三角形の共役点

Bunryu Kamimura, May 6, 2021

三角形の心の宇宙はどんな構造を持っているのだろうか。 きっと何か調和的なモノがあるはず。 例えば、心はペアになっている。 それを共役点という。 この共役点が三種類ある。 [b]等角共役点[/b]と[b]等距離共役点[/b]と[b]チェバ円共役点[/b]である。 これらの間には面白い現象がある。 それを調べてみよう。

Table of Contents

  1. 等角共役点
    1. 等角共役点OHGK
    2. ９点円の拡張(垂足円）
    3. 三円共役点
    4. 逆三円共役点
    5. 外心と垂心は等角共役の意味
  2. 等距離共役点
    1. 等距離共役点
    2. 円と等角共役点・楕円と等距離共役点
    3. ジェルゴンヌ点とナーゲル点は等距離共役（証明）
  3. チェバ円共役点
    1. チェバ円共役点の作図
    2. チェバ円共役点
    3. 垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
    4. チェバ線の足から引いた垂線が一点で交わる場合の軌跡
    5. チェバ円共役点の内接楕円
    6. チェバ円変形
    7. チェバ円変形その２

1.

等角共役点

等角共役点について https://www.geogebra.org/m/uC9ZA4S6 を見てください。

  • 1. 等角共役点OHGK
  • 2. ９点円の拡張(垂足円）
  • 3. 三円共役点
  • 4. 逆三円共役点
  • 5. 外心と垂心は等角共役の意味

1.1.

等角共役点OHGK

PとP'は等角共役点。[br]どの心同士が等角共役点か確かめよう。
探したい点ｘ(n)を選び、そこにＰを重ねてからｎを動かして、Ｐ’と重なった点が等角共役点。例えば、9点円の中心(x5)とx(54)、ジェルゴンヌ点(x7)と(x55)
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

等距離共役点

等距離共役点に関しては https://www.geogebra.org/m/dS8jexVU を見てください。

  • 1. 等距離共役点
  • 2. 円と等角共役点・楕円と等距離共役点
  • 3. ジェルゴンヌ点とナーゲル点は等距離共役（証明）

2.1.

等距離共役点

△ABCにおいてA'，B'，C'を各辺上の点とするとき、それらの点の辺の中点に関する対称点をA''，B''，C''とする。[br]AA'，BB'，CC'が一点Oに会すれば、AA''，BB''，CC''もまた一点O’に会する。[br]OとO’とを互いに等距離共役点という。（幾何学大辞典　岩田至康）[br]重心の等距離共役点は重心。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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3.

チェバ円共役点

垂足三角形から垂足円。垂足円から等角共役点を作図できる。 とすると、チェバ三角形からチェバ円。チェバ円からある共役点が作図できる。 この共役点を「[b]チェバ円共役点[/b]」と名付ける。 まず、チェバ三角形から作った内心の共役点がｘ１０２９に当たることを調べる。 このｘ１０２９をエヴァンズビル大学のサイト「 [b]Encyclopedia of Triangle Centers[/b]」https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html で調べると、[b]CYCLOCEVIAN CONJUGATE[/b] OF X(1)と書いてあった。 そこで、Cycloは円で、Cevianはチェバ、conjugateは共役点だから「[b]チェバ円共役点[/b]」と訳してみた。

  • 1. チェバ円共役点の作図
  • 2. チェバ円共役点
  • 3. 垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
  • 4. チェバ線の足から引いた垂線が一点で交わる場合の軌跡
  • 5. チェバ円共役点の内接楕円
  • 6. チェバ円変形
  • 7. チェバ円変形その２

3.1.

チェバ円共役点の作図

チェバ円共役点の作図の仕方
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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