Will man [b][color=#ff7700]Flächen[/color][/b] zu einem [b][color=#a64d79]Körper[/color][/b] zusammenfalten, dann benötigt man mindestens [b]drei[/b] [b][color=#ff7700]Flächen[/color][/b], die an einer Ecke zusammenstoßen. Damit dies im Raum gelingt, müssen diese [b][color=#ff7700]Flächen[/color][/b] in der[b] Ebene[/b] eine 'Lücke' haben. Diese Lücke besagt, dass die Winkelsumme der drei aneinanderstoßenden [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] Polygone kleiner als 360° ist.[br]Das kleinste [b][color=#ff0000]reguläre[/color][/b] Polygon ist das [b][color=#ff0000]gleichseitige[/color][/b] Dreieck, dessen Innenwinkel alle jeweils 60° betragen.[br]Drei [b][color=#ff0000]reguläre[/color][/b] Dreiecke bilden an ein Ecke in der Ebene einen Winkel von 180°, aber es sind auch noch weitere Szenarien möglich:[br]drei [color=#ff0000]reguläre[/color] Dreiecke: 180°, das führt zum [b][color=#ffe599]Tetraeder[/color][/b].[br]vier [color=#ff0000]reguläre [/color]Dreiecke: 240°, das führt zum [b][color=#6aa84f]Oktaeder[/color][/b],[br]fünf [color=#ff0000]reguläre[/color] Dreiecke: 300°, das führt zum [b][color=#ff7700]Ikosaeder[/color][/b].[br]Sechs [color=#ff0000]reguläre[/color] Dreiecke haben 360°, und bilden keine Lücke mehr.[br][br]Das nächsthöhere [color=#ff0000]reguläre[/color] Polygon ist das [b]Quadrat[/b], mit den Innenwinkeln von jeweils 90°.[br]drei [color=#ff0000]reguläre[/color] Vierecke: 270°, das führt zum [b][color=#ff00ff]Hexaeder[/color][/b] (Würfel).[br]Vier [color=#ff0000]reguläre[/color] Vierecke haben an einer Ecke 360°, und bilden keine Lücke mehr.[br][br]Nun folgt das[color=#ff0000]reguläre[/color] Fünfeck (Pentagon) als nächsthöheres Polygon, mit den Innenwinkeln von jeweils 108°. [br]drei [color=#ff0000]reguläre[/color] Fünfecke: 324°, das führt zum [b][color=#0000ff]Dodekaeder[/color][/b].[br]Vier [color=#ff0000]reguläre[/color] Fünfecke übersteigen das Winkelmaß von 360° und können somit keinen Körper mehr bilden.[br][br]Mit der Innenwinkelgleichung: [math]\alpha=\frac{\left(n-2\right)}{n}\cdot180°[/math] überzeugt man sich leicht, dass beim [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] Sechseck (also [b]n [/b]= [b]6[/b]) die Innenwinkel 120° betragen müssen, so dass bei drei [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] Sechsecken keine Lücke mehr bleibt. [br]Für alle folgenden [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] Polygone ist die Winkelsumme an einer Ecke immer größer als 360°, so dass tatsächlich nur mit den genannten [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] Flächen reguläre Körper gebildet werden können. [br]Lässt man Mischflächen zu, so gelangt man zu den [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedischer_Körper][b]Archimedischen Körper[/b][/url], die in einem Extrabuch behandelt werden.[br]Das nachfolgende Applet zeigt wie man von den [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] [b][color=#ff7700]Flächen[/color][/b] zu den [b][color=#ff0000]regulären[/color][/b] [b][color=#a64d79]Körpern[/color][/b] kommt und diese dann zum [url=https://www.mathetreff-online.de/fun/bastelecke]Bastelelement[/url] auffalten kann.[br]

