[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]PREHISTORIA MUSICAL[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8746:2-julio-2007-prehistoria-musical&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Julio 2007[/url][br][br][b]Vibraciones y propagación[/b][br][br]Desde mucho antes de la aparición de la vida, en nuestro planeta se generan [i]vibraciones [/i]provocadas por los objetos al chocar o rozarse entre ellos. Como ejemplos -muy usados en las bandas sonoras de algunas películas- tenemos las provocadas por la lluvia y el granizo, el viento, fuentes y ríos, olas, volcanes y terremotos, truenos, meteoritos, desprendimientos y aludes, agrietamientos...[br][br]Estas vibraciones pueden [i]propagarse [/i]si encuentran un medio, sea gaseoso, líquido o sólido, por el que hacerlo. Los medios más abundantes en nuestro planeta, que sirven de transmisores de las vibraciones, son la tierra, el agua y el aire. Para nuestros propósitos, nos centraremos en este último.[br][br][b]La presión atmosférica o la danza invisible[/b][br][br]Las moléculas del aire nunca se encuentran quietas. Al contrario, cada molécula se desplaza continuamente de lugar con una velocidad media de unos 500 m/s (1.800 km/h). Dado que las moléculas se encuentran muy cercanas unas de las otras, a sólo 6.10-8 m, el número medio de colisiones elásticas por segundo es muy elevado (dividiendo las anteriores cantidades lo obtenemos: casi 1010 colisiones en cada segundo). Esta es la razón por la que las moléculas del aire desafían en parte la fuerza gravitatoria y “no caen” sobre la superficie terrestre. Tanta danza frenética no les deja tiempo.[br][br]En su frenesí, las moléculas del aire también bombardean constantemente la superficie de cualquier objeto presente. Este cúmulo de muchísimos aunque ligerísimos impactos crean una fuerza constante en cada unidad de superficie. Es lo que llamamos [i]presión atmosférica[/i].[br][br]La unidad de presión es el [i]pascal [/i](la presión atmosférica a nivel del mar, 1 [i]atmósfera[/i], equivale a unos 100.000 Pa).[br][br]La presión atmosférica puede variar de un sitio a otro, o con el tiempo, pero tales variaciones son muy lentas, como puede comprobar cualquiera que se quede contemplando un barómetro.[br][br][b]La onda sonora[/b][br][br]Los objetos vibrantes provocan sucesivas tandas de [i]compresiones [/i]y [i]depresiones [/i]del aire que les rodea, rapidísimos y ligerísimos cambios de presión que obligan a las moléculas a desplazarse en un “vaivén” –[i]oscilación[/i]- que se propaga por el aire. Esta propagación, en un efecto dominó de alteraciones de presión, se conoce como [i]onda sonora[/i].[br][br]Se debe tener presente que lo que se propaga es la oscilación de las moléculas, el tren de compresiones y depresiones, no las moléculas en sí.[br][br]La oscilación de las moléculas se realiza en la misma dirección que la propagación de la onda. La onda sonora es, pues, una onda [i]longitudinal [/i](por contraste con las olas marinas, que son ondas [i]transversales[/i], es decir, perpendiculares a la dirección de propagación).[br][br]En todo caso, la energía primaria causante de la vibración se consume –se transforma en calor–, debido al rozamiento en el movimiento de todas esas moléculas hasta su vuelta al estado de relativo reposo (si se puede llamar así a su frenética e invisible danza).[br][b][br]Los seres vivos[/b][br][br]Pero antes de desaparecer, tal vez algún testigo haya registrado esas ligeras alteraciones de presión. Los animales, nosotros entre ellos, hemos desarrollado órganos específicos para que actúen de receptores de esas alteraciones. En nuestro caso, el oído.[br][br]A la vez, los animales producimos vibraciones. Captar las ondas que generan ha sido y es importante para nuestra supervivencia, ya sea como aviso ante un peligro, como reclamo ante una posible presa o como parte del sistema de comunicación.[br][br][b]Primera variable independiente: la frecuencia de oscilación[/b][br][br]Los rápidos cambios de presión en las moléculas del aire se realizan a una determinada velocidad, distinta para cada sonido. Esta velocidad se conoce como [i]frecuencia [/i]y representa el número de oscilaciones que la molécula realiza en un segundo. Su unidad es el hercio (400 Hz = 400 oscilaciones en un segundo).[br][br][b]Segunda variable independiente: la intensidad. La amplitud y el volumen[/b][br][br]Independientemente del número de oscilaciones que realicen por segundo las moléculas, es decir, independientemente de su frecuencia, el recorrido de ida y vuelta de la oscilación puede ser más o menos amplio. Cuanta más presión ejerzan (proporcional a la energía de la fuente vibrante), mayor será la distancia recorrida –[i]amplitud[/i]– en cada vibración. Esta [i]intensidad [/i]de presión en el aire la percibimos como [i]volumen [/i]del sonido y nos permite distinguir entre sonidos fuertes y débiles.[br][br]Para hacernos una idea de lo pequeños que son estos cambios de presión, comparados con la presión atmosférica habitual, baste decir que un sonido que provoque un cambio de presión de 1 Pa, en un rango de frecuencias que podamos captar sin esfuerzo, lo percibimos como un sonido fuerte. Recordemos que la presión atmosférica equivalía a unos 100.000 Pa.[br][br]Pero, ¿por qué nuestro oído no “oye” la presión atmosférica y en cambio si oye el sonido? La respuesta la encontramos en la velocidad a la que se producen ambos fenómenos. El sonido produce un cambio de presión leve pero brusco (la onda se mueve a 340 m/s), de forma que el aire presente en el interior de la trompa de Eustaquio no puede compensarlo instantáneamente, produciéndose una diferencia de presión que mueve el tímpano.[br][br][b]La resonancia[/b][br][br]Puede suceder que la frecuencia de la onda coincida con la frecuencia con la que puede vibrar un objeto al ser golpeado. Si la energía de la onda es suficiente, al alcanzar uno de estos objetos, la oscilación en la superficie del objeto se transmite a todo su interior, haciéndolo entrar en vibración a su vez, y, por lo tanto, comportándose como nueva fuente sonora. Este fenómeno se conoce como “resonancia”.[br][br]La famosa escena de la copa de cristal que se rompe ante la nota intensa y precisa de una soprano o un tenor es un ejemplo extremo de resonancia. Si golpeásemos –ligeramente– la copa de cristal, produciría un sonido de la misma frecuencia que la emitida por la cantante. Al recibir la onda sonora, el cristal entra en resonancia y se pone a vibrar en “su frecuencia natural”. Si la vibración supera la capacidad de elasticidad del cristal –que no es mucha– se acaba produciendo su rotura.[br][br][b]El oído[/b][br][br]Dada la enorme cantidad de vibraciones que simultáneamente pueden incidir en nuestro tímpano, haciéndolo vibrar a su vez, hemos desarrollado un complejo sistema discriminatorio, capaz de “separar” la combinación recibida en “partes más simples”. Este sistema se basa en la disposición, en el oído interno, de células especializadas en activarse sólo ante determinadas frecuencias, al estar situadas en medios que sólo entrarán en resonancia en esas frecuencias.[br][br]Simplifiquemos un poco en aras de mayor claridad. Nuestro oído puede percibir vibraciones con frecuencias comprendidas entre unos 18 Hz y unos 18.000 Hz. Si percibimos un sonido resultado de la combinación de cuatro vibraciones: sonido={200, 708, 1.524, 3.967}, las células especializadas en la recepción de cada tipo de vibración cribarán las componentes del sonido: solo se activarán las células situadas en zonas que entren en resonancia con las frecuencias 200, 708, 1.524 y 3.967. Al sonido percibido lo podemos llamar “200-708-1.524-3.967”, pero es muy importante para la comprensión de la relación entre música y matemáticas tener en cuenta desde un principio que registramos cada frecuencia por separado.[br][br]Cuantas menos vibraciones compongan un sonido, menos actividad se registrará en nuestro oído. Nuestra percepción mental es de un sonido “puro”, “claro”, “nítido”. El sonido producido por un diapasón es un buen ejemplo. Su equivalente visual podría ser un cielo despejado.[br][br]Por el contrario, si son muchas y de diverso tipo las vibraciones que conforman el sonido, percibiremos éste como “oscuro”, “confuso”, “impreciso”. Su equivalente visual podría ser un tupido bosque.[br][br]Además, aunque en principio la intensidad del sonido es independiente de la frecuencia, no lo es en nuestra recepción del sonido. Nuestro oído es más sensible a las altas frecuencias, de forma que con la misma intensidad de sonido percibimos un volumen mayor en frecuencias altas respecto a las bajas.[br][br][b]El ritmo[/b][br][br]Muchos sonidos naturales se repiten con cierta fidelidad en períodos cortos de tiempo. Goteos diversos después de la lluvia, las olas, los pasos al caminar o correr, el canto de algunos pájaros, los latidos del corazón, los ladridos del perro del vecino...[br][br]El oído forma parte de nuestro sistema de vigilancia. Si el ritmo es suficientemente pausado y suave la esperada repetición de los sonidos relaja nuestros receptores auditivos, provocando una disminución en nuestro estado de alerta y la consecuente sensación de relajamiento –que en ocasiones llega a dormirnos–. En contraste, si deseamos provocar el estado opuesto en los que están alrededor nuestra, nada mejor que estimular sus células receptoras con sonidos intensos, rápidos y cambiantes, dando fuertes palmadas y gritos, a la vez que brincamos, gesticulamos y cambiamos frecuentemente de lugar para alertar también al sistema visual (¿el nacimiento de la danza?).

