[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/rtgbunzh]Una visión geométrica de las operaciones aritméticas[/url].[/color][br][br]P9. El inverso del inverso de [i]a[/i] es [i]a[/i], esto es, ([i]a[/i][sup]-1[/sup])[sup]-1[/sup] = [i]a[/i], pues (A[sup]-1[/sup])[sup]-1[/sup] = A.[br][br]P10. El inverso de 1 (abscisa de I) es 1, y el de –1 (abscisa de I') es –1, pues tanto I como I' están en la circunferencia unitaria.[br][br]P11. Distributiva respecto a la suma. Para cualesquiera [i]a[/i], [i]b[/i] y [i]c[/i], se verifica que [i]a[/i] ([i]b[/i] + [i]c[/i]) = [i]a[/i] [i]b[/i] + [i]a[/i] [i]c[/i], pues el punto medio M entre P[sub]AB [/sub]y P[sub]AC [/sub]es el mismo que el punto medio entre O y el punto P[sub]A(B+C)[/sub].[br]

[b]8. La división y el cociente[/b][br][br]Siempre que B no coincida con O, para dividir [i]a[/i]/[i]b[/i], multiplicamos [i]a[/i] [i]b[/i][sup]-1[/sup], obteniendo el punto C([i]a[/i]/[i]b[/i], 0). Si A coincide con O, C coincidirá también con O.[br][br]Con GeoGebra, dados A y B, con B distinto de O: [br][br] 1. B[sup]-1[/sup] = Refleja(B, Circunferencia((0,0), 1)[br] 2. B[sup]-1[/sup][sub]y[/sub] = (0, x(B[sup]-1[/sup]))[br] 3. r[sub]A[/sub] = Recta((0,1), A)[br] 4. r[sub]AB[/sub] = Recta(B[sup]-1[/sup][sub]y[/sub], rA)[br] 5. C = Interseca(r[sub]AB[/sub], EjeX)[br][br]Esto equivale, analíticamente (pues GeoGebra considera A/B como la división del número complejo [i]x[/i](A) + [i]y[/i](A) [i]i[/i] entre el complejo [i]x(B)[/i] + [i]y[/i](B) [i]i[/i]), a:[br][br]C = (real(A/B), 0)[br][br]La división no es conmutativa. Por ejemplo, 0/1 no coincide con 1/0, pues en el primer caso obtenemos la abscisa de O y en el segundo no obtenemos ningún valor real.[br][br][br][b]Conclusiones[/b][br][br]Hemos podido comprobar cómo GeoGebra puede ayudar a la visualización y observación de las propiedades de las operaciones aritméticas de dos modos complementarios y fuertemente relacionados a través de la geometría analítica: mediante la realización de construcciones sintéticas y mediante el uso de procedimientos algebraicos (como operaciones con vectores o números complejos). [br][br]Este ejercicio de observación de los procedimientos matemáticos, con gran carga histórica, puede ser profundizado en mayor o menor medida, en función del conocimiento previo de los alumnos. El objetivo último, una vez más, es facilitar la percepción de la alta conexión entre diferentes conceptos y métodos, seña de identidad de programas como GeoGebra y de las propias Matemáticas.[br][br][br][br][color=#999999][color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color][/color]