[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. Una exposición específica de las isometrías, desde el punto de vista geométrico, puede verse en el libro [url=https://www.geogebra.org/m/mnvrwheq]Isometrías[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: Refleja (en una recta)[/color][br][br]Otro tipo de isometría es la [b]reflexión[/b] (o [b]simetría axial[/b]) en una recta que pasa por el origen (0,0). Corresponde al caso en el que el determinante Δ de la matriz de cambio de base M vale -1.[center][math]M_r=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\sen\left(t\right)\end{matrix}\begin{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}sen\left(t\right)\\-cos\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math][/center][color=#999999]Nota: la [b]reflexión desplazada[/b] la veremos más adelante como caso particular de la composición de isometrías.[/color][br][br]Observemos primero algunos caso particulares. Cuando [i]t[/i]=0º obtenemos una reflexión en el eje X:[br][center][math]M_X=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\begin{matrix}\end{matrix}\;\;\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\begin{matrix}\end{matrix}\right)[/math][/center]Cuando [i]t[/i]=180º obtenemos una reflexión en el eje Y:[br][center][math]M_Y=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\;\;\begin{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\begin{matrix}\end{matrix}\right)[/math][/center]En los demás casos, P se refleja en la recta que tiene un ángulo de [b]inclinación de [i]t[/i]/2[/b] respecto a la horizontal (para más detalles, sigue leyendo después del applet de GeoGebra).[br][br]Con la casilla Rastro activada, mueve el punto P para dibujar con él una figura. También puedes activar la casilla Imagen para rotar la letra [color=#0000ff][b]F[/b][/color]. Observa que, en cualquier caso, [b]la reflexión cambia la orientación[/b] de la figura, algo que no sucede ni con la traslación ni con la rotación. Puedes comprobarlo activando la casilla Imagen y dando a [i]t[/i] el valor de 180º.

También podemos expresar la matriz de cambio de una reflexión en función del vector director de la recta que hará de eje de simetría.[br][br]Sea [b]u[/b] = [math]\left(\begin{matrix}u_x\\u_y\end{matrix}\right)[/math]el vector director unitario de ese eje de simetría. Como [b]u[/b] es unitario, sabemos que u[sub]x[/sub] = cos(t/2) y u[sub]y[/sub]= sen(t/2). Usando las fórmulas del ángulo doble, tenemos entonces que:[center][math]cos\left(t\right)=u_x^2-u_y^2[/math] [math]sen\left(t\right)=2u_xu_y[/math][/center]con lo que la matriz de cambio será:[center][math]M_r=\left(\begin{matrix}u_x^2-u_y^2\\2u_xu_y\end{matrix}\begin{matrix}\;\;2u_xu_y\\\;\;u_y^2-u_x^2\end{matrix}\right)[/math][/center]En la construcción, mueve el vector [b]d[/b] (vector director del eje de simetría).

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]