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]FUNCIONES MUSICALES[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8745:3-septiembre-2007-funciones-musicales&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Septiembre 2007[/url][br][br][b]La insoportable levedad del ser[/b][br][br]La constancia de lo pasajero de la existencia humana provoca en el poderoso cerebro del Homo la necesidad de dejar constancia, de algún modo, de su propia y fugaz existencia. Como reacción a la dolorosa conciencia del paso del tiempo hemos creado sistemas para mitigarla: aprecio familiar y social, celebraciones, valores morales, fama y poder, religiones, investigación, ciencia y... artes.[br][br][b]La línea del tiempo[/b][br][br]El arte surge de la necesidad de cada individuo de comunicar su propia sensibilidad, por lo que no precisa una finalidad material. La artesanía, la arquitectura, la escultura, la pintura o la fotografía se convierten en arte cuando logran esa comunicación con alguien que no sea algún admirador incondicional, lo que les dota de cierta intemporalidad. Pero, además, otras artes incluyen un tiempo narrativo específico como elemento artístico, como es el caso de la literatura, el teatro, la cinematografía, la danza y, sobre todo, la música.[br][br][b]Funciones[/b][br][br][i]Función[/i]. 3. Acto organizado, que constituye un espectáculo de cualquier clase, al que concurre gente. 5. [i]Mat[/i]. Con respecto a una cantidad, otra cuyo valor depende del de aquella. (Diccionario de uso del español de María Moliner.)[br][br]La música comparte estas dos acepciones. Por una parte, necesita de una ejecución interpretativa, ya sea propia o ajena, que le confiere carácter de espectáculo. Por otra, su dependencia de la variable tiempo es total.[br][br][b]Huellas musicales[/b][br][br]Basta una piedra o algo de barro para dejar una huella que nos sobreviva pero, hasta hace muy poco, nuestra voz moría con nosotros. De la misma forma que podemos enseñar palabras y frases, también podemos enseñar canciones. Durante siglos, las canciones populares (y los bailes asociados) no necesitaron de ningún registro material para su transmisión y enriquecimiento de generación en generación.[br][br]Cuando las canciones se fueron acumulando se hizo patente la necesidad de registrarlas como ya se registraba la palabra: por escrito. Ahora bien, ¿cómo?[br][br][b]Frecuencias fundamentales: hacia la abstracción[/b][br][br]Cuando cantamos bajo la ducha [i]Cantando bajo la lluvia[/i], gloriosos reyes de nuestro privado espectáculo musical, cualquier parecido con E. J. Curran ([i]Gene Kelly[/i]) será, normalmente, una calumnia. Sin embargo, casi milagrosamente, los sufridos familiares o vecinos seguramente habrán reconocido la canción subyacente a nuestra infame interpretación.[br][br]Independientemente de nuestra voz, nos hemos acercado (valga el eufemismo) lo suficiente a “la secuencia de distancias –[i]intervalos[/i]- entre sucesivas frecuencias fundamentales” que rigen la canción para hacerla reconocible. Así que si disponemos de alguna forma de anotar estos intervalos tendríamos una especie de “esqueleto” de la canción. En eso consiste una [i]partitura[/i].[br][b][br]“Las sinfonías de Beethoven no existen” (Daniel Baremboim)[/b][br][br]Esta frase del conocido pianista resume contundentemente su propia labor como intérprete y director. Las partituras registran la duración y frecuencia de cada sonido en cada instante, pero carecen de “carne palpitante”. Necesitan de una segunda inteligencia creadora, un “recreador” (el intérprete o el director, según el caso) que intente reconstruir la idea original del compositor. Con otras palabras, la partitura muestra un código abstracto que deberá concretarse en la interpretación.[br][br]Volviendo a la ducha, supongamos que nos escucha alguien que oye por vez primera nuestra personalísima versión de [i]Singin’ in the rain[/i]. Al margen de su más que probable estupefacción, solo una recreación completa a partir de nuestras vagas indicaciones sonoras, basada en el conocimiento y estudio de otras composiciones análogas, le haría posible reconstruir algo similar al original.[br][br][b]El periódico ABC[/b][br][br]Como las letras ya estaban inventadas, los primeros intentos para escribir música se basaron en ellas, asignando una frecuencia concreta a cada una de las primeras letras del alfabeto. Así, las siete notas básicas se representan en la notación inglesa y alemana como A, B, C, D, E, F y G, que corresponden, respectivamente, a la notación latina La, Si, Do, Re, Mi, Fa y Sol.[br][br]La famosa canción [i]Do-Re-Mi[/i] de [i]The Sound of Music[/i] (Sonrisas y lágrimas) nos recuerda el carácter cíclico de las notas (en inglés, Do Re Mi Fa So La Ti). El doblaje no tiene desperdicio.[br][br][br][table][tr][td][color=#cc0000]Doe[/color], a deer, a female deer[br][color=#cc0000]Ray[/color], a drop of golden sun[br][color=#cc0000]Me[/color], a name I call myself[br][color=#cc0000]Far[/color], a long, long way to run[br][color=#cc0000]Sew[/color], a needle pulling thread[br][color=#cc0000]La[/color], a note to follow Sew[br][color=#cc0000]Tea[/color], a drink with jam and bread[br]That will bring us back to [color=#cc0000]Do [/color](oh-oh-oh)[/td][td][/td][td][/td][td][color=#cc0000]Don[/color], es trato de barón[br][color=#cc0000]Res[/color], selvático animal[br][color=#cc0000]Mi[/color], denota posesión[br][color=#cc0000]Fa[/color](r) es “lejos” en inglés[br][color=#cc0000]Sol[/color], ardiente esfera es[br][color=#cc0000]La[/color], al nombre es anterior[br][color=#cc0000]Sí[/color], asentimiento es[br]Y otra vez ya viene el [color=#cc0000]Do [/color](oh-oh-oh)[/td][/tr][/table][br]En realidad, se trata de una versión moderna, y muy buena, al estilo del poema elegido por el monje Guido d'Arezzo (992-1050) para enseñar a solfear, y de donde provienen los nombres de las notas (la nota Si se añadió posteriormente).[br][br][b]Ut[/b] queant laxis[br][color=#cc0000]Re[/color]sonare fibris[br][color=#cc0000]Mi[/color]ra gestorum[br][color=#cc0000]Fa[/color]muli tuorum[br][color=#cc0000]Sol[/color]ve polluti[br][color=#cc0000]La[/color]bii reatum[br][color=#cc0000]S[/color]ancte Ioannes[br][br]En este tipo de notación –nomenclatura– se observan graves deficiencias. Primero, se limita a siete frecuencias fundamentales. Esto es fácilmente superable añadiendo más letras. Segundo, no indica la duración de cada sonido. También superable, añadiendo las indicaciones correspondientes. Tercero, y lo más grave, no ofrece una visión global rápida de la evolución de las notas y sus duraciones, algo fundamental para una correcta reconstrucción de la composición.[br][br]Podemos ver cada nota por separado, pero resulta difícil ver su evolución al variar el tiempo.[br][br][b]Subamos el volumen[/b][br][br]Mientras tanto, los matemáticos se enfrentaban a un problema similar. Es sencillo reconocer visualmente una forma, como un cubo (el cuerpo regular, no el recipiente de la fregona), y calcular su volumen. En principio, este cálculo se hacía para cada cubo particular. Así, para cubos con aristas de longitudes 1, 2, 3, 4,... se obtuvieron los correspondientes volúmenes 1, 8, 27, 60 (perdón, 64),... Posteriormente, se generalizó a cualquier lado x, obteniendo el volumen x3. Esta potencia heredó el nombre de su origen geométrico: “número cúbico”, “elevar al cubo”, “x al cubo” o “el cubo de x”.[br][br]Tenemos entonces que podemos ver cada volumen por separado, pero resulta difícil ver su evolución al variar el lado. ¡El mismo problema de notación que en música![br][br][b]Los músicos se adelantan[/b][br][br]Dado que gran parte de las antiguas composiciones musicales se dirigían hacia el canto, no parecía conveniente añadir más letras a las propias de la canción. Tampoco se pretendía “leer música” tal como ahora lo conocemos. Simplemente, había que crear una notación que ayudase a recordar si la sílaba a cantar tenía una altura o frecuencia mayor o menor que la precedente.[br][br]Surgieron así en la Edad Media los [i]neumas[/i], unos signos que se colocaban sobre el texto ayudando a refrescar la memoria. Al principio, la posición de estos signos no dependía de su indicación sobre la altura de la nota –notación adiastemática–, solo acompañaba al texto.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/sdyshvzv/eYEcROYEh2wbBM5e/material-sdyshvzv.png[/img]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]ANÁLISIS ARMÓNICO[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8744:4-noviembre-2007-ansis-armo&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Noviembre 2007[/url][br][br][b]Una vibración misteriosa[/b][br][br]El curioso comportamiento de los instrumentos musicales generó dos de los problemas matemáticos que a lo largo de la historia despertaron un interés excepcional dando lugar a una de las controversias más encendidas y fructíferas en la historia de las matemáticas. Veamos un resumen de la fascinante investigación que consiguió desentrañar el misterio.[br][br][b]Pitágoras[/b][br][br]Desde los tiempos de Pitágoras se conoce, empíricamente, que la altura del sonido fundamental percibido al pulsar una cuerda con extremos fijos depende de la longitud de la cuerda, resultando la frecuencia inversamente proporcional a la longitud. (Una dependencia similar se observa respecto a la longitud de los tubos en los instrumentos de viento, problema que analizaremos en otra ocasión.)[br][br][b]Mersenne (sin sus primos)[/b][br][br]Marin Mersenne en su obra “Armonía Universal” (1636) describe con precisión, pero sin demostrarla, la relación entre la frecuencia del sonido fundamental de una cuerda y su longitud, tensión y densidad, algo que también consigue, independientemente, Galileo. La obra de Mersenne se convirtió en fuente teórica de la música del siglo XVII, sobre todo en Francia.

[tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/danmnbmw/Yj49PqaIvZ9DAra2/material-danmnbmw.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/ytz2fucn/pBPpCOuw4PSfvjsd/material-ytz2fucn.png[/img][/td][/tr][tr][td][size=85]Mersenne (1588 - 1648)[/size][/td][td][size=85]Ecuación de Mersenne[/size][/td][/tr]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]COMBINATORIA MUSICAL[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8703:5-enero-2008-combinatoria-musical&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Enero 2008[/url][br][br][br][b]Un desastre de piano[/b][br][br]Una buena interpretación de una composición, incluso a cargo de una sola voz o de un solo instrumento, suele envolver sutiles matices, ligeras modificaciones en la duración, timbre, volumen o forma de atacar cada nota. Pero, en aras de una mayor claridad expositiva, concedámonos la libertad de simplificar al máximo, a pesar del rigor que indudablemente perderemos con ello, y pasar por alto estas sutilezas.[br][br]Supongamos, pues, que contamos con un piano en un estado realmente lamentable. Las cuerdas están afinadas, pero sólo funcionan las 24 teclas centrales, entre teclas blancas y negras (dos octavas). Los pedales tampoco funcionan y, para colmo, cada nota suena exactamente igual independientemente de la fuerza o duración que empleemos en pulsar cada tecla. Abreviando, tenemos un instrumento que al teclearlo solo puede dar 24 sonidos distintos.[br][br]Por supuesto, la mayoría de los intérpretes rechazarían ejecutar una pieza musical con un instrumento así, incluso aunque la pieza fuera una simple melodía para la que bastasen las 24 notas con que contamos. Ahora bien, al margen de la calidad de la interpretación, estos mismos intérpretes admitirían ser capaces de tocar un sinfín de melodías lo suficientemente conocidas o populares para que el auditorio las reconociera de inmediato.[br][br][b]Letras y notas[/b][br][br]Asociemos ahora a cada una de las teclas del maltrecho piano una letra, distinta en cada caso, de nuestro alfabeto, reservando el espacio en blanco para el silencio. Disponemos con ello de un simple sistema de transcripción melódica. Así, una melodía puede comenzar “KKLEK LNEK TLE...”[br][br]Por último, supongamos que las frases melódicas que el paciente auditorio es capaz de reconocer corresponden con las frases con significado y sentido en nuestra lengua. Evidentemente, este es un paso audaz que requiere un especial consentimiento. La distribución de las notas y los silencios en una composición se encuentra lejos de parecerse a la distribución de letras y espacios en una frase. Mas, sea, consintamos generosamente, a pesar del manifiesto abuso.[br][br]Atendamos ahora al público. Ante el comienzo anteriormente expuesto, el auditorio permanece impávido (tal vez confuso, tal vez horrorizado: ¿LNEK?), mientras que ante la melodía “LA LUZ AZUL ROZA...” sonríe y bate palmas.[br][br][b]El teorema de los infinitos monos[/b][br][br]Si aporreamos el desastrado piano al azar, es casi seguro que el auditorio no reconocerá nada de lo que toquemos, pues difícilmente surgirán palabras inteligibles y mucho menos frases con sentido. Nos encontramos ante el “teorema de los infinitos monos” del matemático francés Émile Borel (1871-1956): letras escogidas al azar difícilmente podrán componer una obra literaria ya escrita. En nuestra versión, notas aleatorias difícilmente compondrán una melodía conocida.

