[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Las coordenadas (p[sub]x[/sub], p[sub]y[/sub], p[sub]z[/sub]) de un punto cualquiera P en el espacio euclídeo son una tríada de números ordenados (primero x, después y, después z) que indican la posición de P en el espacio. El centro de coordenadas es el punto (0, 0, 0). Si consideramos los vectores[br][center][b]i[/b] =[math]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/math], [b]j[/b] =[math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math] y [b]k[/b] =[math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math],[/center]las coordenadas de P significan que el vector de posición de P (que denominamos [b]p[/b]) es una combinación lineal de los vectores [b]i[/b], [b]j[/b],[b] k[/b]:[br][center][b]p[/b]= p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][math]\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]z[/sub][math]\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]Es decir:[center][b]p[/b] = p[sub]x[/sub] [b]i[/b] + p[sub]y[/sub] [b]j[/b] + p[sub]z[/sub] [b]k[/b][/center]Esta combinación lineal depende del sistema de referencia S[sub]3[/sub]={(0, 0, 0), [b]i[/b], [b]j[/b], [b]k[/b]}, formada por el centro de coordenadas y los vectores independientes {[b]i[/b], [b]j[/b], [b]k[/b]}. Este conjunto de tres vectores se denomina [b]base canónica[/b], por lo que al sistema S[sub]3[/sub] le llamaremos [b]sistema de referencia canónico[/b] (también se conoce como [i]sistema de referencia universal[/i]) del espacio euclídeo.[br][br]Si ahora tomamos un sistema de referencia diferente S={O, [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]}, donde O=(o[sub]x[/sub], o[sub]y[/sub], o[sub]z[/sub]) es un punto del espacio y [b]a[/b],[b] b[/b], [b]c[/b] son vectores independientes, un punto P' de coordenadas las mismas que P pero [color=#cc0000]con respecto a este nuevo sistema de referencia S[/color] tendrá como vector de posición, en S, una combinación lineal de los vectores [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]:[center][math]\vec{OP'}[/math]= p[sub]x[/sub] [b]a[/b] + p[sub]y[/sub] [b]b[/b]+ p[sub]z[/sub] [b]c[/b][/center]Por lo que sus coordenadas en el espacio serán:[br][center][b]p'[/b]= [math]\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\p_z\end{matrix}\right)_S[/math]= [math]\left(\begin{matrix}o_x\\o_y\\o_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][math]\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]z[/sub][math]\left(\begin{matrix}c_x\\c_y\\c_z\end{matrix}\right)[/math][/center]La expresión de P' se puede manejar con mayor facilidad sustituyendo la ecuación vectorial por su equivalente ecuación matricial. Para ello, consideramos la matriz M = ([b]a[/b] | [b][b]b[/b][/b] | [b]c[/b]), denominada [b]matriz de cambio de base[/b]:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\;\;\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\;\;\begin{matrix}c_x\\c_y\\c_z\end{matrix}\right)[/math][/center]De este modo, P' se puede expresar simplemente como:[br][center][size=150]P' = O + M P[/size][br][/center]En la construcción, mueve P para observar qué le sucede a P'. Observa que cuando P ocupa la posición (1, 1, 1), P' ocupa la posición O + 1[b]a[/b] + 1[b]b[/b] + 1[b]c[/b]. [br][br][color=#999999]Nota: Que P' quede determinado por S={O, [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b]} no significa que S quede determinado por P'. Es decir, el mismo punto P' puede ser imagen del mismo punto P respecto a varios sistemas de referencia diferentes.[br][br]Nota: El eje [b][color=#ff0000]X[/color][/b] es el rojo, el [color=#38761D][b]Y[/b][/color] el verde y el [color=#0000ff][b]Z[/b][/color] el azul; es fácil recordarlo porque sigue el orden del popular código de color [color=#ff0000]R[/color][color=#38761D]G[/color][color=#0000ff]B[/color] ([color=#ff0000][i]red[/i][/color], [color=#38761D][i]green[/i][/color], [color=#0000ff][i]blue[/i][/color]). Para mover los vectores es preciso mover sus extremos A, B y C (al contrario que en el plano, los vectores 3D de GeoGebra no se pueden mover directamente en la gráfica). Además, se debe pulsar sobre cada punto para conmutar entre moverlo en un plano paralelo al plano XY o en una recta paralela al eje Z.[/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]