[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: no hay, el comando AplicaMatriz no se puede aplicar a estas matrices, al menos de momento.[/color][br][br]Hemos visto que si un punto P' tiene las mismas coordenadas que P pero respecto a un nuevos sistema de referencia S={O, [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]}, entonces sus coordenadas canónicas (es decir, respecto al sistema de referencia canónico S[sub]3[/sub] ={(0,0), [b]i[/b], [b]j[/b], [b]k[/b]}) son:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\\p'_z\end{matrix}\right)[/math]= p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][b][math]\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\right)[/math][/b]+p[sub]z[/sub][math]\left(\begin{matrix}c_x\\c_y\\c_z\end{matrix}\right)[/math]+[math]\left(\begin{matrix}o_x\\o_y\\o_z\end{matrix}\right)[/math][/center]O, de forma más compacta:[center]P' = M P + O[/center]donde M = ([b]a[/b] | [b]b[/b] | [b]c[/b]), es la matriz de cambio de base:[center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\;\;\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\;\;\begin{matrix}c_x\\c_y\\c_z\end{matrix}\right)[/math][/center]Si sumamos las matrices del segundo miembro en la primera ecuación matricial, obtenemos:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\\p'_z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}p_xa_x+p_yb_x+p_zc_x+o_x\\p_xa_y+p_yb_y+p_zc_y+o_y\\p_xa_z+p_yb_z+p_zc_z+o_z\end{matrix}\right)[/math][/center]que es equivalente a la ecuación matricial:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\\p'_z\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_xp_x+b_xp_y+c_xp_z+o_x\\a_yp_x+b_yp_y+c_yp_z+o_y\\a_zp_x+b_zp_y+c_zp_z+o_z\\\;0\;\;+\;\;0\;\;+\;0\;+\;1\end{matrix}\right)[/math][/center]que a su vez se puede expresar como:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\\p'_z\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_x\;b_x\;c_x\;o_x\\a_y\;b_y\;c_y\;o_y\\a_z\;b_z\;c_z\;o_z\\0\;\;0\;\;0\;\;1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\p_z\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]Observa el modo de escribir como matrices 4x1, con la última coordenada igual a 1, las coordenadas de P y P'. Estas nuevas coordenadas se denominan [b]coordenadas homogéneas[/b]. La matriz 4x4 del segundo miembro se llama [b]matriz ampliada[/b], porque a la matriz de cambio de base M le hemos añadido las coordenadas homogéneas del punto O. Llamando T a esta matriz, la ecuación anterior queda como:[center][color=#cc0000][size=150]P' = T P[/size][/color][/center][color=#000000][color=#999999]Nota: El término "homogéneas" alude a que las ecuaciones polinómicas (en varias variables) que usan tales coordenadas tienen todos sus monomios de igual grado. P[color=#999999]or ejemplo la ecuación y[sup]2[/sup] - x[sup]3[/sup] + z + 1= 0 en coordenadas cartesianas se expresa como y[color=#000000][color=#999999][color=#999999][sup]2[/sup][/color][/color][/color] w - x[sup]3[/sup] + z w[sup]2[/sup] + w[color=#999999][sup]3[/sup][/color] = 0 en coordenadas homogéneas. Se usan en el [i]espacio proyectivo[/i], con el cual no nos meteremos en este libro. [/color][/color][br][br]Gracias a la correspondencia entre transformaciones y matrices, resulta fácil comprobar que las transformaciones afines invertibles del espacio constituyen un grupo, denominado [b]grupo afín [/b](para más detalles, ver [url=https://www.geogebra.org/m/exhhq2pk]Grupo afín[/url] y el capítulo de [i]Propiedades[/i] de las transformaciones afines). [/color][br][br][color=#999999]Nota: Recuerda que aunque en la construcción aparece P' = T P, debemos interpretar que en realidad las coordenadas de P' corresponden a las tres primeras componentes del vector cuatridimensional T P (cuya cuarta coordenada es siempre 1). [/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]