Геометрия на подвижных чертежах. Второе издание

Алексей Сгибнев, Jan 9, 2023

Коллекция динамических моделей ко всем основным задачам [color=#c51414]второго издания, переработанного и дополненного,[/color] книги А.И. Сгибнева "[b][url=https://biblio.mccme.ru/node/210710]Геометрия на подвижных чертежах[/url][/b]" (М., МЦНМО, 2024). Книга посвящена решению геометрических задач с помощью программ динамической геометрии (Геогебра, Живая Математика, Математический Конструктор). [color=#b20ea8]10 готовых занятий кружка по геометрии на компьютере для 6-10 классов.[/color] В задачах для разбора можно просматривать пошаговые построения моделей, а задачи для самостоятельного решения выдавать ученикам в несколько кликов в GeoGebra. Книгу можно [b]купить[/b] в [url=https://www.ozon.ru/product/geometriya-na-podvizhnyh-chertezhah-1200042722]Озоне[/url], в [url=https://www.labirint.ru/books/982320/]Лабиринте[/url], в [url=https://my-shop.ru/shop/product/5005676.html]MyShop[/url] и в [url=https://biblio.mccme.ru/node/210710]издательстве[/url]. [b]Группа [url=https://t.me/joinchat/Eg7psxQ1MLIrk1bKwOjS8A]"Динамическая геометрия"[/url] в телеграме[/b]. [url=https://youtu.be/z6odxedOwas]Видеоурок по Геогебре, 19 минут.[/url] [url=https://drive.google.com/file/d/14MiHHTBCEKau0HT9xVvPbLKhhROKqdKV/view?usp=sharing][color=#b20ea8]Руководство по Геогебре, 6 страниц[/color][/url] Другие мои проекты: [url=https://www.geogebra.org/m/edfut8r2][color=#0a971e]Коллекция живых чертежей к учебнику М.А. Волчкевича "Геометрия 9 класс"[/color][/url] [url=https://www.geogebra.org/m/jdg8nz9e]Видеокурс с практикой "ГеоГебра для учителей"[/url] (совместно с А.О. Сысоевым и Н.М. Нетрусовой) [url=https://www.geogebra.org/m/kyudvqfx][color=#198f88]альбом подвижных чертежей к задачнику М.А. Волчкевича "Геометрия в задачах 7-8 класс"[/color][/url], [color=#c51414][url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLnnFSS9Rswo27FPmawSghhRaxuV2qu091]видеокурс "Алгебра на компьютере".[/url][/color]

Table of Contents

  1. 1. Строим подвижные чертежи
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  2. 2. Угадываем и достраиваем
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  3. 3. Строим траектории точек и линий
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  4. 4. Ищем экстремумы-1
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  5. 5. Оживляем траектории
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  6. 6. Ищем взаимосвязи и инварианты
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  7. 7. Вокруг задачи о котёнке
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  8. 8. Ищем экстремумы-2
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  9. 9. Освобождаем точку
    1. Задачи для разбора
    2. Задачи для самостоятельного решения
  10. 10. Вокруг конструкций. Конференция
    1. Задачи для самостоятельного решения

1.

1. Строим подвижные чертежи

Учимся строить подвижные чертежи, осваиваем понятия предка и потомка, а также основные инструменты построения. [i]Занятие для 6-7 классов. [/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

1.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо. ࣻ
1.1. а) Постройте треугольник, вершины которого лежат на данной окружности. б) Проведите окружность через три вершины данного треугольника.
1.2. В данную окружность впишите угол, опирающийся на данную дугу (это значит, что точки пересечения сторон угла с окружностью заданы, а вершина угла «бегает» по окружности).
1.3. Дан острый угол. Постройте квадрат, у которого две смежные вершины лежат на одной стороне угла, третья вершина лежит на другой стороне угла, а четвёртая вершина — внутри угла. Сколько таких квадратов существует?
– Алексей Сгибнев

1.2.

–

2.

