Estadística y Probabilidad
Estadística y Probabilidad
Table of Contents
- Distribuciones
- La huella de un idioma
- El escarabajo de oro
- El ahorcado
- Cruzar el río (dos jugadores)
- Cruzar el río (tú contra el ordenador)
- Estimación y cálculo
- Método de Montecarlo
- La hoja de cálculo
- Diagrama de árbol de probabilidades
- Histeria
- Gráficas
- Dos siglos
- Gráficas engañosas
La huella de un idioma
[color=#999999][color=#999999][color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/snekyhyf]Estadística y Probabilidad[/url].[/color][/color][br][br][/color]Aquí vemos una aplicación lingüística de los diagramas estadísticos. Podemos representar la distribución de las frecuencias de las letras en un idioma. [br][list][*]Primero, se muestra la distribución de las letras en la lengua española, basada en una muestra (un texto breve que contiene la construcción). [br][/*][/list][list][*]Después se compara esa distribución con la distribución teórica (basada en grandes cantidades de textos diversos).[/*][/list][list][*]Por último, se muestra la distribución teórica en el euskera. [/*][/list]Como vemos, cada idioma tiene su propia "huella", basada en la distribución de frecuencias en el uso de cada letra.
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]
Método de Montecarlo
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/snekyhyf]Estadística y Probabilidad[/url].[/color][br][br]La Probabilidad y la Estadística son dos ramas de las Matemáticas que se han desarrollado enormemente en los últimos años, con innumerables aplicaciones en prácticamente todos los campos del conocimiento.[br][br]Su gran éxito se debe a que permiten prever el comportamiento de un conjunto numeroso de experimentos o individuos. Si lanzamos una moneda al aire no podemos predecir qué lado saldrá, pero si lanzamos muchas monedas (o, equivalentemente, una única moneda muchas veces) podemos prever cuál será su comportamiento de forma aproximada.[br][br]El método que usaremos se conoce como [i]método de Montecarlo[/i], llamado así en alusión al Casino de Montecarlo (distrito de Mónaco), un centro mundial de los juegos de azar. Porque este método consiste precisamente en hacer un gran número de ensayos "al azar" y simplemente contar cuántos tuvieron éxito.[br][br]Vamos a ver cómo podemos aprovechar la probabilidad para aproximar el resultado de cálculos complicados sin necesidad de hacerlos. Como queremos comprobar que el método que vamos a seguir funciona, buscaremos un resultado que ya conozcamos de antemano, por ejemplo el valor del número [math]\pi[/math](aproximadamente 3.1416). Pero no olvides que podríamos hacer lo mismo con valores [b]que no conociéramos[/b]: ¡aquí está la fuerza de la probabilidad![br][br]Prepararemos el experimento. Observa la siguiente figura. Se trata de una diana circular de radio 1 unidad inscrita en un cuadrado de lado 2 unidades. El área de la diana es [math]\pi[/math] (unidades cuadradas), mientras que el área del cuadrado es de 4 unidades cuadradas. [br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/xekzcnr5/yG4Ny9i8Sf5BHS6T/material-xekzcnr5.png[/img][/td][td]Área del círculo: [math]\pi[/math] R[sup]2[/sup] = [math]\pi[/math] 1[sup]2[/sup] = [math]\pi[/math] [br][br]Área del cuadrado: 2 x 2 = 4[br] [br]Por lo tanto, la fracción de cuadrado ocupada por la diana es [math]\pi[/math]/4. [br][/td][/tr][/table][br]Ahora efectuamos muchos disparos contra el cuadrado, completamente al azar. Todos darán en el cuadrado, pero no todos darán en la diana. Contamos cuántos dan en cada uno. Si lanzamos muchos, la fracción de disparos que darán en la diana ([b]dianas/disparos[/b]) deberá coincidir aproximadamente con la fracción de cuadrado ocupada por la diana, que era la cuarta parte de [math]\pi[/math]. Así que bastará multiplicar por 4 la fracción dianas/disparos para obtener una aproximación de [math]\pi[/math]. [br][br]Cuantos más disparos realicemos, más probabilidad habrá de que nuestra aproximación de [math]\pi[/math] sea mejor.[br][br]En la aplicación, usa el botón "Dispara" para realizar disparos de uno en uno, o escribe el número de disparos (no más de 5.000 en cada ocasión) y pulsa el botón "Ráfaga de" para realizar muchos a la vez.[br][br]Todos los disparos se irán acumulando mientras el ordenador cuenta cuántos han hecho diana (en el modo automático figura el número de dianas en la última ráfaga, mientras que el recuento figuran todas). [br][br]Por último, el ordenador calcula la fracción dianas/disparos y la multiplica por 4 para obtener una estimación de [math]\pi[/math].[br]
1. Realiza varios (más de 20) disparos de uno en uno, pulsando el botón "Dispara" y observa dónde aparecen los impactos. ¿Se distribuyen igualmente separados sobre el cuadrado o de modo desigual?
2. Pulsa el botón "Reinicia". Escribe 5000 (si no está escrito ya) en la casilla de ráfagas y pulsa el botón "Ráfaga de". Realiza la división entre el número de dianas y el número de disparos y multiplica el resultado por 4. ¿Coincide con el valor de estimación de [math]\pi[/math] que figura en la aplicación?
