[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]COMBINATORIA MUSICAL[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8703:5-enero-2008-combinatoria-musical&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Enero 2008[/url][br][br][br][b]Un desastre de piano[/b][br][br]Una buena interpretación de una composición, incluso a cargo de una sola voz o de un solo instrumento, suele envolver sutiles matices, ligeras modificaciones en la duración, timbre, volumen o forma de atacar cada nota. Pero, en aras de una mayor claridad expositiva, concedámonos la libertad de simplificar al máximo, a pesar del rigor que indudablemente perderemos con ello, y pasar por alto estas sutilezas.[br][br]Supongamos, pues, que contamos con un piano en un estado realmente lamentable. Las cuerdas están afinadas, pero sólo funcionan las 24 teclas centrales, entre teclas blancas y negras (dos octavas). Los pedales tampoco funcionan y, para colmo, cada nota suena exactamente igual independientemente de la fuerza o duración que empleemos en pulsar cada tecla. Abreviando, tenemos un instrumento que al teclearlo solo puede dar 24 sonidos distintos.[br][br]Por supuesto, la mayoría de los intérpretes rechazarían ejecutar una pieza musical con un instrumento así, incluso aunque la pieza fuera una simple melodía para la que bastasen las 24 notas con que contamos. Ahora bien, al margen de la calidad de la interpretación, estos mismos intérpretes admitirían ser capaces de tocar un sinfín de melodías lo suficientemente conocidas o populares para que el auditorio las reconociera de inmediato.[br][br][b]Letras y notas[/b][br][br]Asociemos ahora a cada una de las teclas del maltrecho piano una letra, distinta en cada caso, de nuestro alfabeto, reservando el espacio en blanco para el silencio. Disponemos con ello de un simple sistema de transcripción melódica. Así, una melodía puede comenzar “KKLEK LNEK TLE...”[br][br]Por último, supongamos que las frases melódicas que el paciente auditorio es capaz de reconocer corresponden con las frases con significado y sentido en nuestra lengua. Evidentemente, este es un paso audaz que requiere un especial consentimiento. La distribución de las notas y los silencios en una composición se encuentra lejos de parecerse a la distribución de letras y espacios en una frase. Mas, sea, consintamos generosamente, a pesar del manifiesto abuso.[br][br]Atendamos ahora al público. Ante el comienzo anteriormente expuesto, el auditorio permanece impávido (tal vez confuso, tal vez horrorizado: ¿LNEK?), mientras que ante la melodía “LA LUZ AZUL ROZA...” sonríe y bate palmas.[br][br][b]El teorema de los infinitos monos[/b][br][br]Si aporreamos el desastrado piano al azar, es casi seguro que el auditorio no reconocerá nada de lo que toquemos, pues difícilmente surgirán palabras inteligibles y mucho menos frases con sentido. Nos encontramos ante el “teorema de los infinitos monos” del matemático francés Émile Borel (1871-1956): letras escogidas al azar difícilmente podrán componer una obra literaria ya escrita. En nuestra versión, notas aleatorias difícilmente compondrán una melodía conocida.

[b]La composición[br][/b][br]Como vemos, el azar puro, incluso limitando las infinitas posibilidades reales a solo 24 sonidos atómicos, es bastante ingobernable como proceso de creación musical. El azar en la creación artística semeja un fuerte condimento en una receta culinaria: puede darle el toque, pero no es la base. Se ha empleado el uso calculado y dirigido de alguna distribución de probabilidad como un componente en la creación de obras musicales, pero esa es otra historia (de la que hablaremos en otra ocasión).[br][br]La composición, es decir, la planificación de todos los elementos que constituyen la obra, no solo otorga consistencia y unidad a la misma sino que además facilita el reconocimiento tanto de la obra completa como de cada una de sus partes.[br][br][b]Limitando el azar[/b][br][br]La libertad de tocar cualquier tecla del lamentable piano conduce, como hemos visto, a un resultado caótico. Limitemos pues los grados de libertad.[br][br]Primero, no se podrá elegir cualquier letra (nota) sino solo palabras (grupos de notas) de la lengua española (reconocibles). Esta limitación es muy fuerte, pues el número de palabras existentes es ridículo frente al número de variaciones posibles de letras aleatorias. No obstante, muchas melodías carecerán todavía de sentido: “PERRO LA LLOVER SIN...”[br][br]Segundo, las palabras (grupos de notas) se clasificarán y ordenarán previamente, de forma que, por ejemplo, a un artículo le sucederá un sustantivo, a este un adjetivo, a este un verbo... facilitando así la conexión entre ellas para formar una frase con sentido. En música, esta clasificación se puede establecer atendiendo especialmente a la primera y última nota del grupo, fundamentales para marcar la tonalidad y enlazar un grupo de notas con el siguiente.[br][br]Tercero (y decisivo), las palabras no pueden ser cualesquiera, sino que deben elegirse en cada caso una en una lista cerrada de posibilidades. Esto evita faltas de concordancia (como “LA PERRO”). Por ejemplo, la primera palabra solo puede ser EL, UN, ALGÚN, OTRO, ESTE, ESE, AQUEL u otra similar.[br][br][b]Permutaciones[/b][br][br]En 1974 Ernö Rubik inventa un rompecabezas que años más tarde se convierte en tal éxito de ventas a escala mundial que no necesita más presentación: su famoso cubo. El número de piezas es reducido, solo 26, pero el número de diseños posibles es enorme: más de 43 trillones, un número de 20 cifras.

No es la primera vez que un puzle se populariza a esta escala. Un siglo antes, una humilde cajita con 15 piezas obsesionó a europeos y americanos. Inventada por un cartero de Canastota (NY), Noyes Chapman, fue no obstante el creador de acertijos Sam Loyd quien la popularizó ofreciendo una recompensa de 1.000 dólares -de la época (1880)- a quien fuese capaz de resolverlo a partir de una posición inicial... de distinta paridad, es decir, irresoluble. (En la posición inicial de Loyd, los números 14 y 15 aparecían permutados.) El número total de posibles permutaciones -a partir de una dada- es de más de medio billón (y otro tanto para las posiciones con distinta paridad). [url=https://www.geogebra.org/m/vVz3xBtw]Pulsa aquí[/url] para ver una versión interactiva.[br][br]Las recompensas continúan hoy siendo un buen reclamo publicitario. Actualmente, se ofrece un premio de dos millones de dólares a la primera persona que consiga resolver, durante este año 2008, un puzle de 256 piezas comercializado como Eternity II. Al contrario que en el caso anterior, la existencia de solución está garantizada (incluso hay más de una, aunque muy pocas), pero el número posible de disposiciones de las piezas es inimaginable... ¡Tiene unas 600 cifras![br][br]En los casos expuestos vemos que la clave del atractivo, premios aparte, consiste en el gran contraste entre el escaso número de piezas fácilmente manipulables y el gran número de configuraciones posibles.