[b]La composición[br][/b][br]Como vemos, el azar puro, incluso limitando las infinitas posibilidades reales a solo 24 sonidos atómicos, es bastante ingobernable como proceso de creación musical. El azar en la creación artística semeja un fuerte condimento en una receta culinaria: puede darle el toque, pero no es la base. Se ha empleado el uso calculado y dirigido de alguna distribución de probabilidad como un componente en la creación de obras musicales, pero esa es otra historia (de la que hablaremos en otra ocasión).[br][br]La composición, es decir, la planificación de todos los elementos que constituyen la obra, no solo otorga consistencia y unidad a la misma sino que además facilita el reconocimiento tanto de la obra completa como de cada una de sus partes.[br][br][b]Limitando el azar[/b][br][br]La libertad de tocar cualquier tecla del lamentable piano conduce, como hemos visto, a un resultado caótico. Limitemos pues los grados de libertad.[br][br]Primero, no se podrá elegir cualquier letra (nota) sino solo palabras (grupos de notas) de la lengua española (reconocibles). Esta limitación es muy fuerte, pues el número de palabras existentes es ridículo frente al número de variaciones posibles de letras aleatorias. No obstante, muchas melodías carecerán todavía de sentido: “PERRO LA LLOVER SIN...”[br][br]Segundo, las palabras (grupos de notas) se clasificarán y ordenarán previamente, de forma que, por ejemplo, a un artículo le sucederá un sustantivo, a este un adjetivo, a este un verbo... facilitando así la conexión entre ellas para formar una frase con sentido. En música, esta clasificación se puede establecer atendiendo especialmente a la primera y última nota del grupo, fundamentales para marcar la tonalidad y enlazar un grupo de notas con el siguiente.[br][br]Tercero (y decisivo), las palabras no pueden ser cualesquiera, sino que deben elegirse en cada caso una en una lista cerrada de posibilidades. Esto evita faltas de concordancia (como “LA PERRO”). Por ejemplo, la primera palabra solo puede ser EL, UN, ALGÚN, OTRO, ESTE, ESE, AQUEL u otra similar.[br][br][b]Permutaciones[/b][br][br]En 1974 Ernö Rubik inventa un rompecabezas que años más tarde se convierte en tal éxito de ventas a escala mundial que no necesita más presentación: su famoso cubo. El número de piezas es reducido, solo 26, pero el número de diseños posibles es enorme: más de 43 trillones, un número de 20 cifras.

