H ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
ΑΡΣΑΚΕΙΑ - ΤΟΣΙΤΣΕΙΑ ΣΧΟΛΕΙΑ Ψηφιακά δομήματα για την ημερίδα 29-01-2022
Inhaltsverzeichnis
- ΑΦΙΣΑ
- ΗΜΕΡΙΔΑ 29/01/2022
- Διαφάνειες & Βίντεο παρουσίασης
- ΨΗΦΙΑΚΑ ΔΟΜΗΜΑΤΑ
- Π.Θ: Γραφικές αναπαραστάσεις
- Η ιδέα του γεωμετρικού τόπου
- Από το σχέδιο στο σχήμα...
- Άπειρες διαδικασίες
- Κατασκευή, διερεύνηση, απόδειξη
- Μέγιστα και ελάχιστα με Ε. Γ
- Η έννοια της συνάρτησης με Ε.Γ
- Γεωμετρικές κατασκευές
- M. Tsilpiridis - MSc
- Μέγιστα & Ελάχιστα με Ε.Γ
- Σταθερό εμβαδόν - Ελάχιστη υποτείνουσα
- M. Tsilpiridis - MSc
- Δύναμη Σημείου ως προς Κύκλο
- Φύλλα Εργασίας
- Φύλλα Εργασίας
- Φύλλα εργασίας
- Vassiliki Farmaki and Stelios Negrepontis
- The paradoxical nature of mathematics
- ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ
- ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ
ΗΜΕΡΙΔΑ 29/01/2022
Αρσάκεια Σχολεία: Ημερίδα Μαθηματικών
Η Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία διοργανώνει ημερίδα με θέμα: [b]«Η Γεωμετρία στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση». [/b]Σκοπός της ημερίδας είναι να αναδείξει τον ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη λογική, μαθηματική και γλωσσική συγκρότηση των νέων ανθρώπων.Μετά από τη σταδιακή υποβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση σε διεθνές επίπεδο, υπάρχουν ενδείξεις ότι τίθεται ξανά στο επίκεντρο των συζητήσεων η σημασία της διδασκαλίας της.Στόχοι της ημερίδας είναι, αφενός η ανάδειξη των στοιχείων που συνιστούν τα συγκριτικά οφέλη από τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, και αφετέρου η διαμόρφωση προτάσεων για την αναβάθμιση της διδασκαλίας της.Σε μια εποχή όπου η κυριαρχία της εικόνας είναι εμφανής, είναι πολύ σημαντικό να εφοδιάζουμε τους νέους ανθρώπους με τη δυνατότητα να διατυπώνουν εικασίες και να επιχειρηματολογούν αποδεικνύοντας την ισχύ τους. Στην κατεύθυνση αυτή η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι εξαιρετικά σημαντική.
Εγγραφή
Πληροφορίες εγγραφές [url=https://www.arsakeio.gr/gr/latest/45072-i-geometria-sti-defterovathmia-ekpaidefsi]εδώ[/url]
Πρόγραμμα Ημερίδας
PROGRAM
Π.Θ: Γραφικές αναπαραστάσεις
Διαφορά αναπαράστασης από την τυπική απόδειξη
[br][list][*]Οπτικοποίηση έναντι των εντυπώσεων ...[/*][*]Η κατάλληλη πλαισίωση ερωτημάτων προσθέτει διδακτική και παιδαγωγική σημασία στο ψηφιακό δόμημα.[/*][/list]
1η αναπαράσταση
2η αναπαράσταση
Οδηγίες
Στο δόμημα έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο μεταβάλλεται από τις κορυφές Α,Β και Γ.[br]Εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ έχουμε κατασκευάσει τα τετράγωνα με πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ.[br][br][size=150][color=#3c78d8][b]Πειραματισμός - Διαπιστώσεις[/b][/color][/size][br][br]Πατήστε το κουμπί "Ξεκλείδωμα" και μετακινήστε κατάλληλα τα χρωματιστά τετράπλευρα εντός του τετραγώνου πλευράς ΒΓ. Τί παρατηρείτε;[br][br][list][*]Διατυπώστε με αλγεβρικό και γεωμετρικό τρόπο το συμπέρασμα που προκύπτει από τον πειραματισμό σας. [br][/*][*]Μπορείτε να βρείτε τον τρόπο με τον οποίο έχουν κατασκευαστεί τα χρωματιστά; τετράπλευρα;[/*][/list][br]
3η αναπαράσταση
Οδηγίες
Σύρετε το δρομέα και παρατηρήστε τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται. [br]Ποιο αλγεβρικό και γεωμετρικό συμπέρασμα προκύπτει;
4η αναπαράσταση
Δραστηριότητα
Πυθαγόρειες τριάδες - Δραστηριότητα 1
Ακέραιοι αριθμοί όπως οι 3,4 και 5 λέμε ότι αποτελούν [b]Πυθαγόρεια τριάδα[/b].[br]Μεταβάλετε το τρίγωνο από τα κόκκινα σημεία ώστε να βρείτε δύο ακόμη Πυθαγόρειες τριάδες. [br]Συμπληρώστε τα αποτελέσματα παρακάτω:
Πυθαγόρειες τριάδες - Δραστηριότητα 2
Αν οι φυσικοί αριθμοί μ,ν και ρ αποτελούν μία Πυθαγόρεια τριάδα, μπορείτε να σκεφτείτε έναν τρόπο για να δημιουργήσουμε κι άλλες Πυθαγόρειες τριάδες από αυτούς;
Σταθερό εμβαδόν - Ελάχιστη υποτείνουσα
Γενικά
Στη δραστηριότητα επιχειρούμε να αναδείξουμε τη σημασία των πολλαπλών δυναμικών αναπαραστάσεων για τη σχεσιακή κατανόηση στο μαθηματικό συλλογισμό. [br][br]Συγκεκριμένα, από δυναμικές αναπαραστάσεις με γεωμετρικό περιεχόμενο, νοηματοδοτούνται αλγεβρικές σχέσεις και αντίστροφα: από δ.α με συναρτησιακό ή/και αλγεβρικό περιεχόμενο, νοηματοδοτούνται γεωμετρικές μεταβολές. [br][br][b][color=#1e84cc][size=150]Πρόβλημα (γεωμετρική διατύπωση)[/size][/color][/b][br][i][quote]Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ με σταθερό εμβαδόν, να βρεθεί εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα ή από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδόν, ποιο έχει ελάχιστη διαγώνιο;[/quote][/i]
[b][color=#1e84cc][size=150]Αλγεβρική Αναδιατύπωση του προβλήματος[/size][/color][/b][br][br][i][quote][b]Από όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y με σταθερό γινόμενο, ποιοι έχουν ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων[/b];[/quote][/i]
Οδηγίες
