₉Extreme Verteilung der 8 Punkten auf der Kugel

Roman Chijner, Aug 8, 2020

Extreme Verteilung der 8 Punkten auf der Kugel/Eight-point models on the surface of a sphere and their Extreme distributions. Betrachten Sie als Modell ein System von 8 Punkten auf der Oberfläche einer Kugel mit zwei Freiheitsgraden. 8 Punkte bilden zwei parallele Quadrate. Die [i]kann relativ zueinander drehen:[/i] [color=#1551b5]der Winkel [/color] [color=#1551b5] →α[/color] [color=#c51414]x-Parameter[/color], [i]der Abstand zwischen ihnen kann sich ändern[/i]: [color=#1551b5]der Neigungswinkel →θ[/color] [color=#c51414] y-Parameter.[/color] Für bestimmte Parameterwerte können bekannte Körper erhalten werden: [b][color=#1551b5]Würfel[/color][/b] und [b][color=#1551b5]quadratisches Antiprisma[/color][/b]. Seine 8 Seitenflächen sind alles gleichseitige Dreiecke, die alle gleich groß sind. Als Maß für "Chaos" wählen wir die folgenden Eigenschaften von geometrischen Körpern: [b]Gesamtabstand[/b]. Die Summe der gegenseitigen Abstände aller Punktpaare auf der Kugeloberfläche. [b]Gesamtfläche.[/b] Die Fläche der gesamten Oberfläche des gebildeten Polyeders. [b]Gesamtvolumen.[/b] Körpervolumen. [b]Die Aufgabe besteht darin,[/b] -ermitteln die Abhängigkeiten dieser [color=#1551b5]Eigenschaften[/color] von den Parametern α und θ, -herauszufinden, welche [b][color=#1551b5]Körpern[/color][/b] entsprechen kritischen Punkten dieser drei Oberflächen. [b][i]Fazit:[/i][/b] - In den Fällen Gesamtabstand(α, θ) und Gesamtfläche(α, θ) haben die beide Funktionsflächen (im Bereich ihrer Definition) einen [b][color=#c51414]Sattelpunkt[/color][/b], der demselben Körper entspricht - dem [b][color=#1551b5]Würfel[/color][/b]. -Alle drei Funktionsflächen haben[b] kritische Punkte[/b] -[b][color=#c51414]lokaler Maxima[/color][/b]. Die ihnen entsprechenden Strukturen sind sehr ähnlich einem [b][color=#1551b5]quadratischen Antiprisma[/color][/b]. *From Book: Extended definitions of point location estimates [url]https://www.geogebra.org/m/hhmfbvde[/url] From: List of My Public Books on GeoGebra Topics: Constructing polyhedra -https://www.geogebra.org/m/eabstecp


  • 1. 1. Acht-Punkte-Modell mit zwei Freiheitsgraden auf der Oberfläche einer Kugel
  • 2. 2. Acht-Punkte-Modell mit zwei Freiheitsgraden auf der Oberfläche einer Kugel. Erweiterte Version
  • 3. Gesamtabstand(α, θ): Kritische Punkte der Funktionsfläche des Acht-Punkte-Modells
  • 4. Gesamtfläche(α, θ): Kritische Punkte der Funktionsfläche des Acht-Punkte-Modells
  • 5. Volumen(α, θ): Kritische Punkte der Funktionsfläche des Acht-Punkte-Modells
  • 6. als Johnson-Körper J26 -Gyrobifastigium Figur
  • 7. Images. Placing points on a sphere such that the each point is the geometric median of all its other points.

