三角形極線におけるある定理の証明

Bunryu Kamimura, Feb 14, 2021

極と極線の間には「内分と外分」の関係が必ず出てくる。 その関係を探ってみると完全四角形とつながってくる。 この方向で考えていたら、三角形極線に関する４年来の問題が解けてしまった。 [url]https://bunryuk.hatenablog.com/entry/2021/02/17/000000[/url] ここでの発見は、[b]接点Ｗと外接四角形の中心Ｕ[/b]。そして、同じ楕円（円錐曲線）において、[b]Ｄは三角形の極であり、Ｕは四角形の極である[/b]こと。

Table of Contents

  1. 完全四角形の内分と外分
    1. メネラウスの定理
    2. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
    3. 完全四角形と極
    4. 完全四角形の調和点列
    5. 完全四角形の内接楕円の作図の仕方
    6. Pappus's hexagon theorem
    7. パップスの定理の証明
  2. 円や楕円の極と極線と内分・外分
    1. 円の極と極線の調和点列の証明
    2. 円の場合の調和点列の証明
    3. 極と極線の作図
    4. 楕円と極からチェバ三角形を作図する
    5. 三角形極線と極の調和点列
  3. 外接四角形と外接チェバ四角形の違い
    1. ポンスレの定理楕円
    2. 円錐曲線から作る外接四角形
    3. 円錐曲線の外接四角形から極線を作る
    4. 向かい合う接点を結んだ線を極線と一致させる
  4. 三角形の作る極線と内接円錐曲線
    1. 極線上の点の極線
    2. 三角形の極と極線
    3. 三角形極線の極線
  5. 三角形極線上の点の三角形極線の定理の証明
    1. 三角形の極線と内接二次曲線と極の関係
    2. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明
    3. 極線上の極の三角形極線
    4. 極線上の極の三角形極線が円錐曲線に接することの証明
    5. 極と頂点を結んだ直線上に四角形の極がある
    6. 三角形極線の性質の証明
    7. 三角形極線の極線の証明 その２
    8. 極線の極線の証明　その３
  6. 三角形極線の意味
    1. 三角形の極線におけるポンスレの定理
    2. 二次曲線に外接するチェバ三角形の頂点の軌跡
    3. 極と円錐曲線とチェバ四角形・三角形
    4. 極線からの極線
    5. 三角形極線のまとめ

1.

完全四角形の内分と外分

メネラウスの定理は完全四角形をすでに含んでいる。 したがって、完全四角形だけで内分と外分が現れる。 では、完全四角形のどこに内分と外分の関係が現れるのだろうか。 完全四角形について [url]https://www.geogebra.org/m/xjQ3CD97[/url]

  • 1. メネラウスの定理
  • 2. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
  • 3. 完全四角形と極
  • 4. 完全四角形の調和点列
  • 5. 完全四角形の内接楕円の作図の仕方
  • 6. Pappus's hexagon theorem
  • 7. パップスの定理の証明

1.1.

メネラウスの定理

この定理が、一直線上に点が並ぶ定理のはしごです。[br]証明はＡＢに平行な補助線と比を使ってできます。[br]とても応用が広い定理です。[br]この定理は、チェバの定理やパスカルの定理へとつながっていきます。[br]また、極線を作りだす原理です。[br]調和共役点（内分点と外分点）を求めると、[br]一直線上に並ぶ３組の点から新たに３本の直線ができます。[br]また、チェバの定理も現れてきます。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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2.

円や楕円の極と極線と内分・外分

円錐極線の極と極線の間の内分・外分について調べる。 チェバ三角形とは、円錐曲線と極を決めたとき、その円錐曲線に外接して、しかも頂点と接点を結んだ線が作る点が極と一致する三角形のこと。 これを作図するには内分と外分の比を利用する。 調和点列が１になる場合と２になる場合がある。 【円の極線入門】 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/kyokutokyokusen.htm[/url] 【円の極と極線】 [url]https://www.geogebra.org/m/h2k4g2by[/url]

  • 1. 円の極と極線の調和点列の証明
  • 2. 円の場合の調和点列の証明
  • 3. 極と極線の作図
  • 4. 楕円と極からチェバ三角形を作図する
  • 5. 三角形極線と極の調和点列

2.1.

円の極と極線の調和点列の証明

下のナビゲーションを順番にクリックしてみよう。「接点・極・接点・極線」と「頂点・極・頂点・極線」の間に内分と外分関係がある。これを斜めの平面に射影すると、円は楕円になるが、その他の関係は変わらない。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

外接四角形と外接チェバ四角形の違い

チェバ三角形とは、円錐曲線に外接する三角形で、頂点と接線を結んだ線が極と一致するもの。 チェバ四角形とは、円錐曲線に外接する四角形で、向かい合う頂点を結んだ線と向かい合う接線の交点が極線で一致するもの。 ①外接四角形の互いに向かい合う頂点と接点を結んだ線は一点で交じる。 ②この交点を極とする円錐極線の極線は外接四角形や内接四角形の向かい合う辺の交点を通る。 ③円錐曲線に外接する四角形とチェバ四角形の違い。 なお、「円に外接する四角形の対角線と向かい合う接点を結んだ線は一点で交わる」ことについての証明 [url]https://www.geogebra.org/m/x88Gz83K#material/kuV5hW4b[/url] 円で成り立てば、射影によって楕円でも同様なことが成り立つ。

  • 1. ポンスレの定理楕円
  • 2. 円錐曲線から作る外接四角形
  • 3. 円錐曲線の外接四角形から極線を作る
  • 4. 向かい合う接点を結んだ線を極線と一致させる

3.1.

ポンスレの定理楕円

円で成り立ったことは、楕円でも成り立つ。[br]でも、今度は三角形ではなく・・・[br][br]さらに向かい合う辺を延長してみよう。[br]その交点は何を示しているのだろうか？
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

三角形の作る極線と内接円錐曲線

三角形の極と極線から三角形に内接する円錐曲線を描くことができる。 この円錐曲線についての極からできる極線は、三角形極線と一致する。 三角形の極と極線と内接円錐曲線はワンセットになっている。 その内接円錐曲線の作図の仕方は「五点から作る円錐曲線」を利用する。 なお、極の位置を変えることによって、内接円錐曲線は楕円→双曲線と変化する。

  • 1. 極線上の点の極線
  • 2. 三角形の極と極線
  • 3. 三角形極線の極線

4.1.

極線上の点の極線

内心を極とする極線（赤）上の点Ｋの極線ＮＭの包絡線は楕円（ピンク）を描く。つまり、極Ｋの極線はこの楕円に接する。赤い極線とピンクの楕円が対応しているように思われる。
気がついたこと
極線上の点の極線は内接楕円に接する。[br]そして、この内接楕円のパスカルの直線は極線になる。[br]パスカルの定理やパハップスの定理によって、内接二次曲線ができることが証明できる。[br]
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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5.

三角形極線上の点の三角形極線の定理の証明

【定理】 「[b]三角形極線上の点を極とする三角形極線は、三角形の極のつくる内接円錐曲線に接する[/b]」 【証明】 完全四角形の性質から、極線と元の三角形が作る四角形が、内接円錐曲線の外接四角形になっていることを示せばいい。 つまり、その四角形の対角線と向かい合う接点を結んだ線が一点で交わることを示す。

  • 1. 三角形の極線と内接二次曲線と極の関係
  • 2. 三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明
  • 3. 極線上の極の三角形極線
  • 4. 極線上の極の三角形極線が円錐曲線に接することの証明
  • 5. 極と頂点を結んだ直線上に四角形の極がある
  • 6. 三角形極線の性質の証明
  • 7. 三角形極線の極線の証明 その２
  • 8. 極線の極線の証明　その３

5.1.

三角形の極線と内接二次曲線と極の関係

「三角形の極線上の点を極とする極線は、元の内接円錐曲線に接する」ことを証明するためにＤ極線上の点Ｔを極とする内接円錐曲線（双曲線）を作図して考察する。この時、極の性質により、Ｄの極線とＴの作る円錐極線の交点の接線はＫで交わる。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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6.

三角形極線の意味

三角形の極は、極線と内接円錐曲線として表現される。 極と円錐曲線の作る極線が三角形極線となる。 極線の現れには極と円錐曲線の性質が含まれている。 したがって、極線上の極の極線は元の極が作る円錐曲線を記憶している。 さらに円錐曲線が放物線になる場合も調べてみた。 【放物線の基本定理】 [url]https://www.geogebra.org/m/resuhmvs[/url] 放物線の場合は特別な性質がある。 三角形のオイラー線ともつながってくる。

  • 1. 三角形の極線におけるポンスレの定理
  • 2. 二次曲線に外接するチェバ三角形の頂点の軌跡
  • 3. 極と円錐曲線とチェバ四角形・三角形
  • 4. 極線からの極線
  • 5. 三角形極線のまとめ

6.1.

三角形の極線におけるポンスレの定理

「三角形の極線上の点の極線はその極線の極が作る内接円錐曲線に接する」一方、ポンスレの定理は「円の極線上の点の極線は極を通る」だから、極が円錐曲線になったもの。したがって、Dの極線とTの極線の交点Ｚの極線はⅮとTの円錐曲線に接する。Zの極線とTの極線の交点Ｒの極線はＺとＴの円錐曲線に接する。
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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