Isometrías
Isometrías, teselaciones, mosaicos, rosetones, frisos, movimientos en el plano
Table of Contents
- Las isometrías
- Las cuatro isometrías
- Coloca los puntos
- Composición de isometrías
- El mapa incompleto del tesoro
- Rosetones
- Creador de rosetones
- Las dos clases de rosetones
- Rosetones cíclicos
- Rosetones diedros
- Frisos
- Creador de frisos
- Los 7 grupos de frisos
- Frisos: grupo 1 (huella)
- Frisos: grupo 2 (paso)
- Frisos: grupo 3 (vuelta)
- Frisos: grupo 4 (salto)
- Frisos: grupo 5 (ladino)
- Frisos: grupo 6 (vuelta ladina)
- Frisos: grupo 7 (vuelta a saltos)
- Mosaicos periódicos
- Creador de mosaicos periódicos
- Los 17 grupos de mosaicos periódicos
- Mosaicos: grupo 1 (o, p1)
- Mosaicos: grupo 2 (2222, p2)
- Mosaicos: grupo 3 (*x, cm)
- Mosaicos: grupo 4 (2*22, cmm)
- Mosaicos: grupo 5 (**, pm)
- Mosaicos: grupo 6 (xx, pg)
- Mosaicos: grupo 7 (*2222, pmm)
- Mosaicos: grupo 8 (22x, pgg)
- Mosaicos: grupo 9 (22*, pmg)
- Mosaicos: grupo 10 (442, p4)
- Mosaicos: grupo 11 (*442, p4m)
- Mosaicos: grupo 12 (4*2, p4g)
- Mosaicos: grupo 13 (333, p3)
- Mosaicos: grupo 14 (*333, p3m1)
- Mosaicos: grupo 15 (3*3, p31m)
- Mosaicos: grupo 16 (632, p6)
- Mosaicos: grupo 17 (*632, p6m)
- Mosaicos regulares y semirregulares
- Mosaicos regulares y semirregulares
Las cuatro isometrías
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Las isometrías ("iso", igual; "metría", medida) son transformaciones del plano que conservan la forma y el tamaño de cualquier figura plana. Solo existen cuatro tipos diferentes de isometrías planas: [br][list][*][b]Traslación ([color=#0066FF]T[/color])[/b]. El plano se desplaza cierta distancia en determinada dirección. [br][br][/*][*][b]Rotación o Giro ([color=#0066FF]G[/color])[/b]. El plano gira cierto ángulo respecto a un punto (centro de rotación). [br][br][/*][*][b]Reflexión o Simetría axial ([color=#0066FF]S[/color])[/b]. Consiste en darle la vuelta al plano (giro espacial de 180º alrededor de una recta), o, equivalentemente, reflejarlo en un espejo (eje de reflexión). [br][br][/*][*][b]Reflexión Desplazada ([color=#0066FF]D[/color])[/b]. El plano se refleja y se traslada en la dirección del eje de reflexión. Equivale a realizar [b][color=#0066FF]S[/color][/b] y [b][color=#0066FF]T[/color][/b], una tras otra. [br][/*][/list]Esta actividad puede ayudarte a conocer sus principales características.
1. Observa que el deslizador vertical está en la posición [color=#0066FF][b]T[/b][/color]. Mueve los puntos azules. ¿Qué relación hay entre el vector azul y la posición de los cisnes? ¿Cómo se llama la isometría que transforma uno en otro? ¿Qué papel cumplen los puntos azules?
2. ¿Qué sucede cuando intentas mover alguno de los cisnes? ¿Cuál puedes mover, el cisne original o el cisne transformado?
3. Los dos cisnes, ¿tienen la misma orientación? (Es decir, ¿coincidirían al superponerse?)
4. ¿Qué sucede si mueves el vector azul (no sus puntos extremos, sino el propio vector)? ¿Por qué?
5. Usa el botón de Reproducir (esquina inferior izquierda) para visualizar el movimiento. En lo sucesivo, anima o detén la animación cuando desees. El deslizador de movimiento (justo encima del de velocidad) te permite devolver el cisne móvil, una vez parado, a su posición inicial. ¿En qué caso el cisne transformado coincidirá con el original?