Der Begriff Stern ist mathematisch nicht sehr genau umrissen. ([math]\longrightarrow[/math][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Stern_(Geometrie)]hier[/url]). Das nachfolgende Applet zeigt, was man in der Ebene unter einem Stern verstehen kann. Streng genommen kann man dann auch ein Quadrat mit den Diagonalen als Stern bezeichnen, in dem Applet fängt aber der der Begriff Stern erst ab dem regelmäßigen Fünfeck an. [br]Dabei startet man an einem Punkt des Polygons und 'überspringt' einen Punkt. Vom nächsten Punkt überspringt man wieder einen Punkt usw. bis man alle Punkte verbunden hat. Man verbindet also immer den 2. Punkt vom erreichten Punkt. [br]Bei einigen Sterne landet man beim Überspringen -man sagt [b][color=#a61c00]überschlagen[/color][/b]- wieder beim Ausgangspunkt, ohne die anderen Punkte zu 'treffen', dann wiederholt man das Prozedere mit dem ersten freien Punkt.[br]Man kann manchmal auch zwei, drei,... Punkte überschlagen -also jeden 3., 4., ... Punkt verbinden, was dann zu unterschiedlichen Sternmustern führt. Diese Sterne werden mit einem sogenannten [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Schläfli-Symbol]Schläfli-Symbol [/url]bezeichnet. Diese Symbol besteht aus zwei Zahlen, z.B. ([b][color=#0000ff]5[/color][/b],[b][color=#cc0000]2[/color][/b]). Die erste Zahl gibt an, wieviele [b][color=#0000ff]Spitzen[/color][/b] der Stern hat, die zweite Zahl, welchen Punkt am vom Startpunkt verbindet. Näheres dazu findet man bei [url=https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reg-Sterne/Reg-Sterne.pdf]Hans Walser[/url].[br]Man kann auch Sterne aus [b]Nichtpolygonen[/b] erzeugen, wie es im Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/m92pqcja#material/eaksrugv]Nichtüberschlagende Sterne[/url] beschrieben wird.

Die bisherigen Sterne wurden aus den [b]Platonischen Körpern[/b] als Grundbaustein gebildet. Zur Weihnachtszeit sieht man überall den berühmten [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Herrnhuter_Stern]Herrnhuther Stern[/url], der in unterschiedlichen Größen in Fenstern, Kirchen oder großen Gebäuden zur Weihnachtszeit aufgehängt ist. [br]Er passt nicht in die bisherige Struktur, denn sein Grundbaustein besteht aus einem Körper, der aus [b]Quadraten[/b] und [b]gleichseitigen[/b] Dreiecken aufgebaut ist. Dabei sind alle [b]Kantenlängen[/b] dieses Körpers gleichlang. Dieser Körper gehört zu den [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedischer_Körper]Archimedischen Körpern[/url] und wird als [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Rhombenkuboktaeder]Rhombenkuboktaeder[/url] bezeichnet. [br]Ohne die Gruppe der Archimedischen Körper näher zu betrachten, soll hier dieser Stern lediglich aus Traditionsgründen ein wenig zum Sternstudium anregen. Der offizielle Herrnhuter Stern hat nicht eine Umkugel, sondern zwei Umkugeln, weil die Spitzwinkel an den Sternenenden nicht gleich groß sind. [br]Das nachfolgende Applet soll zum Studieren dieses Sterns einladen.

Man kann auch kongruente Eckkörper gegeneinander verdrehen, so wie man das bei den Polygonalsternen in Kapitel 1 beschrieben hat. Dabei entstehen keine '[b]echten' Sternkörper[/b], mit gleichgroßen Flächen. Das nachfolgende Applet zeigt am Beispiel des [b][color=#ff00ff]Würfels[/color][/b], was damit gemeint ist. [br]Der Bezeichnung Diamant-'Stern' kommt durch Nähe zur [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Diamantstruktur]Diamantstruktur[/url], die man im Diamant-Kristall findet.

Elschenbroich, Hans Jürgen: [b]Der Stern von Paulliac [/b]in: Mathematik lehren, 228, 2021.[b][br][/b] [url=https://www.geogebra.org/m/bm8ybev6]https://www.geogebra.org/m/bm8ybev6[/url][br][br]Ludwig, Matthias: [b]Stern und Sternkörper Mathewelt[/b] in: Mathematik Lehren, 114, 2002, [br][br]Walser, Hans: [b]Regelmäßige Sterne[/b] [url=https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reg-Sterne/Reg-Sterne.pdf]https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reg-Sterne/Reg-Sterne.pdf[br][br][/url]Wittman, Erich Christian: [b]Elementargeometrie und Wirklichkeit[/b] Viewegverlag: Braunschweig, 1987.