Rectas en el plano

Roberto Rodriguez, Instituto GeoGebra Corrientes, Sep 16, 2023

Teniendo el marco conceptual de la Enseñanza para la Comprensión, buscamos aproximarnos al concepto de rectas en el plano. Rectas en el plano El alumno deberá relacionar objetos y métodos algebraicos o analíticos con objetos y métodos geométricos, de tal forma que sea capaz de representar, resolver e interpretar analíticamente problemas geométricos y viceversa. Dado un lugar geométrico el alumno deberá encontrar representaciones gráficas y/o algebraicas del conjunto de puntos solución. [b]Tópico Generativo:[/b]  ¿Qué condiciones deben cumplir tres puntos para estar alineados? [b]Metas de comprensión (para rectas en el plano)[/b]  Dados dos puntos, ¿de qué manera puedo escribir una ecuación que represente la recta que pasa por ellos?  Dada una recta, ¿cómo escribir diferentes ecuaciones que la representen?  ¿Cómo clasificamos las diferentes ecuaciones que representan a una misma recta?  ¿Qué expresiones algebraicas representan una recta en el plano?  ¿Puedo anticipar la ubicación de una recta en el plano a partir de su expresión algebraicas? Si es posible hacerlo, qué debemos considerar de dicha expresión.

Table of Contents

  1. Desempeños preliminares
    1. Buscando un vértice al cuadrado
    2. Dos vértices para un rectángulo
    3. ¿Es un cuadrado?
    4. ¿Qué condición cumplen estos puntos?
  2. Desempeños I
    1. ¿Quién está alineado? ¿Por qué?
    2. Buscando el punto medio
    3. Buscando alineación
    4. ¿Dónde están las paralelas?
    5. Triángulos característicos
  3. Desempeños II
    1. Manteniendo la pendiente del techo
    2. Buscando rectas paralelas
    3. Inclinación de la escalera
    4. Tres puntos alineados
  4. Desempeños III
    1. A mover las rectas
    2. ¿Qué es una ecuación lineal?
    3. Una ecuación lineal
    4. Buscando la ordenada de un punto
  5. Desempeños IV
    1. Parámetros de la recta
    2. Los triángulos característicos y el parámetro m
    3. Pendiente de la recta

1.

Desempeños preliminares

A partir del [b]Tópico Generativo[/b] elegido y las [b]Metas de Comprensión[/b] estas son las actividades que permiten desarrollar los [b]Desempeños de comprensión preliminares.[/b]

  • 1. Buscando un vértice al cuadrado
  • 2. Dos vértices para un rectángulo
  • 3. ¿Es un cuadrado?
  • 4. ¿Qué condición cumplen estos puntos?

1.1.

Buscando un vértice al cuadrado

Actividad
Dados los puntos A, B y C. Ubicar el punto D de manera que el polígono ABCD, en ese orden, sea un cuadrado. Graficar el polígono.
1)
¿Cuáles son las coordenadas del punto encontrado?
2)
El punto que obtuviste, ¿es único?
3) ¿Cómo podrías asegurar que el polígono obtenido es un cuadrado?
– Instituto GeoGebra Corrientes, Roberto Rodriguez

1.2.

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1.3.

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1.4.

–

2.

Desempeños I

  • 1. ¿Quién está alineado? ¿Por qué?
  • 2. Buscando el punto medio
  • 3. Buscando alineación
  • 4. ¿Dónde están las paralelas?
  • 5. Triángulos característicos

2.1.

¿Quién está alineado? ¿Por qué?

Actividad
Identificar los puntos alineados.
Sin graficar la recta que pasa por P y Q. Podrías anticipar, ¿Cuál de los nueve puntos está alineado con P y Q?
Justifica tu respuesta.
– Instituto GeoGebra Corrientes, Roberto Rodriguez

2.2.

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2.3.

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2.4.

–

2.5.

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3.

Desempeños II

  • 1. Manteniendo la pendiente del techo
  • 2. Buscando rectas paralelas
  • 3. Inclinación de la escalera
  • 4. Tres puntos alineados

3.1.

Manteniendo la pendiente del techo

La siguiente actividad nos muestra una casa, en la cual podemos ver dos columnas fijas con una medida de 4 metros una y 7 metros la otra (las medidas no se corresponden con la realidad).[br][br]Queremos construir una columna justamente en el medio de las columnas anteriores, pero desconocemos la altura que debería tener.[br][br]Te proponemos que estimes dicha altura (la de la columna azul) para que las tres columnas se encuentren alineadas con el techo. Para que verifiques la estimación propuesta tienes que mover el deslizador h que se encuentra debajo de la imagen.[br][br]De ser necesario y quieras calcular exactamente la altura h te presentamos dos triángulos que pueden servir de ayuda.
[color=#0000ff]Si desean abstraerse de la situación y ver el problema totalmente geométrico pueden ocultar la imagen de la casa haciendo clic en "Mostrar la casa".[/color]
¿Qué cuentas crees que son necesarias para encontrar la altura exacta de la columna azul?
– Instituto GeoGebra Corrientes

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

Desempeños III

  • 1. A mover las rectas
  • 2. ¿Qué es una ecuación lineal?
  • 3. Una ecuación lineal
  • 4. Buscando la ordenada de un punto

4.1.

A mover las rectas

Consideremos una ecuación lineal:[br] [br]2x + y = c[br][br]Donde c represente un número real cualquiera.[br][br]Veamos que sucede al mover el valor de c con la recta.
Bien, al mover el valor de c (llamado término independiente) observamos que la recta se desplaza. Además, parece ser que se desplaza de forma paralela, ya volveremos sobre el paralelismo.
Lo que ahora queremos saber, es cuánto tiene que valer c para que la recta pase por el punto A.
Ahora observemos las coordenadas del punto A(3, 2).[br][br]Teniendo en cuenta que x=3 e y=2.[br][br]¿Cuál será el valor de 2x + y?
El resultado anterior es sorprendente. Podemos hacer pasar una recta por un punto cualquiera.[br][br]Veamos si puedes lograrlo.[br][br]La nueva recta será:[br][br]4x - 3y = c[br][br]Y queremos que pase por el punto P(3,1).[br][br]Primero averigua el valor de c y luego escribe la ecuación de la recta en el siguiente gráfico.
– Instituto GeoGebra Corrientes

4.2.

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4.3.

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4.4.

–

5.

Desempeños IV

  • 1. Parámetros de la recta
  • 2. Los triángulos característicos y el parámetro m
  • 3. Pendiente de la recta

5.1.

Parámetros de la recta

Muevan los deslizadores que controlan los parámetros de la recta y = m.x + b.[br]Observen el comportamiento de la recta.
Al mover solo el deslizador m, ¿qué ocurre con la recta? ¿cómo se mueve la recta en el plano?
¿Qué ocurre en el caso que el valor de m es igual a cero?
Si ahora dejamos fijo el parámetro m en cualquier valor y movemos el deslizador b, ¿qué ocurre con el comportamiento de la recta?
¿Cuál debe ser el valor de b para que el punto B tenga coordenadas (0,-2)?
Todos juntos
Charlando con sus compañeros y el profesor, establezcan conclusiones acerca del comportamiento de la recta cuando varían los parámetros m y b.
– Instituto GeoGebra Corrientes

5.2.

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5.3.

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