6. Activa la casilla Rastro para ver el recorrido seguido para ir del cisne original al cisne transformado. ¿Qué relación hay entre ese recorrido y el vector azul? Mueve la goma de borrar cada vez que quieras limpiar los rastros.
7. Reinicia la aplicación (esquina superior derecha). Mueve el deslizador vertical a la posición [color=#0066FF][b]G[/b][/color]. ¿Qué relación hay entre el ángulo azul y la posición de los cisnes? ¿Cómo se llama la isometría que transforma uno en otro? ¿Qué papel cumple el punto azul?
8. ¿Qué sucede si mueves el punto blanco (extremo del ángulo)? ¿El ángulo tiene siempre el mismo sentido o puede tener dos sentidos diferentes?
9. Los dos cisnes, ¿tienen la misma orientación?
10. Usa el botón de Reproducir para visualizar el movimiento. ¿En qué caso el cisne transformado coincidirá con el original?
11. Activa la casilla Rastro para ver el recorrido seguido para ir del cisne original al cisne transformado. ¿Qué relación hay entre ese recorrido y el ángulo azul con vértice en el punto azul?
12. Reinicia. Mueve el deslizador vertical a la posición [color=#0066FF][b]S[/b][/color]. ¿Qué relación hay entre la recta azul y la posición de los cisnes? ¿Cómo se llama la isometría que transforma uno en otro?
13. ¿Qué sucede si mueves la recta azul (no los puntos azules, sino la propia recta)? ¿Por qué?
14. Los dos cisnes, ¿tienen la misma orientación?
15. Usa el botón de Reproducir para visualizar el movimiento. ¿En qué caso el cisne transformado coincidirá con el original?
16. Activa la casilla Rastro para ver el recorrido seguido para ir del cisne original al cisne transformado. ¿Qué relación hay entre ese recorrido y la recta azul?
17. Reinicia. Mueve el deslizador vertical a la posición [color=#0066FF][b]D[/b][/color]. ¿Qué relación hay entre la recta y el vector azules y la posición de los cisnes? ¿Cómo se llama la isometría que transforma uno en otro?
18. ¿Qué sucede si mueves la recta azul (no los puntos azules, sino la propia recta)? ¿Por qué?
19. ¿Qué sucede si solo mueves el vector azul (procurando no mover la recta azul)? ¿Por qué?
20. Los dos cisnes, ¿tienen la misma orientación?
21. Usa el botón de Reproducir para visualizar el movimiento. ¿En qué caso el cisne transformado coincidirá con el original?
22. Activa la casilla Rastro para ver el recorrido seguido para ir del cisne original al cisne transformado. ¿Qué relación hay entre ese recorrido y el vector y la recta azules?
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Creador de rosetones
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/rosetones.html]grupos de isometrías de los rosetones[/url].[br][br]En esta actividad podrás crear tu propio diseño de mosaico periódico. Para ello primero deberás elegir el grupo de isometrías, es decir, los tipos de simetrías que deseas que aparezcan. [br][br]Advierte que, en este libro de GeoGebra, además de esta actividad, dispones de otras actividades específicas para cada una de las clases, Cíclicos y Diedros, que te permitirán explorarlos con mayor profundidad.[br][br]Una vez elegido el grupo, puedes mover los vértices del azulejo que se repite por traslación y dibujar el motivo decorativo en la región sombreada (celda primitiva). [b]El lápiz se coge por su extremo superior[/b]. Es recomendable realizar movimientos suaves, especialmente cerca de los bordes de la celda primitiva. Para mover el punto sin que deje rastro de color, desactiva temporalmente la casilla Rastro.
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Rosetones cíclicos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/rosetones.html]grupos de isometrías de los rosetones[/url].[br][br]En esta actividad explorarás la clase de los Cíclicos (n, n). Es la primera de las dos clases de rosetones.