No es la primera vez que un puzle se populariza a esta escala. Un siglo antes, una humilde cajita con 15 piezas obsesionó a europeos y americanos. Inventada por un cartero de Canastota (NY), Noyes Chapman, fue no obstante el creador de acertijos Sam Loyd quien la popularizó ofreciendo una recompensa de 1.000 dólares -de la época (1880)- a quien fuese capaz de resolverlo a partir de una posición inicial... de distinta paridad, es decir, irresoluble. (En la posición inicial de Loyd, los números 14 y 15 aparecían permutados.) El número total de posibles permutaciones -a partir de una dada- es de más de medio billón (y otro tanto para las posiciones con distinta paridad). [url=https://www.geogebra.org/m/vVz3xBtw]Pulsa aquí[/url] para ver una versión interactiva.[br][br]Las recompensas continúan hoy siendo un buen reclamo publicitario. Actualmente, se ofrece un premio de dos millones de dólares a la primera persona que consiga resolver, durante este año 2008, un puzle de 256 piezas comercializado como Eternity II. Al contrario que en el caso anterior, la existencia de solución está garantizada (incluso hay más de una, aunque muy pocas), pero el número posible de disposiciones de las piezas es inimaginable... ¡Tiene unas 600 cifras![br][br]En los casos expuestos vemos que la clave del atractivo, premios aparte, consiste en el gran contraste entre el escaso número de piezas fácilmente manipulables y el gran número de configuraciones posibles.

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]MELODÍAS MODULADAS[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8702:6-marzo-2008-melod-moduladas&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Marzo 2008[/url][br][br][br][b]Un día especial[/b][br][br]El 12 de mayo, Día Escolar de las Matemáticas y víspera de [i]martes 13[/i], se dedica este año a la relación entre [i]Música y Matemáticas[/i], eje central de esta sección de Divulgamat. Uno de los pilares de esa relación lo representa el sistema de escalas musicales y su conexión con la afinación, tema que se puede ver desarrollado en el [url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8747:1-2004-2005-afinaci&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]artículo de Vicente Liem[/url] con el que se inauguró esta sección.[br][br]Como dedicatoria al Día Escolar de las Matemáticas, comenzaremos hablando de días especiales y, siguiendo el hilo, retomaremos las escalas musicales desde un punto de vista ligeramente distinto.[br][br][b]Querida Alicia[/b][br][br][list][*]Me la dieron -continuó diciendo Humpty Dumpty con mucha prosopopeya, cruzando una pierna sobre la otra y luego ambas manos por encima de la rodilla- me la dieron... como regalo de no-cumpleaños. (Lewis Carroll, [i]A través del espejo y lo que Alicia encontró al otro lado[/i].)[/*][/list][br]El más básico sistema de clasificación es el que atiende a opuestos o complementarios: positivo o negativo, cara o cruz, par o impar, sonido o silencio, ser o no ser.[br][br]Estas dicotomías toman frecuentemente la forma de criterios con los que dilucidar rápidamente algunas cuestiones. Criterios basados en la paridad son utilizados tanto en matemáticas como en la transmisión codificada de información digital para comprobar la existencia de soluciones o la coherencia de datos. La propia aritmética interna del ordenador es del tipo encendido-apagado.[br][br]Estamos ante un caso sencillo de lo que se conoce como [b][i]clases de equivalencia[/i][/b]. Alicia cumple años el mismo día del año, independientemente del año de su vida. Todos estos días tienen, pues, una relación común, llamada [b][i]relación de equivalencia[/i][/b], que los diferencia de los días de no-cumpleaños.[br][br]Para Alicia, los días de [i]cualquier [/i]año se separan, bajo esta relación, en dos clases de equivalencia: [cumpleaños] y [no-cumpleaños] (los corchetes denotan que nos referimos a [i]clases[/i]).[br][br]Sin embargo, estas dos clases no constan de igual número de elementos. Hay muchos más días de no-cumpleaños que días de cumpleaños, así que, como advierte Humpty Dumpty a Alicia, más vale celebrar los primeros que los segundos.[br][br][b]Seven Up[/b][br][br]Más interesantes, en un sentido práctico, resultan las clases que reparten por igual los elementos.[br][br]Un caso cotidiano -nunca mejor dicho- lo encontramos en las clases llamadas “días de semana”. Arbitrariamente, se elige un día y se le hace corresponder el número 1. Lo denominamos “lunes“, según la norma actual, si bien en sus orígenes hebreos el primer día no fue lunes sino domingo y correspondería al primer día de la creación, fijado en fecha tan reciente, históricamente hablando, como es el 7 de octubre del año 3761 a.C.[br][br]Los días siguientes reciben nuevos nombres, hasta el séptimo, “domingo“. A partir de ahí, la secuencia se repite, de forma que el [i]octavo [/i]día vuelve a ser “lunes“, el noveno “martes”, etc. Llamamos [i]semana [/i]al tiempo que separa ([i]distancia [/i]temporal) un día del siguiente del mismo nombre, es decir, de la misma [i]clase[/i]. También usamos aquel mismo nombre, [i]semana[/i], para el [i]intervalo [/i]de días correspondiente a esa distancia temporal.[br][br]Por ejemplo, si hoy es miércoles decimos que para el próximo miércoles falta una semana. Pero también llamamos semana al intervalo que abarca el miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes y martes, es decir, a la serie de días comprendidos entre dos miércoles consecutivos.[br][br]¿Por qué se convino en repetir la secuencia precisamente cada siete días? Seguramente porque cada siete días la luna cambia de fase (llena, menguante, nueva y creciente), por lo que desde tiempos prehistóricos basta su observación para determinar el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos alejados algunos días, lo que resulta mucho más práctico que llevar cuenta de los amaneceres.[br][br]Si deseamos distinguir un lunes de otro hace falta señalar la semana correspondiente. La forma más sencilla de conseguirlo es numerándolas. A la primera semana, ya sea la supuesta de la creación o cualquier otra semana que convengamos como inicial, le asignaremos el número 0, y a las sucesivas semanas 1, 2, 3, etc. Estos números se mostrarán como subíndices del día de la semana. Por ejemplo, M[sub]5[/sub] indica el martes de la quinta semana a partir de la inicial (que hemos denotado como semana 0).[br][br]En suma, tenemos que las semanas, consideradas como intervalos, abarcan los días de lunes a domingo:[br][br] semana 0 (inicial) = {L[sub]0[/sub], M[sub]0[/sub], X[sub]0[/sub], J[sub]0[/sub], V[sub]0[/sub], S[sub]0[/sub], D[sub]0[/sub]} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}[br] semana 1 = {L[sub]1[/sub], M[sub]1[/sub], X[sub]1[/sub], J[sub]1[/sub], V[sub]1[/sub], S[sub]1[/sub], D[sub]1[/sub]} = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}[br] …[br][br]que los días de la semana son las clases:[br][br] [lunes] = {L[sub]0[/sub], L[sub]1[/sub], L[sub]2[/sub], L[sub]3[/sub], L[sub]4[/sub], L[sub]5[/sub]...} = {1, 8, 15, 22, 29, 36...}[br] [martes] = {M[sub]0[/sub], M[sub]1[/sub], M[sub]2[/sub], M[sub]3[/sub], M[sub]4[/sub], M[sub]5[/sub]...} = {2, 9, 16, 23, 30, 37...}[br] ...[br][br]y también que usamos la palabra semana para la diferencia de siete unidades-día entre dos días consecutivos del mismo nombre:[br][br] semana = L[sub]n[/sub] – L[sub]n-1[/sub] = M[sub]n[/sub] – M[sub]n-1[/sub] =... = 7[br][br][b]De oca a oca[/b][br][br]Una [i]progresión aritmética[/i] es una sucesión -de números- en donde, a partir de un número inicial, la diferencia entre cada término y el anterior siempre es constante (esta constante se denomina, precisamente, [i]diferencia[/i]). Por ejemplo, los números impares {1, 3, 5, 7...} forman una progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 2.[br][br]Observamos entonces que cada elemento de la clase [martes] forma parte de una progresión aritmética cuyo primer término, el martes de la semana inicial (M0), corresponde al día 2 y cuya diferencia es 7.[br][br]El término general, es decir, el número correspondiente al martes de la enésima semana (sin contar la inicial), será:[br][center]M[sub]n[/sub] = M[sub]0[/sub] + 7n[/center]donde n es cualquier número natural. La expresión anterior sintetiza cada uno de los elementos de la clase [martes]. Por supuesto, esta expresión se puede aplicar a cualquier otro día. Al viernes, por ejemplo:[center]V[sub]n[/sub] = V[sub]0[/sub] + 7n[/center]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]MELODÍAS DESMODULADAS[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8701:7-mayo-2008-melod-desmoduladas&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Mayo 2008[/url][b][br][br]En busca de las moléculas musicales[/b][br][br]Los músicos, musicólogos y matemáticos fueron paulatinamente percibiendo que detrás de cualquier composición musical existe un orden analizable, ya sea sencillo o complejo, no solo en la obra como conjunto sino también en sus partes moleculares.[br][br]La búsqueda de un sistema “universal” de análisis de ese orden sigue vigente. En el siglo XX destaca un método que permite, en cierta medida, la clasificación y comparación de “moléculas musicales”, que puede aplicarse tanto a composiciones renacentistas como a modernas. Este método, denominado [i]Teoría Musical de Conjuntos[/i], nos sumerge de nuevo en la combinatoria y en la aritmética modular.