3. Sin pulsar el botón "Reinicia", efectúa varias ráfagas de 5000 disparos cada una, anotando en cada caso el número de dianas en cada ráfaga (es el valor que figura en la parte inferior del cuadro "Modo automático"). [br]Después de varias ráfagas, apunta el valor máximo y el valor mínimo de dianas. ¿Te parece que hay mucha diferencia entre ambos valores, comparada con el número de disparos en cada ráfaga? ¿Por qué no se obtienen nunca menos de 3000 dianas, por ejemplo?
4. Después de varias ráfagas de 1000 disparos cada una, hasta superar los 20.000 disparos como mínimo, ¿el valor de [math]\pi[/math] que muestra la aplicación comienza por 3.1?
5. No olvides que la aplicación solo cuenta disparos, ¡ella no sabe cuánto vale [math]\pi[/math]! ¿Cómo puede entonces aproximarse al valor real de [math]\pi[/math]? Trata de explicarlo con tus palabras.
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]
Dos siglos
[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/snekyhyf]Estadística y Probabilidad[/url].[/color][br][br]El siguiente gráfico dinámico (sirva de homenaje a Hans Rosling) recoge los siguientes cinco datos de 119 países a lo largo de una línea de tiempo de más de dos siglos: [b]Nombre[/b] (en el año 2010), [b]Zona[/b] geográfica, [b]Población[/b], [b]Esperanza de vida[/b] al nacer y la [b]Renta[/b] per cápita (corregida la inflación). La esperanza de vida es un dato que valora la salud de la población, mientras que la renta per cápita valora su bienestar económico.[br][br][center][img]https://www.geogebra.org/resource/m2padp6b/maxCE3VRgqsS5eXa/material-m2padp6b.png[/img][/center]La primera coordenada ([b]eje X[/b]) del centro de cada círculo recoge la Renta per cápita (en miles de dólares), y la segunda coordenada ([b]eje Y[/b]) recoge los años de Esperanza de vida al nacer. El [b]área[/b] del círculo es proporcional al tamaño de la Población.
1. Al iniciarse, el deslizador inferior izquierdo indica España. Puedes usar el ratón o las teclas + y - para elegir otro país. Bajo el deslizador aparece el tamaño de la población española en 1800, en millones de habitantes. [br][br]Pulsa el botón de Reproducir (esquina inferior izquierda) para familiarizarte con el diagrama. Observa la evolución de todas las variables (población, renta y esperanza de vida) en los distintos países, y particularmente en España, a medida que el tiempo avanza entre 1800 y 2009.[br] [br]¿Cuál fue, aproximadamente, la esperanza de vida y la renta per cápita de España en el año 2009?[br]
2. Pulsa el botón Detener (esquina inferior izquierda) para detener la reproducción automática y mueve con el ratón el deslizador del tiempo hasta el año 2000. ¿Cuál era aproximadamente la población de Estados Unidos ese año?
3. Hay 119 nombres de países y 119 zonas geográficas correspondientes, lo que hacen 238 datos. Pero para cada uno de los 119 países y para cada uno de los 210 años (desde 1800 a 2009 inclusive) hay tres datos correspondientes a población, renta y esperanza de vida. En total, ¿cuántos datos maneja este diagrama dinámico?[br]
4. ¿Qué grandes zonas geográficas, con colores diferenciados, distingue el diagrama? Apunta en tu cuaderno el nombre de cada una.[br]
5. ¿A qué zona geográfica pertenece Nepal?[br]
6. ¿Por debajo de que edad se situaba la esperanza de vida en todos los países en 1800? ¿Por encima de que edad se situaba la esperanza de vida en todos los países dos siglos después, en el año 2000?[br]
7. Vete al año 2009. ¿Qué país representa el gran círculo rojo? ¿Y el gran círculo azul claro? ¿Y el mayor amarillo?[br]
8. Con el paso de los años, ¿las diferencias entre las rentas per cápita de los distintos países se han ido agrandando o acortando? [br]
9. Con el paso de los años, ¿las diferencias en la esperanza de vida de los distintos países se han ido agrandando o acortando? [br]
10. Encuentra tres países cuya esperanza de vida en el año 1900 fuera mayor de 50 años.[br]
11. Al comenzar la Segunda Guerra Mundial solo un país supera los 10 mil dólares de renta per cápita. ¿Cuál?[br]
12. En 1981 un país destaca en la renta per cápita. ¿Cuál? ¿A la exportación de qué producto crees que se debe ese crecimiento económico?[br]
13. En el año 1800 todos los países tenían una renta per cápita por debajo de los 3000 $. Encuentra tres países que en el año 2009 todavía no alcancen esa renta.[br]
14. ¿En qué país los habitantes nacidos en el 2009 tienen menor esperanza de vida?[br]
15. Vete al año 1800. Elige en el deslizador inferior izquierdo Corea y en el derecho España. Activa las casillas debajo de esos deslizadores para mostrar solo esos países. Pulsa el botón de Reproducir y describe en tu cuaderno la evolución de ambos países, comparando la de uno con la del otro.
[color=#999999]Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. [br]Esta actividad está presente en el [url=http://geogebra.es/gauss/]Proyecto Gauss[/url][/color]