Todas las imágenes incluidas en este capítulo corresponden a construcciones realizadas con GeoGebra que se pueden usar directamente en la página web de geometría dinámica G4D. ((Y ahora también en este libro GeoGebra.)) Los integrantes de este grupo G4D son José Manuel Arranz San José (IES Europa, Ponferrada, León), Rafael Losada Liste (IES de Pravia, Asturias), José Antonio Mora Sánchez (IES Sant Blai, Alicante) y Manuel Sada Allo (CAP de Pamplona, Navarra). ((Los destinos que figuran en este párrafo son los que aparecen en el artículo original y por tanto correspondientes al año 2011.)) Los programas que permiten este tipo de construcciones dinámicas e interactivas son los responsables, sin duda, de un considerable y generalizado aumento del interés por el aprendizaje de la geometría en todos los niveles académicos. La animación e interactividad con que dotan a las clásicas y estáticas figuras geométricas, tanto en el proceso de observación y análisis de los conceptos como en el de la resolución de problemas geométricos, están revolucionando el modo de acercar a los estudiantes los contenidos matemáticos. Un destacado ejemplo lo encontramos en Intergeo, el proyecto a cuatro años (2007-2010) puesto en marcha en la Unión Europea con una importante dotación económica. Su objetivo es, precisamente, facilitar la disponibilidad, uso y evaluación de contenido digital geométrico de calidad en la enseñanza de las matemáticas mediante la creación de una plataforma común que puedan compartir desarrolladores, profesores y estudiantes. De entre los diversos programas que ayudan de esta forma al estudio y aprendizaje de la geometría, GeoGebra destaca por poseer algunas ventajas que podemos resumir en dos palabras: facilidad y conexión. Facilidad para casi todo: para aprender a manejarlo y desenvolvernos con rapidez en su intuitivo entorno, bastando un par de sesiones para adquirir autonomía en su manejo, para usar los comandos y buscar ayuda en nuestro propio idioma (prácticamente, sea cual sea), para crear nuestras propias herramientas, para seleccionar en cada caso las herramientas permitidas a los alumnos, para convertir nuestras construcciones en páginas web interactivas, y sobre todo, para redefinir los objetos en cualquier momento sin necesidad de recomenzar toda la construcción. Además de fácil, GeoGebra consigue conectar distintos elementos que lo convierten en una aplicación diferente: asocia las expresiones gráficas a las simbólicas, la medida a la cantidad, la propiedad geométrica a la ecuación algebraica; combina la precisión con la estética, el álgebra y el cálculo con la geometría. Todo en GeoGebra parece diseñado y desarrollado alrededor de esta idea: la coordinación de los distintos códigos de información que se usan en matemáticas e informática. La facilidad de aprendizaje y uso es muy importante para su rápida y eficaz implantación en el aula. La conjugación de las expresiones visuales potencia enormemente las capacidades didácticas ayudando tanto a la comprensión de las variaciones observadas como a la profundización en los conceptos relacionados. Los variados y muy didácticos comandos de análisis funcional permiten aprovechar su uso en el aula tanto para el aprendizaje de la geometría como del álgebra y el cálculo. Y es gratuito. En este capítulo se mostrarán diversas posibilidades de GeoGebra para estudiar modelos de la realidad. Este término, realidad, se suele identificar con la realidad física, mientras que aquí deseamos referirnos a una realidad más general. Por ello, en adelante usaremos el plural, realidades, especificando en cada caso a qué tipo de realidad aludimos. Efectivamente, existe una realidad física, dimensional, neutra. Pero también existe una realidad lógica, de razonamientos y estructuras ideales, comunicativa, humana pero objetiva. Y por último existe una realidad perceptiva, estética, subjetiva. Estas tres formas de realidad se entremezclan no solo en cada persona sino también entre ellas. Para el profesor y sus alumnos constituyen lo que denominaremos simplemente “realidad de la clase de matemáticas”. GeoGebra es una herramienta que facilita la exploración de todos estos tipos de realidad. Evidentemente, GeoGebra fue creada y concebida para favorecer la enseñanza y el aprendizaje de la geometría y el cálculo en particular y de las matemáticas en general. Sin embargo, como toda herramienta, su utilidad depende en gran medida del objetivo perseguido y de la forma de emplearla. Una forma de uso consiste simplemente en trasladar las construcciones matemáticas de los libros de texto al espacio dinámico de las ventanas de GeoGebra. La posibilidad de observar cómo varían tanto expresiones numéricas o algebraicas como gráficas (¡al mismo tiempo!) al efectuar algún cambio en los valores iniciales, añade un inmenso valor pedagógico. De esta forma, el estudiante puede comprender más rápida y fácilmente la naturaleza de las relaciones representadas en el modelo, y el profesor puede formular preguntas más profundas acerca de las mismas. Otra forma de usar GeoGebra es bajo la consideración del aprendizaje de las matemáticas como medio para un fin más ambicioso: la comprensión, análisis y construcción de modelos de las realidades. En cualquier caso, es recomendable que la metodología empleada se ajuste al principio del descubrimiento gradual. Esta graduación facilitará el asentamiento de las ideas y ayudará a atender a la diversidad de alumnos. Empezaremos por mostrar un ejemplo de esta metodología.