Parece encontrarse suficientemente documentado que ya a finales del siglo XIX compositores como Satie, utilizaban métodos sistemáticos de composición. No por ello, curiosamente, son menos emotivas sus -generalmente breves- piezas.[br][br]También se puede generar (recuérdese el juego combinatorio de Mozart) música al azar. Si las notas son completamente aleatorias se consigue un pobre resultado ("música blanca"). Pero si se dictan unas normas (unos patrones), los resultados mejoran.[br][br][b]La atonalidad[/b][br][br]A finales del siglo XIX se comenzó a cuestionar la base tonal de la música occidental. Hasta entonces, las notas que conformaban una composición formaban una red de órbitas alrededor de un centro gravitatorio que las cohesionaba. Por ejemplo, una obra compuesta en la tonalidad de Si bemol mayor desarrolla esa estructura tonal.[br][br]Cuando escuchamos una obra compuesta bajo el sistema tonal, es decir, prácticamente cualquiera entre los siglos XV y XIX, podemos intuir –antes de oírlas- muchas de las notas siguientes a las que escuchamos, especialmente las que cierran las frases melódicas. Esto es consecuencia de la estructura tonal. Nuestro oído espera constantemente un regreso a las cercanías del tono o tonos que sirven de centros gravitatorios, de los cuales el fundamental es la tónica.[br][br]A principios del siglo XX los compositores buscan una estructura que evite la presencia de esos centros tonales, de forma que el oyente no pueda anticiparse en ningún momento a la frase musical antes de terminar de oírla. Esta nueva estructura se conoce como [i]atonalidad[/i].[br][br][b]Los adelantados[/b][br][br]El uso extremo del [i]cromatismo[/i], es decir, el empleo del semitono más que del tono como base de la composición, reduce considerablemente la percepción de tonalidad. Este recurso ya fue usado por Wagner y Debussy en algunas partes de sus obras.[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/ce62wuuz/U2XPIej8k4lkgO3Z/material-ce62wuuz.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/rqdxzru7/rNaf1RmjYemvxD2h/material-rqdxzru7.png[/img][/td][/tr][tr][td][size=85]Richard Wagner (1813–1883)[/size][/td][td][size=85]Claude Debussy (1862–1918)[/size][/td][/tr][/table][br]Otros compositores, como Charles Ives, también lograron reducir, e incluso hacer desaparecer, la influencia de los atractores tonales mediante diversas técnicas.[br][br]El musicólogo y matemático Graeser fue el primer teórico de la música que aplicó sistemáticamente "grupos de simetrías" al análisis musical.