2. Угадываем и достраиваем

На этом занятии мы будем строить подвижные чертежи, в которых некоторые элементы требуют догадки. Иногда можно догадаться прямо по ходу построения, а иногда сначала придётся строить пробную точку или прямую, двигать её и искать подходящее положение. В ходе решения задач мы будем измерять длины и площади, а также применять полезный и неочевидный инструмент «Подменить точку». [i]Занятие для учеников 7-8 классов.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

2.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
2.1. Дан неравнобедренный треугольник. Постройте отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на основании и делит треугольник на два треугольника равной площади. Выведите на экран площади частей. ↓
↑ Проверьте, что при варьировании треугольника это свойство сохраняется.[br]
2.2. Дан прямоугольник ABCD, стороны которого продлили до прямых, и точка E вне его (см. рисунок). Проведите через точку E прямую p так, чтобы два отрезка, высекаемые на ней параллельными прямыми, были равны.
– Алексей Сгибнев

2.2.

–

3.

3. Строим траектории точек и линий

На этом занятии мы научимся использовать один из мощных инструментов динамической геометрии—построение следа. Будем строить следы не только точек, но и линий. А также начнём формулировать свои гипотезы. [i]Занятие для школьников 7-8 классов.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

3.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
3.1. (Задача о котёнке.) Лестница, стоявшая на гладком полу, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы?
3.2*. Даны две перпендикулярные прямые OA и OB и точка C внутри угла AOB. Рассмотрим все такие прямоугольники CDME, что вершина D лежит на прямой OA, а вершина E—на прямой OB. Найдите множество точек M.
– Алексей Сгибнев

3.2.

–

4.

4. Ищем экстремумы-1

На этом занятии мы будем с помощью измерений решать задачи на нахождение минимумов и максимумов расстояний и их сумм. Всем учителям знакома такая попытка решения задачи на построение: «...и будем двигать прямую, пока она не займёт нужное положение». При использовании подвижных чертежей этот наивный подход даёт первый шаг к решению! [i]Для учеников 7-8 классов.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

4.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
4.1. Даны окружность и точка A внутри неё. Проведите через точку A хорду а) наибольшей длины, б) наименьшей длины.
4.2. Даны угол и точка внутри него. Проведите через эту точку прямую, которая отсечёт от угла треугольник наименьшей площади.
– Алексей Сгибнев

4.2.

–

5.

5. Оживляем траектории

На этом занятии мы научимся оживлять следы, т. е. строить траектории точек как динамические фигуры. Это даст нам больше возможностей для построения траекторий, изучения частных случаев и даже построения двумерных ГМТ. Кроме того, мы будем не только выдвигать гипотезы о виде следа, но ещё и доказывать их. [i]Занятие для школьников 8-9 классов.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

5.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
5.1. а) Найдите множество середин отрезков, соединяющих данную точку с точками данной окружности. ↓
↑б). Найдите множество середин отрезков, у которых один конец лежит на одной данной окружности, а другой—на другой данной окружности (радиусы окружностей разные).[br][br][i](Постройте справа вторую окружность большего радиуса и посадите на неё точку Q инструментом «Прикрепить/снять точку».)[br][/i]
5.2*. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Точки Q и P одновременно начинают движение с равными скоростями: Q по отрезку AB из вершины A, а P—по отрезку BC из вершины B. Найдите траекторию середины отрезка PQ.
– Алексей Сгибнев

5.2.

–

6.

6. Ищем взаимосвязи и инварианты

На этом занятии мы будем искать свойства подвижного чертежа. Речь пойдёт о равенстве углов и отрезков, постоянстве углов, отрезков и площадей, виде фигур. Простейший пример инварианта—средняя линия треугольника: при движении вершины сохраняются длина и направление средней линии. [i]Для учеников 8-9 классов.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

6.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
6.1. Две окружности равного радиуса касаются друг друга в точке K. Стороны прямого угла с вершиной K пересекают одну окружность в точке A, а другую—в точке B. Что в этой конструкции сохраняется при движении точки A по окружности?
6.2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC перпендикулярны. Длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна a. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
– Алексей Сгибнев

6.2.

–

7.

7. Вокруг задачи о котёнке

Занятие посвящено одному геометрическому сюжету, который обобщает задачу о котёнке. Будем активно использовать живой след (локус) и отбор частных случаев с его помощью. [i]Для учеников 9 класса.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

7.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
7.1. (Обобщённая задача о котёнке.) По данным перпендикулярным прямым AB и AC скользят концы отрезка DE постоянной длины. На прямой DE отмечена точка F. Изучите траекторию точки F в зависимости от её положения на прямой.
↑↑ (Анимация точки P останавливается и запускается кнопкой в левом нижнем углу. Все следы можно стереть нажатием Ctrl + F.)
7.2. По данным перпендикулярным прямым AB и AC скользят две смежные вершины D и E квадрата DEFG. Какова траектория центра квадрата O?
– Алексей Сгибнев

7.2.

–

8.

8. Ищем экстремумы-2

Будем решать сложные задачи на минимумы и максимумы. Для этого будем искать, какое свойство выделяет оптимальную конфигурацию среди других. Типовые свойства такие: равные отрезки, равные углы, параллельные прямые, перпендикулярные прямые, точка лежит на прямой или на окружности, окружность касается прямой или окружности. [i]Для учеников 9 класса.[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

8.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
8.1. Даны прямая m и две точки A и B по одну сторону от неё. а) Постройте на прямой m такую точку M, чтобы сумма AM + MB была наименьшей. ↓↓
↑↑ б) Постройте на прямой m отрезок CD заданной длины так, чтобы длина ломаной ACDB была наименьшей.
8.2. Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?
– Алексей Сгибнев

8.2.

–

9.

9. Освобождаем точку

На этом занятии мы научимся решать задачи на построение с помощью метода освобождения точки и преобразований плоскости. [i]Занятие для школьников 9 класса[/i]

  • 1. Задачи для разбора
  • 2. Задачи для самостоятельного решения

9.1.

Задачи для разбора

Построения уже выполнены. Чтобы увидеть их по порядку, нажимайте внизу чертежа двойную стрелку вправо.
9.1. Даны угол и точка A внутри него. Проведите отрезок, концы которого лежат на сторонах угла, а середина совпадает с точкой A.
↑↑ (Анимация точки D останавливается и запускается кнопкой в левом нижнем углу чертежа. ) ↓↓
9.2. Даны угол BOC и точка A внутри него. Проведите отрезок, концы которого лежат на сторонах угла, а точка A делит его в отношении 1 : 2, считая от конца на стороне OB.
9.3. Даны окружность и отрезок AB, длина которого меньше диаметра окружности. Постройте хорду окружности, равную и параллельную отрезку AB.
– Алексей Сгибнев

9.2.

–

10.

10. Вокруг конструкций. Конференция

В качестве повторения и обобщения курса предлагается изучить две конструкции со множеством свойств. [i]Занятие рассчитано на вторую половину 9 класса[/i]

  • 1. Задачи для самостоятельного решения

10.1.

Задачи для самостоятельного решения

В качестве повторения и обобщения курса предлагается изучить две конструкции со множеством свойств. [i]Занятие рассчитано на вторую половину 9 класса[/i]
Чтобы сделать раздаточный материал для каждого ученика, нажмите кнопку ASSIGN в правом верхнем углу ↗
10.1. На сторонах треугольника ABC наружу построены квадраты ABKP и BCGF. Изучите взаимосвязь отрезков AF и KC, а также взаимное расположение прямых AF, KC и PG.
10.2. На сторонах треугольника ABC наружу построены квадраты ABKP и BCGF. Отмечены точки I—середина отрезка AC и J—середина отрезка KF, а также центры квадратов O и R соответственно. Определите вид четырёхугольника OIRJ.
10.3. Для каждой точки B полуокружности с диаметром AC (точка B отлична от точек A и C) на сторонах AB и BC треугольника ABC построены вне треугольника квадраты. Найдите множество середин M отрезков, соединяющих центры этих квадратов.
10.4. Даны две окружности, пересекающиеся в точках A и B. Для произвольной прямой p, проходящей через точку A, обозначим через K и L другие точки пересечения этой прямой с данными окружностями. ↓↓
↑↑ Постройте такую прямую p₁, не совпадающую с AB, чтобы выполнялось равенство AK = AL.
10.5. Даны две окружности, пересекающиеся в точках A и B. Для произвольной прямой p, проходящей через точку A, обозначим через K и L другие точки пересечения этой прямой с данными окружностями. ↓↓
↑↑ Найдите множество середин отрезков KL при всех возможных p. [br](Подсказка. Проведите радиусы окружностей в точки K и L соответственно.)[br]
10.6. Даны две окружности, пересекающиеся в точках A и B. Для произвольной прямой p, проходящей через точку A, обозначим через K и L другие точки пересечения этой прямой с данными окружностями. ↓↓
↑↑ Постройте такую прямую p₂, чтобы длина отрезка KL была максимальна.
– Алексей Сгибнев

Information