1. En este grupo la celda primitiva coincide con el azulejo entero, que se encuentra sombreado. Mueve el punto verde hasta que aparezca "Orden 5". ¿Qué forma tiene el azulejo?
2. Variando de posición del punto verde puedes cambiar el orden de la rotación. ¿Cuál es el valor mínimo de ese orden? ¿A qué ángulo corresponde?
3. ¿Cuál es el orden máximo que admite la aplicación? ¿A qué ángulo de rotación mínima del azulejo corresponde?
4. Elige el orden 5 y activa las casillas "Aplicar simetrías" y "Centro de rotación". ¿Cuáles son los valores de los ángulos que ha rotado el azulejo (y el cisne) para obtener los otros 4 cisnes y una copia de sí mismo? Activa las casillas "Copiar el rosetón" y "Rotar cierto ángulo". Rota el ángulo para comprobar que para esos 5 valores (puedes usar las teclas + y - del teclado para mayor precisión) la copia girada del rosetón vuelve a coincidir exactamente con el rosetón.
5. Desactiva la casilla "Rotar cierta ángulo" y activa la casilla "Reflejar en un diámetro". La copia del rosetón se reflejará en un espejo que pasa por su centro. Puedes mover el diámetro-espejo con el punto violeta. ¿Hay alguna posición del diámetro para la cual la copia reflejada del rosetón vuelva a coincidir exactamente con el rosetón? ¿Por qué?[br]
[br]6. Realiza las mismas operaciones anteriores con otros órdenes de rotación.[br] [br]7. Desactiva todas las casillas excepto Azulejo. Activa la casilla "Dibujo libre" y la casilla Rastro. Realiza varios diseños de rosetones (el lápiz se coge por su extremo superior) y observa el tipo de simetría que aparece en todos ellos, independientemente del motivo decorativo que dibujes. Realiza varios dibujos en diferentes órdenes de rotación. [br][color=#999999][br][br][br][br]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Creador de frisos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/frisos.html]grupos de isometrías de los frisos[/url].[br] [br]En esta actividad podrás crear tu propio diseño de mosaico periódico. Para ello primero deberás elegir el grupo de isometrías, es decir, los tipos de simetrías que deseas que aparezcan. Aquí tienes [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/friso_creador/grupos.html]un ejemplo de cada grupo[/url]. [br][br]Advierte que, en este libro de GeoGebra, además de esta actividad, dispones de otras actividades específicas para cada uno de los grupos, del 1 al 7, que te permitirán explorarlos con mayor profundidad.[br][br]Una vez elegido el grupo, puedes mover los vértices del azulejo que se repite por traslación y dibujar el motivo decorativo en la región sombreada (celda primitiva). [b]El lápiz se coge por su extremo superior[/b]. Es recomendable realizar movimientos suaves, especialmente cerca de los bordes de la celda primitiva. Para mover el punto sin que deje rastro de color, desactiva temporalmente la casilla Rastro.
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Frisos: grupo 1 (huella)
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/frisos.html]grupos de isometrías de los frisos[/url].[br] [br]Es recomendable que sigas el orden numérico de los grupos.[center][img]https://www.geogebra.org/resource/yrkqguhd/8IEfNpiyNRq4EVaR/material-yrkqguhd.png[/img][/center]En esta actividad explorarás el grupo 1 ([color=#cc0000]∞∞[/color], [color=#0000ff]11[/color]). Es un grupo especial y muy sencillo: simplemente no se hacen copias del motivo decorativo dentro del mismo azulejo. En el azulejo se dibuja cualquier cosa que no tenga simetría, como el dibujo de un cisne visto lateralmente. De este modo, las únicas simetrías que tendrá el friso son las traslaciones en la misma dirección de los azulejos, todos ellos idénticos, como las [i]huellas[/i] de un mismo pie.
1. La parte del azulejo donde colocamos el motivo decorativo (el cisne) se denomina "Celda primitiva". En este caso, esta celda es todo el azulejo. Desactiva y activa esa casilla para ver el efecto producido. Observa que uno de los azulejos aparece sombreado. [br] [br]¿Crees que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, podrían aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne?[br][br]Al activar la casilla "Aplicar simetrías" no sucede nada. ¿Por qué? (Nota: esta casilla no tiene en cuenta las simetrías por traslación.)