[b]La Segunda (?) Escuela de Viena[/b][br][br]Sin embargo, fue Schönberg el primer compositor en aplicar conscientemente órbitas completas de "grupos de simetrías" a la composición musical. La técnica dodecafónica de Schönberg (hacia 1920) es la primera aplicación sistemática de un método algorítmico de composición. En su obra [b]Pierrot Lunaire[/b], también aparece un fragmento palíndromo.[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/ef3fzfpp/FqA0YsqOuSso1o2F/material-ef3fzfpp.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/pvrrtzsb/C6ZpsA9zLrqgxf3M/material-pvrrtzsb.png[/img][/td][/tr][tr][td][size=85]Arnold Schönberg (1874–1951)[/size][/td][td][/td][/tr][/table][br]Este método o sistema de composición, conocido como [i]serialismo dodecafónico[/i], se basa en asignar el mismo protagonismo a cada uno de los 12 semitonos que componen la octava, independientemente de su altura. Es decir, todas las notas del mismo nombre, como Re bemol, se consideran equivalentes e igualmente importantes.[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/vbd7ceus/AJfstAvfylXwCdaS/material-vbd7ceus.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/hgsf4gcz/ys75IFROiNWivD0Z/material-hgsf4gcz.png[/img][/td][/tr][tr][td][size=85]Anton Webern (1883–1945)[/size][/td][td][size=85]Alban Berg (1885–1935)[/size][/td][/tr][/table][br]La repercusión de este sistema en la música del siglo XX fue enorme. A Schönberg, junto con sus discípulos en Viena, Anton Webern y Alban Berg, se les concedió el nombre colectivo de [i]La Segunda Escuela de Viena[/i], aludiendo, por contraste, al grupo de influyentes compositores (Haydn, Mozart, Beethoven y Schubert) vinculados desde antiguo a esa ciudad, que formarían parte de una supuesta [i]Primera Escuela de Viena[/i] que en realidad nunca existió.

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]GEOMETRÍA MUSICAL (1ª parte)[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8700:8-julio-2008-geometrmusical-1&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Julio 2008[/url][br][br][br][b]Emoción y reconocimiento[/b][br][br]¿Por qué la música emociona tanto a tantas personas? Una primera clave para responder a esta difícil pregunta la encontramos en los [url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=8746&Itemid=46]orígenes orales[/url] de la música. Podemos considerar en parte la música como un lenguaje subliminal. En la comunicación con nuestros semejantes a través de la palabra no solo transmitimos la información textual, sino que la intensidad, inflexiones y cadencia de la voz aportan otro tipo de información tan valiosa o más, para una acertada comunicación emocional, que el propio texto. Son esas características del habla (intensidad, cadencia, inflexión) las que se exportan a la música, primero en la canción y posteriormente en la interpretación de algún instrumento.[br][br]Hablar con absoluta monotonía, además de exponernos a aburrir considerablemente al interlocutor, priva a la comunicación de la información emotiva, a no ser que ésta se aporte mediante otros signos (como el lenguaje corporal). Ahora bien, la experiencia es fundamental para una correcta interpretación en el proceso de comunicación. Aquí es donde aparece la segunda clave, a la que dedicaremos algunos artículos: el reconocimiento de una experiencia anterior.[br][br]Reconocer es un proceso básico en cualquier tipo de emoción. Un simple chiste del tipo “¿cuál es el animal que tiene entre 3 y 4 ojos?” (el piojo) puede que haga gracia o no, pero en ningún caso la hará si nuestro interlocutor desconoce o no reconoce el valor del número Pi. Igualmente, para emocionarse con una composición musical se necesita cierto tipo de reconocimiento.[br][br][b]La repetición[/b][br][br]Tal vez la forma más eficaz de provocar el reconocimiento sea la repetición, conocida como una de las estrategias básicas, junto con la relación, en los procesos de aprendizaje.

En el irónico e inquietamente divertido libro de Mark Twain [i]Cartas desde la Tierra (Letter from the Recording Angel)[/i], se puede leer:[br][br]>> ¡En el cielo del hombre [i]todo el mundo canta![/i] El que no cantaba sobre la tierra canta allí; el que no sabía cantar sobre la tierra sabe hacerlo allí. Este canto universal no es casual, ni ocasional, ni interrumpido por intervalos de silencio; es continuo, perdura todo el día y todos los días, durante un periodo de doce horas. Y [i]todo el mundo permanece allí;[/i] a pesar de que en cualquier otra parte de la tierra el lugar estaría vacío en dos horas. Los cantos son solo himnos. Más aún, es un [i]único[/i] himno. Las palabras son siempre las mismas, alrededor de una docena, no hay rima, no hay poesía; “Hosanna, hosanna, hosanna, Señor Dios del Sabbat, ¡ra! ¡ra! ¡ra! ¡siss!... ¡boom!... ¡ah!”.[br][br]>> Mientras tanto, todas las personas tocan un arpa -¡millones y millones!- en tanto que sólo veinte de cada mil sabían tocar ese instrumento en la tierra, o siquiera deseaban hacerlo.[br][br]>> Considerad ese sordo huracán de sonido: ¡millones y millones de voces chillando al unísono y millones de arpas haciendo rechinar los dientes al mismo tiempo! Les pregunto: ¿no es abominable, es odioso, es horroroso?

La repetición forma parte tanto de la música como del propio medio sonoro. Las ondas sonoras no son más que perturbaciones periódicas de la presión del aire. El reconocimiento de estos “patrones sonoros”, más o menos complejos, se realiza normalmente gracias a ciertos tipos de repeticiones.[br][br]Sin embargo, la repetición constante (aparte de ser abominable, odiosa, horrorosa) puede provocar efectos no deseados, el más leve de los cuales es simplemente la insensibilización. Esto es lo que sucede cuando dejamos de percibir el sonido de una lámpara después de un rato. Excepcionalmente, existen casos en donde la repetición machacona es justo lo deseado. Por ejemplo, en la danza indonesa Kecak (pronúnciese “kachak”) un coro masculino no para de repetir kachakachakachak... precisamente para crear un clima hipnótico. Algo similar ocurre en algunos rituales vuduistas.

