Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Música y Matemáticas. Exponencial base 2 Por supuesto, esto no podía quedar así. Para distribuir por igual las notas, se necesita que formen el mismo tipo de progresión que se guardaba entre las octavas: una progresión geométrica. Para ello, los hemitonos deben ser siempre iguales, aunque esto conlleve variar ligeramente las frecuencias de las notas diatónicas (con la consiguiente pérdida de consonancia perfecta que ello supone). Estos nuevos intervalos básicos que buscamos los llamaremos semitonos, de forma que subir dos semitonos debe equivaler a subir un tono. Observemos la tabla de frecuencias:

Por una parte, entre el primer Do y el segundo Do, separados por una octava, la razón tiene que ser 2:1. Por otra, entre una nota y la anterior tiene que haber la misma razón de frecuencias, el semitono (s) que queremos hallar

f₁₂ = 2 f₀ f_n = s f_n-1

Iterando sucesivamente la segunda igualdad, para n igual a 12, obtenemos:

f₁₂ = s f₁₁ = s² f₁₀ = s³ f₉ = ... = s¹² f₀

Lo que, al reunirlo con la primera igualdad, nos permite hallar el valor buscado para el semitono:

Hemos encontrado que, para permitir la modulación sin problemas, cada semitono debe establecerse en la raíz duodécima de 2. Juntándolo todo, vemos que las frecuencias siguen la función exponencial:

f(x) = f₀ 2^x/12

donde f₀ es la frecuencia inicial y las notas corresponden a valores enteros de x. Logaritmo base 2 La relación anterior entre la frecuencia de las notas, de tipo funcional, se vuelve más manejable si atendemos solo al exponente. La forma matemática de conseguirlo es mediante aplicación del logaritmo de la base utilizada, en este caso 2:

log₂(f(x)) = log₂(f₀ 2^x/12) = log₂(f₀) + x/12

12 log₂(f(x)/f₀) = x

Esta nueva relación entre los logaritmos de frecuencias, de tipo lineal, se ajusta además mucho mejor a lo que normalmente percibimos como “distancia de altura sonora” entre dos frecuencias distintas. El oído se comporta realmente como si siguiera esta relación lineal entre la diferencia de logaritmos, pues nuestra percepción de las frecuencias es también de tipo logarítmico. Es decir, percibimos la misma diferencia de altura entre la frecuencia F y la frecuencia 2F que entre esta última y la frecuencia 4F. Teclas blancas y negras: congruencias módulo 12 La nueva escala obtenida, basada en el semitono “igual”, se denomina escala cromática de temperamento igual, y es la que se utiliza en el piano moderno. Las nuevas notas intermedias obtenidas corresponden a las teclas negras del piano.

La tabla de logaritmos de frecuencias, a partir de la primera tecla La₀, con frecuencia f₀ = 22,5 Hz, muestra la proporcionalidad ya señalada:

Observamos que ahora sí sucede lo mismo que con los días de la semana. Claro que esta semana tiene 12 días en vez de siete:

La_n = La₀ + 12n

La tabla de la “suma módulo 12” queda ahora así: