Egy probléma története
Dr. Szilassi Lajos tanár úr Marczis György tanár úr előadásában figyelt fel egy tanulságos problémára (Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok 106. feladat). Ennek megoldásai és továbbgondolásai, általánosításai történetét foglaltuk össze. [b]Sok meggondolni, bizonyítani való van/maradt ebben a könyvben.[/b] Talán a [b]"végső" sejtés[/b], amihez eljutunk, a következő: Ha[math]A_1, A_2, ...., A_n[/math] egy [i]g[/i] gömbre illeszkedő pontok, akkor azon [i]M[/i] pontok mértani helye a térben, melyekre [math]MA_{1}^2+MA_{2}^2+...+MA_{n-1}^2=(n-2)MA_{n}^2[/math], amennyiben nem üreshalmaz, egy [i]g[/i]-re merőleges gömb.
Table of Contents
- Az eredeti probléma
- 30. Szabályos háromszög - mértani hely
- Egy O középpontú ...
- A probléma tárgyalása elemi geometriai környezetben
- 30. Hogyan tanítsuk elemi geometriai környezetben?
- Általánosítás I.
- 31. Egy korábbi probléma továbbgondolása
- 30. Más irányú általánosítás
- Általánosítás II.
- 30. általánosítás
- 31. Na még tovább!
- Kilépve a térbe.
- 30. Kilépés a térbe - szabályos tetraéder
- 30. Kilépés a térbe - kocka
- 30. Kilépés a térbe - szabályos oktaéder
- 31. Kilépés a térbe - tetraéder
- 31. Kilépés a térbe - 5 pont egy gömbön
30. Szabályos háromszög - mértani hely
[size=85]Az[i] ABC[/i] szabályos háromszög síkjában keressük meg azon [i]M[/i] pontok mértani helyét, amelyekre igaz, hogy [/size][math]MC^2=MA^2+MB^2[/math]![br][size=85]Forrás: [url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos[/url] (Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok 106. feladat)[/size]
Koordinátageometriai megoldás
[size=85]A keresett mértani hely egy kör, melynek középpontja a [i]C[/i] csúcs [i]AB[/i] egyenesre vonatkozó tükörképe, sugara a szabályos háromszög oldala.[br][br]A problémát[url=https://www.geogebra.org/m/bqy9psxs] itt általánosítjuk[/url].[br]Itt meg egy [url=https://www.geogebra.org/m/mnhuya3n]más irányú [/url]továbblépést olvashatunk.[/size]
Egy elemi geometriai meggondolás
Megjegyzések
[list=1][*][size=85]A [i]CBM [/i]háromszög az [i]ABB'[/i] 60°-os elforgatottja. ([url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Szilassi[/url])[/size][/*][*][size=85][/size][size=85]Arról [url=https://www.geogebra.org/m/kavzdb8b]itt találhatunk[/url] gondolatokat, hogy milyen módon lehet elővezetni ezt a problémát egy olyan középiskolás csoportban, akik nem tanultak koordinátageometriát.[br][/size][/*][/list]