Una forma de enseñar el teorema de Pitágoras consiste en mostrar su veracidad por cualquier medio: demostración rigurosa, comprobación en casos particulares, disecciones o transformaciones geométricas... Es decir, se presenta el resultado y se comprueba que es cierto. Otra forma, más profunda, es relacionar previamente los conceptos de perímetro, área y simetría mediante ejemplos que nos conduzcan hacia el teorema: Actividad 1. Hallar el área del decágono (porque es un decágono, ¿verdad?) que aparece en la figura, sabiendo que cada casilla mide un centímetro cuadrado. ¿Qué estrategia será la mejor para calcularla?

Es importante observar que para realizar con éxito esta actividad no es preciso el conocimiento previo de ninguna fórmula de áreas, ni siquiera la del rectángulo. Basta saber dividir y sumar, o multiplicar y restar. Presentar actividades como la anterior lleva segundos con GeoGebra. Además, como la construcción es dinámica, podemos proponer con toda facilidad diversas figuras más o menos complicadas. Ahora se pueden proponer actividades orientadas a la comprobación de que, normalmente, si solo conocemos las longitudes de dos lados de un triángulo no podemos averiguar el tamaño del tercer lado, pues no queda determinado con esos datos. En cambio, si además sabemos que el triángulo es rectángulo ya disponemos de suficiente información.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden presentar con GeoGebra algunos tipos de problemas bastante conocidos. La siguiente construcción permite observar las relaciones de proporcionalidad entre las velocidades de las agujas de un reloj y comprobar los ángulos que forman en cada momento. El reloj, un objeto cotidiano, sirve de puente entre la abstracción y la realidad.

La palabra geometría significa, como sabemos, “medida de la tierra”. La medición de longitudes y ángulos es imprescindible para resolver la mayor parte de los problemas físicos. Pero, tradicionalmente, el proceso de medir era muy costoso. ¿Cómo medir la distancia entre dos ciudades? No es que no se supiese cómo hacerlo, el verdadero problema significaba llevar la teoría a la práctica. Los antiguos medios de transporte, las penosas condiciones en que se realizaba y la relativa exactitud de los instrumentos de medición originó que la elaboración de mapas precisos costase mucho tiempo e ingenio. Hoy contamos con sofisticadas herramientas que nos permiten visualizar fácilmente amplias regiones terrestres. Lo que antes era una arriesgada aventura de años, ahora lo podemos hacer en unos minutos. Dentro de ciertos márgenes, podemos considerar algunas superficies terrestres como prácticamente planas. Si disponemos de una foto a escala conocida tomada desde el cenit, o próximo a él, importándola a GeoGebra podremos realizar diversas mediciones: distancias, áreas y ángulos. La siguiente imagen corresponde a la medición del área de una dársena usando los comandos Polígono y Area de GeoGebra.