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1. Acht-Punkte-Modell mit zwei Freiheitsgraden auf der Oberfläche einer Kugel

[size=85][b][i][color=#1e84cc] Aufgabe[/color][/i]: [/b][color=#1e84cc]Suche nach einem Algorithmus, um die gleichmäßige Verteilung der Punkte zu finden. [/color][b][br][i][color=#1e84cc] Suchmethode[/color][/i]:[/b][color=#1e84cc] kritische Punkte "bestimmter" funktioneller Abhängigkeiten finden und "anhand einfacher Modelle" verstehen, zu welchen teilchenverteilungen dies führt.[br][/color][color=#1e84cc]Als Beispiel wird [/color][color=#333333][b]ein Modell[/b][/color][color=#1e84cc] von acht Punkten [/color][b][color=#333333]auf der Oberfläche einer Kugel[/color][/b][color=#1e84cc] mit [/color][color=#333333][b]zwei Freiheitsgraden[/b][/color][color=#1e84cc] betrachtet. [/color][color=#1e84cc]8 Punkte bilden zwei parallele Quadrate. Die kann relativ zueinander drehen:[br][/color][color=#1e84cc] der Winkel →α x-Parameter, [br]der Abstand zwischen ihnen kann sich ändern:[br] der Neigungswinkel →θ y-Parameter. [/color][br][color=#1e84cc]Für bestimmte Parameterwerte können [/color][b]bekannte Körper[/b][color=#1e84cc] erhalten werden.[/color][br][color=#1e84cc] Als "einige " funktionale Abhängigkeiten wählen wir die folgende Eigenschaft der geometrischen Körpern:[br]Gesamtabstand ([i]Distance Sum[/i]) - die Summe der gegenseitigen Abstände aller Punktpaare auf der Kugeloberfläche.[br][/color] [color=#1e84cc] [u] Die Aufgabe besteht darin[/u],[br] -ermitteln die Abhängigkeiten dieser Eigenschaft von den Parametern α und θ,[br] -herauszufinden, welche [/color][b]Körpern[/b] [color=#1e84cc]entsprechen kritischen Punkten dieser Oberfläche.[br][/color][i][color=#1e84cc]Fazit:[/color][br][/i][color=#1e84cc]● Die Funktionsfläche Gesamtabstand(α, θ) (im Definitionsbereich) hat [br][/color][color=#1e84cc] -einen [/color][color=#6aa84f]Sattelpunkt[/color][color=#1e84cc]: [/color][color=#1e84cc]α=0° und θ =54.73561133210024 °[/color][color=#1e84cc] -[/color][color=#1e84cc]was entspricht dem [/color][color=#333333][b][url=https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)]Würfel[/url] [/b][/color][color=#1e84cc](ein [/color][i]platonischer Körper): [/i][color=#1e84cc]und[br] -ein [/color][color=#ff0000]lokales Maximum[/color][color=#1e84cc]: [/color][color=#1e84cc]α=45° und θ =55.34244880180798° -[/color][color=#1e84cc]was entspricht dem [/color][b][color=#333333][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Antiprisma]quadratischen Antiprisma[/url][/color][/b][color=#1e84cc]: [/color][color=#1e84cc] (auch als [/color][color=#333333][b][url=https://math.wikia.org/wiki/Anticube]Anticube[/url] [/b][/color][color=#1e84cc]bekannt).[br][/color][color=#1e84cc]● Jeder Punkt dieser Körper ist der [/color][color=#ff7700]geometrische Median/geometric Median[/color][color=#1e84cc] und der [/color][color=#ff00ff]geometrische Mittelpunkt/geometric Center (hier ist es für alle Parameterwerte[i][color=#ff00ff]!)[/color][/i][/color][color=#1e84cc] der anderen sieben Punkte.[br] [url=https://www.geogebra.org/m/gyrvab6f]Hier[/url] ist eine erweiterte Version dieses Applets.[br] Im [url=https://www.geogebra.org/m/ybd5c6th]Applet[/url] wird noch ein weiteres Acht-Punkte-Modell mit 1 Freiheitsgrad betrachtet.[/color][/size]
Die "resultierende Wirkung" an jedem Punkt der benachbarter Punkte.
– Roman Chijner

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