2. Desactiva la casilla Azulejo y activa la casilla "Vectores de traslación". Muévelos por el punto medio verde. ¿Qué indican esos vectores? Activa de nuevo la casilla Azulejo. ¿Qué relación existe entre esos vectores y cada azulejo?[br][br]Desactiva la casilla "Vectores de traslación". Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada. ¿Por qué?[br][br]Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada. ¿Por qué?
3. Activa la casilla "Copiar parte del friso". Mueve la copia desplazando la imagen de flechas rojas. ¿Cuánto tienes que desplazar la copia para que vuelva a coincidir con el original? ¿Cómo se llama la isometría que corresponde a esa simetría por desplazamiento?
4. Activa la casilla Centrar para volver la copia a su posición inicial. Activa la casilla "Rotar 180º". ¿Coincide al copia con el original? ¿Por qué?[br][br]Desactiva las casillas "Centrar" y "Rotar 180º". Activa la casilla "Reflejar en la horizontal". ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?[br] [br]Activa la casilla "Reflejar en la vertical". ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué? [br][br]Activa la casilla "Reflejar con deslizamiento". ¿Qué representa el segmento discontinuo rojo? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?[br] [br]Si efectúas dos traslaciones seguidas de la copia, ¿obtienes una nueva traslación? ¿Crees que la composición de dos traslaciones siempre será una traslación?
5. Escribe todos los tipos de isometrías presentes en este grupo [color=#cc0000]∞∞[/color].
6. Desactiva las casillas "Celda primitiva" y "Copiar parte del friso". Activa la casilla "Dibujo libre". Aparecerá un punto. Muévelo por la zona del azulejo sombreado. Activa la casilla Rastro y vuelve a mover el punto. Explica qué sucede. Para dejar de pintar basta con que desactives la casilla Rastro y vuelvas a activarla para seguir pintando en otro lugar. También puedes mover la goma de borrar para limpiar todos los rastros dejados.
7. La aplicación está diseñada para variar automáticamente el color en función de la posición del punto que mueves, de forma que se consigan fácilmente resultados vistosos y agradables en la mayoría de los casos. Es una opción muy recomendable. Sin embargo, también puedes usar tu propia paleta de colores. Para ello, debes activar la casilla "Color manual". Actívala e intenta dibujar (el lápiz se coge por su extremo superior) algún motivo decorativo con distintos colores a tu gusto.[br][br][br][br][color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Creador de mosaicos periódicos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/mosaicos.html]grupos de isometrías de los mosaicos[/url]. [br][br]En esta actividad podrás crear tu propio diseño de mosaico periódico. Para ello primero deberás elegir el grupo de isometrías, es decir, los tipos de simetrías que deseas que aparezcan. Aquí tienes [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/mosaico_creador/grupos.html]un ejemplo de cada grupo[/url]. [br][br]Advierte que, en este libro de GeoGebra, además de esta actividad, dispones de otras actividades específicas para cada uno de los grupos, del 1 al 17, que te permitirán explorarlos con mayor profundidad.[br][br]Una vez elegido el grupo, puedes mover los vértices del azulejo que se repite por traslación y dibujar el motivo decorativo en la región sombreada (celda primitiva). [b]El lápiz se coge por su extremo superior[/b]. Es recomendable realizar movimientos suaves, especialmente cerca de los bordes de la celda primitiva. Para mover el punto sin que deje rastro de color, desactiva temporalmente la casilla Rastro.
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Mosaicos: grupo 1 (o, p1)
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los [url=http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/mosaicos.html]grupos de isometrías de los mosaicos[/url]. [br][br]Es recomendable que sigas el orden numérico de los grupos.[br][br]En esta actividad explorarás el grupo 1 ([color=#cc0000]o[/color], [color=#0000ff]p1[/color]). Es un grupo especial y muy sencillo: simplemente no se hacen copias del motivo decorativo dentro del mismo azulejo. En el azulejo se dibuja cualquier cosa que no tenga simetría, como el dibujo de un cisne visto lateralmente. De este modo, las únicas simetrías que tendrá el mosaico son las traslaciones de los azulejos, todos ellos idénticos.