Στο δόμημα εμφανίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με σταθερό εμβαδόν Ε, το οποίο ρυθμίζεται από το δρομέα Ε. Στο δεξί παράθυρο, εμφανίζεται η γραμμή που διαγράφει ένα σημείο Ρ που έχει συντεταγμένες (γ,α) με γ,α την κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ. [br][br][b][size=150][color=#1e84cc]Πειραματισμός - Εικασία[/color][/size][/b][br][list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις. Μπορείτε από το γράφημα του σημείου Ρ να εικάσετε πότε η υποτείνουσα α γίνεται [b]ελάχιστη[/b];[/*][*]Eπαναλάβατε τον πειραματισμό και για άλλες τιμές του εμβαδού Ε. Πατήστε το κουμπί "min" για να ελέγξετε την εικασία σας.[/*][/list][br][b][color=#1e84cc]1η Απόδειξη (ερμηνεία από τη γραφική παράσταση)[/color][/b][br][br]Έστω x και y οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Το πρόβλημα τότε περιγράφεται από το σύστημα:
H εξίσωση (1) αν θέσουμε x[sup]2[/sup]=ω, γράφεται ισοδύναμα: ω[sup]2[/sup]-α[sup]2[/sup]ω+4Ε[sup]2[/sup]=0. (2)[br]Πατήστε το διακόπτη "1η αναπαράσταση". Εμφανίζεται η γραφική παράσταση p (παραβολή) του τριωνύμου [math]p\left(x\right)=x^2-α^2x+4E^2[/math][br][br][list][*]Πειραματιστείτε με διάφορες θέσεις του σημείου Β.[/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της παραβολής p με τον άξονα xx΄;[/*][*]Εκφράστε αλγεβρικά τις παρατηρήσεις σας από το προηγούμενο ερώτημα.[/*][*]Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την προηγούμενη σχέση για την απόδειξη της εικασίας; [/*][/list]
Απόδειξη1
[b][color=#1e84cc]2η απόδειξη (αλγεβρική)[/color][/b][br][br]Ισχύει ότι: [br][math]α^2=x^2+y^2=x^2+\frac{4E^2}{x^2}[/math][br][br]H τελευταία σχέση προδιαθέτει για το σχηματισμό ...(;)[br]
Απόδειξη2
[b][color=#1e84cc][size=150]3η απόδειξη (Γεωμετρική)[br][br][/size][/color][/b]Ανοίξτε το διακόπτη "3η αναπαράσταση". Εμφανίζονται το ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και το εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΛΓ, όπου Λ το μέσο του τόξου ΒΓ. [br][list][*]Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ των υψών ΑΝ και ΛΜ;[/*][*]Χρησιμοποιώντας ως δεδομένη τη σχέση: βγ=αυ[sub]α[/sub] που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να αποδείξετε τον ισχυρισμό;[/*][/list]
Απόδειξη
[size=150][b][color=#1e84cc]2η Αναπαράσταση (αναλυτική γεωμετρία)[/color][/b][/size][br][br]Ανοίξτε το διακόπτη "2η αναπαράσταση".Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις του κύκλου [math]x^2+y^2=a^2,x>0,y>0[/math] και της υπερβολής [math]y=\frac{2E}{x},x>0[/math] καθώς και οι εφαπτομένες της υπερβολής στα σημεία της Η και Θ. [list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις. [/*][*]Τί παρατηρείτε για τις σχετικές θέσεις των δύο κωνικών τομών; [/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει με τη σχετική θέση τους, όταν η υποτείνουσα α γίνει ελάχιστη;[/*][*]Μπορείτε να εικάσετε από το προηγούμενο ερώτημα, [i]πότε δύο κωνικές τομές θα λέμε ότι εφάπτονται σε κάποιο κοινό τους σημείο[/i];[/*][/list][color=#1e84cc][b][br]και κάτι τελευταίο...[br][br][/b][/color]Από το δόμημα φαίνεται σαν το σημείο Ρ να "κινείται" επάνω στην υπερβολή από κάποιο σημείο και πριν. Μπορείτε να ελέγξετε αν αυτός ο ισχυρισμός είναι πραγματικός; (θα χρειαστεί να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης στην οποία κινείται το σημείο Ρ).
Φύλλα εργασίας
Η δυναμική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στα σύγχρονα Μαθηματικά
[br][br]Η παρούσα συλλογή δραστηριοτήτων στοχεύει στον[br]εμπλουτισμό της διδασκαλίας των Μαθηματικών στη [b]Β΄ Λυκείου Προσανατολισμού[/b].[br][br]Έχουν συμπεριληφθεί δραστηριότητες που πλαισιώνονται από[br]ψηφιακά δομήματα, των οποίων δίνονται οι ηλεκτρονικές διευθύνσεις τους (links) για[br]πρόσβαση και εμπλοκή των μαθητών σε διαδικασίες μάθησης μέσω συμμετοχής, πειραματισμού[br]και διερεύνησης[url=file:///D:/ARSAKEIO/GEOGEBRA-MTSILP/M_Tsilpiridis_Geometry%20Activities-white.docx#_ftn1][1][/url].[br][br]Στόχος είναι να δημιουργηθούν νησίδες γόνιμης σύνδεσης της Ε.Γ με την Αναλυτική[br]Γεωμετρία και την Άλγεβρα, ώστε να αμβλυνθεί η εντύπωση που έχουν οι μαθητές[br]ότι οι συγκεκριμένοι χώροι των Μαθηματικών λειτουργούν ερμητικά κλειστοί ο ένας[br]ως προς τον άλλο. [br][br][br][b][color=#1e84cc][size=150]Τί περιέχεται στο φυλλάδιο[/size][/color][/b][br][br]Μέσω κατάλληλα σχεδιασμένων ψηφιακών δομημάτων, οι μαθητές προκαλούνται[br]να πειραματιστούν, να διατυπώσουν εικασίες και στη συνέχεια να ελέγξουν την[br]ορθότητά τους χρησιμοποιώντας τυπικές αποδεικτικές διαδικασίες και από τους[br]τρεις αυτούς κλάδους των Μαθηματικών. Με άλλα λόγια επιδιώκουμε τη συνεχή[br]ανάδειξη της [b]συμπληρωματικότητας της “καθαρής” και “εφαρμοσμένης” πλευράς[/b][br]των Μαθηματικών. [br][br][br][b][color=#1e84cc][size=150]Επίλογος[/size][/color][/b][br][br]Τέλος, πολύ συχνά, οι μαθητές θα έχουν την ευκαιρία να συνθέτουν[br]περάσματα από τα μαθηματικά (με την έννοια του έτοιμου προϊόντος), στη[br]“μαθηματικοποίηση” και στις διαδικασίες που τη συγκροτούν: στη “διερεύνηση”,[br]στο “συλλογισμό” και στην “επικοινωνία” (Winter 1975). Ταυτόχρονα και σε όλη[br]την έκταση του παρόντος, επιχειρούμε τη δημιουργία προκλήσεων ώστε οι μαθητές[br]να διαπιστώσουν την αμεσότητα αλλά και την [i]απαράμιλλη[br]κομψότητα[/i] των μεθόδων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, συμπεραίνοντας αυθόρμητα ότι:[br][br][br][b][i][quote]«Είναι εξαιρετικά δύσκολο να βρεθεί διδακτικό αντικείμενο[br]που να υποκαθιστά επάξια τη σημασία της διδασκαλίας της Ευκλείδειας[br]Γεωμετρίας»! [/quote][/i][/b][br][br]_______________________________________________________________________[br][size=85][url=file:///D:/ARSAKEIO/GEOGEBRA-MTSILP/M_Tsilpiridis_Geometry%20Activities-white.docx#_ftnref1][1][/url] Βλ. και διπλ. Εργασία [url=https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/1684295#contents]Μ. Τσιλπιρίδη[/url] «Αιτιολογία από /ή για[br]ερμηνεία στο μαθηματικό συλλογισμό με τη[br]διαμεσολάβηση ψηφιακών εργαλείων[br]δυναμικής γεωμετρίας» του ΠΜΣ Διδακτικής των Μαθηματικών Ε.Κ.Π.Α, Επιβλέπων Γ.[br]Ψυχάρης, Επικ. Καθηγητής E.K.Π.A. [/size] [br][br][br][br][br][br][br][br][br]
M_Tsilpiridis_Geometry Activities
The paradoxical nature of mathematics
V.-Farmaki-S.-Negrepontis-The-paradoxical-nature-of-Mathematics-in-Geometry-Topology-ed.-A.-Papadopoulos-EMS-2021-1
ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΔΕΩΝ
