][/b] a elipsei.
Ecuațiile parametrice ale elipsei
Următoarea aplicație conține o animație care ilustrează un mod de a construi, prin puncte, o elipsă, cu ajutorul a două cercuri concentrice, de raze [b][i]m[/i][/b], respectiv [b][i]n[/i][/b].
1.
Demonstrați că punctul [i]E[/i] descrie o [b][i]elipsă[/i][/b].
Ecuațiile parametrice ale elipsei
[math]\begin{cases}[br] & \text{ } x=m \cos\left ( u \right ) \\[br] & \text{ } y=n \ sin\left ( u \right ) [br]\end{cases}, u\in \left [ 0,2\pi \right ][/math]
Bibliografie
[url=https://www.math.uaic.ro/~oanacon/depozit/Curs_7_8_pelarg.pdf]https://www.math.uaic.ro/~oanacon/depozit/Curs_7_8_pelarg.pdf[/url]