1. Mueve el vértice del azulejo (punto verde) y observa el efecto. ¿Qué tipo de paralelogramo es el azulejo? Variando de posición el vértice, ¿puede tomar una forma cuadrada? ¿Y rómbica? ¿Y rectangular?
2. La parte del azulejo donde colocamos el motivo decorativo (el cisne) se denomina "Celda primitiva". En este caso, esta celda es todo el azulejo. Desactiva y activa esa casilla para ver el efecto producido. Observa que uno de los azulejos aparece sombreado. ¿Crees que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, podrían aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne?[br]
3. Deja activada la casilla "Celda primitiva". Desactiva y activa la casilla Azulejo. Observa que cuando se encuentra desactivada es mucho más difícil darse cuenta de la distribución precisa de los azulejos. Cuando la activas, se muestra el borde de cada azulejo. ¿Qué tipo de rectas forman todos los bordes al juntarse unos con otros? [br]
4. Deja activada la casilla Azulejo. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" no sucede nada. ¿Por qué? (Nota: esta casilla no tiene en cuenta las simetrías por traslación.)[br]
5. Desactiva la casilla Azulejo y activa la casilla "Vectores de traslación". Muévelos por el punto medio verde. ¿Qué indican esos vectores? Activa de nuevo la casilla Azulejo. ¿Qué relación existe entre esos vectores y cada azulejo?
6. Desactiva la casilla "Vectores de traslación". Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada. ¿Por qué?
7. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada. ¿Por qué?
8. Activa la casilla "Copiar parte del mosaico". Mueve la copia desplazando la imagen de flechas rojas. ¿Cuánto tienes que desplazar la copia para que vuelva a coincidir con el original? ¿Cómo se llama la isometría que corresponde a esa simetría por desplazamiento?
9. Activa la casilla Centrar para volver la copia a su posición inicial. Activa la casilla "Rotar cierto ángulo" y elige un ángulo de 90º (puedes usar las teclas + y - del teclado para mayor precisión). ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?
10. Rota la copia 180º. ¿Coincide al copia con el original? ¿Por qué?
11. Rota la copia 360º. ¿Coincide al copia con el original? ¿Por qué?
12. Desactiva las casillas "Centrar" y "Rotar cierto ángulo". Activa la casilla "Reflejar en la horizontal". ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?
13. ¿Coinciden las esquinas de la copia (paralelogramo azul) con las esquinas originales? ¿Por qué?
14. Si efectúas dos traslaciones seguidas de la copia, ¿obtienes una nueva traslación? ¿Crees que la composición de dos traslaciones siempre será una traslación?
15. Escribe todos los tipos de isometrías presentes en este grupo [color=#cc0000]o[/color].
16. Desactiva las casillas "Celda primitiva" y "Copiar parte del mosaico". Activa la casilla "Dibujo libre". Aparecerá un punto. Muévelo por la zona del azulejo sombreado. Activa la casilla Rastro y vuelve a mover el punto. Explica qué sucede. Para dejar de pintar basta con que desactives la casilla Rastro y vuelvas a activarla para seguir pintando en otro lugar. También puedes mover la goma de borrar para limpiar todos los rastros dejados.