Para un efectivo aprendizaje de las matemáticas es necesario desarrollar las capacidades de observación y razonamiento, de análisis y argumentación. Estas competencias son requeridas para la correcta comprensión de la realidad, para la resolución de los problemas y para la comunicación eficaz de las ideas. El dinamismo que caracteriza las construcciones de GeoGebra propicia la fácil comprobación de nuestras conjeturas e incluso, como veremos más adelante, la propia creación de nuevas conjeturas. Por otra parte, el poder de la imagen como recurso de aprendizaje es enorme. Incluso cuando no existe una imagen evidente correspondiente a una propiedad o relación, intentamos buscar alguna otra imagen que ayude a su comprensión.

En la anterior imagen se muestran cuatro fases de la misma construcción dinámica diseñada para encontrar la fórmula del área de un círculo. De nuevo, las ideas de perímetro, área y simetría se encuentran conectadas.

Las mediciones son necesarias para averiguar distintas características de un objeto, como áreas, volúmenes, inclinaciones, pesos, etc. Pero además evitan que nos dejemos engañar por nuestra percepción visual. En la siguiente construcción las superficies amarilla y verde de las mesas son congruentes: tienen la misma forma y dimensiones. Sin embargo, percibimos la superficie amarilla como “menos ancha y más larga” que la verde, percepción que se mantiene incluso girando la figura completa. Una rotación dinámica de solo una de las mesas nos puede sacar de nuestro error.

Hasta ahora hemos ejemplificado las realidades mediante una colección de situaciones matemáticas que podemos encontrar en la mayoría de los currículos de matemáticas escolares de secundaria y que son susceptibles de ser tratadas con GeoGebra en clase. El profesor puede construir sus propios diseños o tomarlos de ejemplos encontrados en Internet que han sido evaluados por otros profesores en sus clases. En otros casos los mismos alumnos habrán podido realizar sus construcciones. Un breve resumen de los conocimientos de tipo conceptual tratados en los apartados anteriores sería:

• Geometría clásica: elementos y formas de la geometría sintética, medida de ángulos. Áreas: medida, estimación y cálculo.
• Triángulos semejantes, proporcionalidad (fracciones), teorema de Pitágoras, trigonometría.
• Estudio de funciones, continuidad, derivabilidad. Series de funciones.
• Movimientos en el plano y en el espacio: isometrías y homotecia.
• Geometría del espacio: poliedros, truncamientos. Proyecciones. Simetría.
• Flexibilidad y rigidez de las construcciones.

También se han diseñado ejemplos con GeoGebra que se dirigen más al corazón de la actividad matemática: cómo se hacen las matemáticas. La mirada se ha enfocado desde el principio de este artículo hacia la forma de hacer partiendo de la identidad MATEMÁTICA = MÉTODO. Esto nos ha permitido introducirnos en temas como:

• Acercar al estudiante a la forma de pensar del matemático.
• Proponer una colección de situaciones de modelización matemática y resolver problemas de optimización.
• Abrir un amplio abanico de conexiones de las matemáticas con otros campos de conocimiento: con la tecnología, la física, los juegos y las distintas manifestaciones artísticas (música, pintura, arquitectura, etc.).

Como hemos visto, la geometría dinámica ha resultado muy útil cuando queremos provocar el acercamiento a un concepto matemático, sugerir un método para la resolución de un problema o proporcionar práctica en ciertas destrezas. Pero aún hay más, GeoGebra puede convertirse en una herramienta fundamental en el trabajo de la clase de matemáticas y provocar cambios en la misma organización de la clase. Lo veremos en un ejemplo en forma de investigación que se inicia desde un punto de partida muy abierto que se puede modelar en clase para alumnos de distintos niveles.