El preciso equilibrio entre reconocimiento y repetición obliga, por tanto, a que esta se realice de forma moderada y con ligeros cambios. En geometría aparecen cierto tipo de transformaciones que “cambian” una figura geométrica “conservando” características fundamentales que permiten su reconocimiento. Nos referimos a las transformaciones que conservan la forma de la figura: los movimientos (isometrías) y las homotecias.[br][br][b]Figuras semejantes[/b][br][br]Cualquier movimiento (traslación, giro, reflexión) y cualquier homotecia (ampliación/reducción) de una figura conserva su forma. Esto permite su rápido reconocimiento visual, incluso aunque la orientación haya variado, a la vez que evita la repetición exacta del motivo.[br][br]Todas esas transformaciones son experimentadas, visualmente, todos los días. Nuestro propio cuerpo (al menos externamente), y el de muchos seres o partes de seres vivos, está dotado de una fuerte simetría. La parte izquierda parece reflejarse en la derecha, o viceversa.

Las traslaciones y los giros los observamos cada vez que vemos un objeto desplazarse o girar respecto a nosotros. Nadie duda que se trata realmente del [i]mismo[/i] objeto, a pesar de ocupar una nueva posición visual. (Puedes interactuar con la siguiente construcción, moviendo la figura superior izquierda.)

Las homotecias aparecen de forma natural cada vez que nos aproximamos o alejamos de un objeto. De nuevo, su cambio de tamaño aparente no nos impide continuar identificando el objeto como el [i]mismo[/i].

Tenemos, por tanto, gran experiencia en la observación de todo tipo de variaciones ópticas con una misma característica común: la semejanza entre figuras.

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]PEQUEÑOS TERREMOTOS[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8698:10-noviembre-2008-pequeterremotos&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Noviembre 2008[/url][br][br][b]Pop art[/b][br][br]En la siguiente figura aparecen 30 patrones dispuestos en cinco columnas. ¿Se trata de una obra de arte abstracto? ¿Quizás dibujos ornamentales hallados en tallas, cerámicas o telas de algún pueblo africano? ¿Serán diseños para la moda de la próxima temporada?

¿Qué decir de estos otros enmarcados en cuadrados, como si fueran baldosas? ¿Tienen el mismo origen que los anteriores? ¿Qué representan, de dónde surgen?

Estos motivos son tan conocidos entre muchos científicos que incluso existen versiones comerciales con llamativos colores, como esta del físico Eric Heller:

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]COMO LO OYES[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8697:11-enero-2009-como-lo-oyes&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Enero 2009[/url][br][br][br][b]La tesitura[/b][br][br]La altura de un sonido es la percepción que tenemos de la frecuencia. Esto nos permite clasificar algunos sonidos como agudos y otros como graves.[br][br]Cuanto más alta sea la frecuencia de un sonido, más agudo lo percibiremos. Generalmente, las mujeres tienen la voz más aguda que los hombres (esto es, sus cuerdas vocales vibran más rápido). En lenguaje musical se dice que un sonido agudo tiene un[i] tono alto[/i] y que uno grave tiene un [i]tono bajo[/i].[br][br]Las notas musicales se caracterizan por su altura o frecuencia. En un piano, por ejemplo, a cada tecla le corresponde un sonido diferente de frecuencia. Las teclas que se hallan a la izquierda del pianista corresponden a las notas de frecuencia baja (sonidos graves, tonos bajos), y las de la derecha son las notas de frecuencia elevada (sonidos agudos, tonos altos).[br][br]Los instrumentos y los cantantes de música clásica se clasifican de acuerdo con la frecuencia de las notas que son capaces de reproducir. Al conjunto de frecuencias que un instrumento o una voz puede emitir se le llama [i]tesitura[/i].[br][br]Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír el rango de frecuencias correspondiente a cada una de las voces. Hay que advertir que sólo son valores medios, pues en cada una de esas voces existen fluctuaciones. Por ejemplo, hay sopranos que pueden cantar con mayor rango de frecuencias o en frecuencias más altas. Además, como veremos, el timbre también es otra cualidad a tener en cuenta. Así, se distinguen entre voces de soprano líricas, ligeras y dramáticas, entre otras.[br][br]La voz humana comprende, normalmente, una tesitura de unas dos octavas. La siguiente tabla muestra la clasificación básica (no completa) de los registros humanos y las frecuencias aproximadas correspondientes. Pulsando sobre el nombre (bajo, barítono...) de cada una de las voces, podemos oír cada intervalo. Observemos que una voz de soprano está una octava por encima de una voz de tenor, y la de la contralto una octava por encima de la de barítono (la frecuencia es el doble).

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]TOPOLOGÍA MUSICAL (1ª parte)[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=7971:12-marzo-2009-topologmusical-1&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Marzo 2009[/url][br][br][br][b]Buscando El Modelo[/b] [br][br]Nadie duda hoy en día de la extraordinaria eficacia de las Matemáticas para resolver los más variados, complejos y difíciles problemas. Pero para poder aplicar las sofisticadas y potentes herramientas matemáticas se precisa un modelo de la realidad que se desea analizar, un modelo que conserve las características que determinan la naturaleza del fenómeno o estructura a estudiar.[br] [br]En el caso de la Música, desde Pitágoras, los matemáticos de todas las épocas han buscado la forma de aproximarse a ese modelo. La tecnología necesaria para grabar y reproducir el sonido ha contribuido, indudablemente, al conocimiento profundo de las características sonoras fundamentales. Sin embargo, el análisis de una estructura musical suele ser bastante diferente del análisis de los sonidos que la componen. Nos interesa más la relación entre los distintos sonidos que la naturaleza de los mismos.[br] [br]Actualmente, la búsqueda de modelos matemáticos que reflejen las estructuras musicales sigue siendo una aventura que enciende pasiones y controversias. En la siguiente imagen podemos ver el anuncio del programa de un seminario permanente, MaMuX, cuyo objetivo es precisamente reunir y discutir las nuevas aportaciones que vayan surgiendo en la milenaria relación entre música y matemáticas.