[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]Árboles filogenéticos[/b][br][br]Con objeto de estudiar las posibles relaciones genealógicas entre los distintos patrones rítmicos, utilizaremos una técnica común en [i]análisis filogenético [/i]que nos ayudará a analizar y visualizar el conjunto de datos obtenidos en la matriz de distancias. Esta técnica de análisis de datos se basa en la generación de los llamados [i]árboles filogenéticos[/i]. Concretamente aquí hablaremos de la técnica llamada [i]SplitsTree[/i]. [br] [br]La técnica está basada en un proceso iterativo de división y que da como resultado una inmersión de un grafo plano con la propiedad de que la distancia en el dibujo entre dos nodos refleja, tanto como es posible, la verdadera distancia entre los dos patrones rítmicos correspondientes en la matriz de distancias. Este método tiene además la buena propiedad de que produce un grafo y no un árbol cuando la estructura de proximidad subyacente no es intrínsecamente de tipo árbol. De hecho, si la estructura de árbol no coincide con los datos perfectamente, se introducen nuevos nodos con objeto de obtener un mejor ajuste. Pueden visualizarse estos nodos sin etiquetas en las dos siguientes figuras, que han sido calculados para la matriz de distancias de permutación dirigida y distancia cronotónica respectivamente. [br] [br]La interpretación del grafo obtenido es la siguiente. La suma de las longitudes de las aristas del camino más corto entre un patrón y otro es proporcional a la distancia real entre ellos. Los nuevos nodos incorporados (aparecen sin etiqueta) sugieren la existencia de patrones rítmicos “ancestrales” de donde los actuales podrían haber evolucionado. Las aristas se pueden dividir para formar paralelogramos, como se ve en el centro de la figura anterior. Los tamaños relativos de estos paralelogramos son proporcionales a su [i]índice de aislamiento[/i], que indica cuán significativas son las relaciones de agrupamiento en la matriz de distancias. La herramienta [i]SplitsTree[/i] también calcula el [i]índice de descomposición[/i], una medida de la bondad del ajuste del grafo entero. El ajuste se obtiene dividiendo la suma de todas las distancias aproximadas en el grafo por la suma de todas las distancias originales en la matriz de distancias. En este caso obtenemos un sorprendente ajuste del 100%.[br][br]A continuación, se describen los resultados obtenidos en el grafo [i]SplitsTree[/i] para las dos distancias.

El grafo de la distancia cronotónica sugiere un agrupamiento en tres grupos. Uno está formado por el fandango y la seguiriya; el segundo, por la soleá y bulería; y el tercero, en solitario, la guajira. El compás bulería es el más “alejado” de todos con una suma de distancias igual a 40. En cambio, la guajira es el más similar a los demás con una suma igual a 26. Aparecen cuatro nodos sin etiquetas, esto es, de los que no corresponden a ninguno de los patrones rítmicos dados.

El agrupamiento en el grafo de la distancia de permutación dirigida es ligeramente distinto al de la cronotónica. Un primer grupo lo componen soleá y bulería, otro central, guajira y fandango, mientras que seguiriya permanece en un tercer y solitario grupo. Los patrones rítmicos más similares a los otros son la guajira y el fandango, que empatan a 21. Es por esto que aparecen en el ‘centro’ del grafo. Aparecen dos nodos sin etiqueta, cerca de la guajira y el fandango. También es de destacar que seguiriya y bulería se encuentran en los extremos del grafo y son los patrones mas ‘alejados’ de los demás, con un total igual a 31 y 29, respectivamente.