[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]Los conjuntos tonales[/b][br][br]Un [i]conjunto tonal[/i] es simplemente una colección desordenada de entre 12 notas. Las doce únicas notas del teclado (en una octava) son numeradas de 0 a 11, empezando por Do. Por ejemplo, el conjunto tonal de las notas Do, Mi, Sol se puede escribir como (0,4,7).

Los compositores tratan estos conjuntos con diversos grados de libertad cuando aplican el método a su música atonal. El conjunto (0,1,6) se hizo tan popular entre Schönberg y sus discípulos que ha sido bautizado como [i]El tricorde vienés[/i].[br][br][b]Inversiones[/b][br][br]Una melodía es invertida cambiando el sentido de los intervalos. Si el original es una tercera menor, la inversión devolverá una sexta mayor. En la Teoría de Conjuntos, cualquier nota puede ser invertida por sustracción de 12 (la inversión de 1 es 11, la de 2 es 10, etc.; las notas 0 y 6 son inversas de sí mismas).[br][br]Observando el disco de números, se aprecia que la inversión de un conjunto produce su imagen reflejada en un espejo. El eje de inversión es la recta que une 0 y 6, así que veremos la inversión como si el original sufriese una reflexión horizontal.[br][br][b]Intervalos mínimos[/b][br][br]Los conjuntos pueden ponerse en [i]intervalo mínimo[/i], que es la forma de ordenar las notas del conjunto de manera que sea la más “compacta”. Esto significa que el mayor de los intervalos entre dos notas consecutivas pase a ser el que separa la primera y última nota. Si observamos el disco de números, el intervalo mínimo representará el recorrido más corto que recorra todas las notas.[br][br]El conjunto (2,9,10), por ejemplo, no está escrito como intervalo mínimo porque el intervalo entre 2 y 9 es mayor que el intervalo entre 9 y 10 o entre 10 y 2. Para poner el conjunto (2,9,10) como intervalo mínimo, deberemos escribirlo como (9,10,2). Así, el intervalo más grande quedará "fuera".[br][br]Si no existe ningún intervalo mayor que el resto, entonces el intervalo mínimo es la representación del conjunto en la que los intervalos más pequeños queden al principio del conjunto y los mayores al final, o dicho de otra forma, “más compactado a la izquierda”.[br][br]Por ejemplo, el intervalo mínimo de (0,4,5,8) es (4,5,8,0).[br][br][b]Formas básicas o clases de conjuntos[/b][br][br]Si obtenemos el intervalo mínimo de un conjunto y el intervalo mínimo de su inversión, entonces su [i]forma básica[/i] es el conjunto más "compacto" de los dos anteriores, trasladado al 0.[br][br]Por ejemplo, consideremos el conjunto (7,8,2,5), que llamaremos A:[br][list][*]El intervalo mínimo de A es (2,5,7,8). [/*][*]La inversión de A es (5,4,10,7). [/*][*]El intervalo mínimo de la inversión de A es (4,5,7,10). [/*][/list][br]Como (4,5,7,10) está más compactado a la izquierda que (2,5,7,8), elegimos (4,5,7,10) y lo trasladamos para que comience en 0. Obtenemos (0,1,3,6) que es la forma básica.[br][br]Las representaciones en forma básica también son nombradas como [i]clases de conjuntos[/i]. Por ejemplo, los conjuntos tonales (1,2,7), (8,2,3), y (0,11,6) pertenecen a la misma clase de conjuntos (0,1,6).[br][br][b]Aplicación de las formas básicas[/b][br][br]La forma básica es una abstracción de las clases de conjuntos que nos ofrece una única [i]imagen[/i] de esa colección particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma forma básica podemos asegurar que [i]sonarán parecidos[/i] uno al otro.[br][br]Los conjuntos con la misma forma básica contienen el mismo número de notas y la misma colección de intervalos entre ellas, así que existe una cierta equivalencia auditiva, de la misma forma que todos los acordes mayores son auditivamente equivalentes en la música tonal.[br][br][b]Números de Forte[/b][br][br]Forte catalogó cada forma básica de conjuntos de 3 a 9 elementos y las ordenó de acuerdo a su contenido de intervalos. Asignó a cada forma básica un código, como "5-35". En este código, el primer número es un índice que indica el número de notas del conjunto, y el segundo número fue asignado por Forte.[br][br]Los conjuntos complementarios tienen el mismo número de catálogo en el sistema de clasificación de Forte (por ejemplo, el complementario de 5-35 es 7-35).[br][br]Aquí puedes ver una breve lista de algunos [i]números de Forte[/i] populares: