[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br]Cuando la botella está llena [b]menos de su mitad[/b], al ir inclinando la botella llega un momento en que el nivel del líquido alcanza la base inferior de la botella, sin alcanzar todavía la base superior. A partir de este momento el punto medio O deja de indicar su altura. En su lugar, el nivel viene determinado por un punto E, situado en la base inferior de la botella.[br][br]Tomamos pues un punto E de la base inferior y trazamos la paralela al suelo por E (es decir, el nivel del líquido), obteniendo el punto F. Sea B la intersección de la perpendicular al suelo por A' y la recta AH. Sea G el reflejo de A en H, es decir, AG = 2 AH.[br][br]Los ángulos representados en rojo, [math]\left\langle BA'A\right\rangle[/math] y [math]\left\langle EFA\right\rangle[/math], complementarios del ángulo de inclinación [b]α[/b], son iguales. Por tanto, los triángulos BA'A y EFA son semejantes:[br][center][math]\frac{AF}{AA'}=\frac{AE}{AB}\Longrightarrow AF=\frac{AA'\cdot AE}{AB}[/math][/center]Deseamos que E sea tal que el área del triángulo azul EFA sea igual a la del rectángulo amarillo AA'H'H. Es decir, E ha de ser tal que AE AF/2 = AA' AH. Lo que equivale a AE AF = AA' AG. Podemos reescribir esta igualdad como AF = AA' AG/AE. Como sabemos que AF verifica que AF = AA' AE/AB, ambas igualdades serán verdaderas si y solo si AG/AE = AE/AB. Es decir, cuando AE sea la [i]media geométrica[/i] de AG y AB. [br][br]Por lo tanto, basta construir E de modo que AE sea la media geométrica de AB y AG, usando el procedimiento que ya hemos visto en la actividad anterior.

La altura alcanzada por el nivel es, entonces, EV. Recordemos que la altura inicial del líquido es [b][i]h[/i][/b]=AH y la anchura de la botella es [b][i]b[/i][/b]=A'A. Tenemos:[br][list][*]AE es la media geométrica de AG y AB: [math]AE=\sqrt{AG\cdot AB}=\sqrt{2h\cdot AB}[/math][/*][*]Observando el triángulo AVE: [math]EV=AE\cdot cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=AE\cdot sen\left(\alpha\right)[/math][/*][*]Observando el triángulo A'AB: [math]AB=A'A\cdot tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=b\cdot cotg\left(\alpha\right)[/math][br][/*][/list]Entonces la altura EV del nivel de la botella en función del ángulo de inclinación α es:[br][center][math]EV=\sqrt{2h\cdot b\cdot cotg\left(\alpha\right)}\cdot sen\left(\alpha\right)=\sqrt{h\cdot b\cdot sen\left(2\alpha\right)}[/math][/center]