30. Hogyan tanítsuk elemi geometriai környezetben?
[size=85]A [url=https://www.geogebra.org/m/cwkf5g8f]probléma elemi megoldása[/url] után arról gondolkodtunk [url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Szilassi tanár úr[/url]ral, hogy milyen módon vezethető elő a probléma a középiskolás diákok számára akkor, amikor még csak elemi geometriai ismereteik vannak. Szilassi tanár úr ötlete az volt, hogy először konkrét mértani hely pontokat kellene kerestetni a gyerekekkel. Most konkretizáljuk a konkrétot.[br]Szerkesszünk olyan [i]M [/i]pontokat, melyekre [br][math]\frac{MB}{MA}=1,2,\frac{5}{2},...,\lambda[/math][/size]![br][size=85]Ha [math]\frac{MB}{MA}=\lambda[/math], akkor [math]\frac{MC}{MA}=\sqrt{1+\lambda^2}[/math].[br]Ezek szerint a keresett (speciális) [i]M[/i] pontok két [url=https://www.geogebra.org/m/rxyexbas]Apollóniusz-kör[/url] metszéspontjai. Ezek pedig szerkeszthetők.[br]A következő GeoGebra fájlt ezeket a szerkesztéseket végzi el nagyon gyorsan.[/size]
[size=85]A 4. lépésben érdemes elindítani az animációt, ez segít annak a sejtésnek a megfogalmazásában, hogy a keresett mértani hely az [i]A[/i]-ra és [i]B[/i]-re illeszkedő kör. A további lépésekben konkretizálható a sejtés: [br][/size][list][*][size=85]A kör középpontja a [i]C[/i] [i]AB [/i]egyenesre vonatkozó tükörképe.[/size][/*][*][size=85]A kör sugara a szabályos háromszög oldala.[/size][/*][/list][size=85]Ezután jöhet a bizonyítás.[/size]
31. Egy korábbi probléma továbbgondolása
[size=85]Egy [url=https://www.geogebra.org/m/cwkf5g8f]korábbi mértani helyes[/url] problémát gondoljuk tovább.[br]Mi a mértani helye az [i]ABCD[/i] négyzet síkjában azon [i]M [/i]pontoknak, melyekre:[br][math]MA^2+MB^2+MC^2=2MD^2[/math][/size]
Koordinátageometria megoldás:
Ezek szerint ...
[size=85]... a keresett mértani hely egy kör, aminek sugara a négyzet oldalának kétszerese, [math]O_1[/math] középpontjára igaz, hogy [math]OO_1=3\cdot OB[/math], ahol [i]O[/i] a négyzet középpontja.[/size]
Ellenőrzés, szemléltetés
[size=85][url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Szilassi tanár úr[/url]tól származik az a sejtés, hogy [i]a mértani hely kör merőleges a négyzet köré írt körre.[/i][br][br]Érdemes lenne itt is elemi geometriai megoldást keresni.(?)[br][br]További általánosítás felé [url=https://www.geogebra.org/m/skuu3mdx#material/mnhuya3n]itt lépünk tovább[/url].[/size]
30. általánosítás
[size=85]Az[i] ABC[/i] háromszög síkjában keressük meg azon [i]M[/i] pontok mértani helyét, amelyekre igaz, hogy [/size][math]MC^2=MA^2+MB^2[/math]![br][size=85](Egy [url=https://www.geogebra.org/m/cwkf5g8f]korábbi probléma[/url] általánosítása.)[/size]
Koordinátageometriai megoldás
[size=85]Ha a [i]C[/i] pont [i]AB[/i] felezőpontjától való távolsága[br]<1, a mértani hely üreshalmaz[br]=1, a mértani hely a [i]C[/i] [i]AB [/i]felezőpontjára vonatkozó tükörképét tartalmazó egyelemű halmaz;[br]>1, a mértani hely kör, aminek középpontja a fent említett pont, sugara a 11. sorban látható.[br][i]Ha a mértani hely kör, akkor merőleges a háromszög köré írt körre. ([url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos[/url])[/i][br][/size]
Ellenőrzés - szemléltetés
Elemi geometriai megoldás ????[br][br][size=85]További általánosítás felé [url=https://www.geogebra.org/m/skuu3mdx#material/ud85vj2z]itt léphetünk tovább[/url].[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/uehp7pma]Kilépés a térbe[/url].[/size]
30. Kilépés a térbe - szabályos tetraéder
[size=85]Az [i]ABCD[/i] szabályos tetraéder. Mi a mértani helye a térben azon [i]M[/i] pontoknak, melyekre[br][math]MA^2+MB^2+MC^2=2\cdot MD^2[/math]?[br]([url=https://www.geogebra.org/m/cwkf5g8f]Innen léptünk ki[/url] a térbe.)[/size]
Koordinátageometriai megoldás
[size=85]A keresett mértani hely egy gömb, ami merőlegesen metszi a tetraéder köré írt gömböt, illeszkedik az [i]A, B, C[/i] pontokra, és a sugara a tetraéder köré írt gömb sugarának háromszorosa.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/w7qy4jvp]Itt a továbblépés[/url].[/size]