17. La aplicación está diseñada para variar automáticamente el color en función de la posición del punto que mueves, de forma que se consigan fácilmente resultados vistosos y agradables en la mayoría de los casos. Es una opción muy recomendable. Sin embargo, también puedes usar tu propia paleta de colores. Para ello, debes activar la casilla "Color manual". Actívala e intenta dibujar (el lápiz se coge por su extremo superior) algún motivo decorativo con distintos colores a tu gusto.[br][br][br][br][color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Mosaicos regulares y semirregulares
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color] [color=#999999]Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro [/color][color=#999999][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][b][br][br]Triángulos equiláteros[/b],[b] cuadrados [/b]y[b] hexágonos regulares[/b] son los únicos polígonos [b]regulares[/b] que nos permiten rellenar el plano: por eso los habrás visto muchas veces recubriendo suelos o paredes. Llamamos [b]teselados o mosaicos [/b][b]regulares[/b] a los formados por polígonos regulares iguales:[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/u3cf4byf/7rU56ULo1IYf2Suy/material-u3cf4byf.png[/img][/td][td]Observa que para diferenciar bien los polígonos a veces necesitamos solo[br] 2 colores, pero en el ejemplo de la imagen tuvimos que añadir un tercer[br] tono para distinguir los hexágonos.[/td][/tr][/table][br]Pero esas no son las únicas formas de rellenar el plano con polígonos regulares. Podemos hacerlo también combinando polígonos regulares de distintos tipos, como en el siguiente mosaico:[br][center][img]https://www.geogebra.org/resource/vdxz6uhv/mNcw9cmFZLZAkEQY/material-vdxz6uhv.png[/img][/center]Este tipo de teselados o mosaicos se denominan [b]semirregulares[/b] y se forman combinando dos o más tipos de polígonos regulares, distribuidos de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos y colocados en el mismo orden. En cada vértice de ese mosaico tenemos dos triángulos, un cuadrado, un triángulo y otro cuadrado, por eso lo codificamos como [color=#cc0000]3.3.4.3.4[/color]. A este código se le llama [color=#cc0000]símbolo de Schläfli[/color]. [br][br]Ten en cuenta que mientras el anterior mosaico es [b]semirregular[/b], el siguiente mosaico no lo es, pues en este último no todos los vértices tienen la misma distribución de los polígonos (estos mosaicos se llaman [i]demirregulares[/i]). Observa que, efectivamente, en el mosaico siguiente tenemos en cada vértice dos triángulos y dos hexágonos, pero no están dispuestos siempre de la misma forma: algunos vértices son [color=#cc0000]3.3.6.6[/color] y otros son [color=#cc0000]3.6.3.6[/color]. [center][img]https://www.geogebra.org/resource/t6nqf83n/VMajlHXhdYihcRgq/material-t6nqf83n.png[/img][/center]En la barra de herramientas tienes polígonos regulares de 3 a 12 lados. Cada uno de ellos aparece, además, con ocho colores diferentes. Siguiendo la guía de preguntas, tienes que colocar estos polígonos para ir formando mosaicos. [br] [br]Para dibujar un polígono tienes que señalar dos puntos, que serán los vértices de uno de sus lados. Has de tener en cuenta que según el orden en que señales los puntos hay dos orientaciones posibles, de las cuales una será la deseada y la otra no. Si te equivocas y no resulta la orientación que deseabas, puedes utilizar la flecha de retroceso en la barra de herramientas para corregir, volviendo atrás.
1. Cuando construimos un mosaico vamos colocando polígonos uno a continuación de otro, alrededor de un vértice, hasta rellenar el plano. Si los polígonos tienen que ser todos regulares e iguales, ¿por qué podemos hacerlo solamente con triángulos, cuadrados y hexágonos?
2. ¿Cuál es el símbolo de Schläfli de cada uno de los mosaicos regulares?
3. ¿Podremos construir un mosaico combinando triángulos equiláteros y cuadrados? ¿Se podrá hacer de más de una forma?
4. ¿Y utilizando únicamente cuadrados y hexágonos? ¿Necesitaremos algún polígono más para completar el mosaico?
5. ¿Podemos combinar triángulos y hexágonos únicamente? ¿Habrá más de una forma de hacerlo?
6. Continúa analizando otras combinaciones de polígonos regulares, ¿cuáles podemos utilizar para construir mosaicos semirregulares?
7. Escribe el código que le corresponde a cada uno de los mosaicos que vas obteniendo.
8. ¿Qué criterio nos permite determinar cuándo un polígono regular se puede combinar con otros para formar un mosaico semirregular?
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]