Lugares Geométricos

Javier Cayetano Rodríguez, Nov 12, 2014

Diferentes tipos de lugares geométricos. Para la asignatura Matemáticas 3ºESO. (Currículum de Extremadura, España)

Table of Contents

  1. Cónicas
    1. Secciones cónicas
    2. Método de Afinidad
    3. Cónicas (lugar geométrico 2)
    4. A PLANE INTERSECTING A CONE
    5. Elementos de las Cónicas
    6. Centros de los triángulos equiláteros inscritos en una cónica
  2. Teselados
    1. Teselados Regulares
    2. Teselados Semirregulares
    3. Convex Hexagon Tessellations
    4. L-tiling (embaldosado en L)
    5. A Tessellation
    6. pavage demi-cercle
    7. Composición Monika Buch
    8. Estructura de Weaire-Phelan para rellenar el espacio
    9. Teselaciones de Penrose
    10. Mosaico de circunferencias
  3. Construcción de Frisos y Mosaicos
    1. Método de compensación de áreas
    2. Método de la malla invisible (cuadriláteros)
    3. Frieze Activity
    4. Transformations in a Penrose Tiling
    5. Reto 4 - Solución 1
  4. Teselados y Arte
    1. Escherized Tessellation
    2. Escher's Lizard Tessellation
    3. Mosaic art
    4. 15ª Teselación del plano con pentágonos irregulares convexos (Casey Mann, Jennifer McLoud, y David Von Derau)
    5. Hexágonos y curvas
    6. Curvas, rectas y hexágonos
    7. Teselación del espacio con el Octaedro Truncado
    8. Teselación basada en el Teorema de Napoleón
    9. Miura Folding (plegado de Miura)
    10. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
    11. ¿Cubos o rombos? Ilusión óptica
    12. Estrella isométrica
    13. Mosaico romano de Medusa. Huerta de Otero (Mérida)
  5. Fractales
    1. Triángulo de Sierpinski
    2. Curva de Koch
    3. Pirámide de Sierpinski (3D)
    4. fractal fern
    5. Mandelbrot Visualization
    6. Infinitely many stars
    7. Esponja fractal de Menger. Generación por traslaciones
    8. Triángulo de Selmi. Triángulo fractal imposible
  6. Otras Construcciones
    1. Cicloide y Trocoide
    2. Hipocicloides, epicicloides y trocoides
    3. Trazado de curvas tangentes
    4. Polígonos imposibles
    5. Triángulo de Reutersvärd
    6. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
    7. Espirales, iris y girasoles
    8. cube d'Escher ou de Penrose.
    9. escalier
    10. Art and Geometry 1
    11. Harriss Spiral - Example
    12. Pentominós 5x12
    13. Mosaic Tesellation
    14. Geometric Mosaic

1.

Cónicas

  • 1. Secciones cónicas
  • 2. Método de Afinidad
  • 3. Cónicas (lugar geométrico 2)
  • 4. A PLANE INTERSECTING A CONE
  • 5. Elementos de las Cónicas
  • 6. Centros de los triángulos equiláteros inscritos en una cónica

1.1.

Secciones cónicas

Estudio de secciones cónicas a partir de su definición como intersección de un plano con un cono.
Secciones cónicas
– Horacio Oteiza

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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2.

Teselados

(de la página [url]https://sites.google.com/site/isometria123/teselaciones[/url]) Un teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: que no queden huecos que no se superpongan las figuras Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Es un error común referirse al teselado como "teselación" lo cual es una traducción equivocada de la palabra en Inglés"tesellation". El único término correcto en español es "teselado". [b] Teselados Regulares[/b] Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres. [b]Teselados Semiregulares [/b] Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semiregular tiene las siguientes propiedades: Está formada sólo por polígonos regulares. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. Existen sólo 8 teselados semi-regulares [b]Teselados No Regulares[/b] Son aquellos formados por polígonos no regulares

  • 1. Teselados Regulares
  • 2. Teselados Semirregulares
  • 3. Convex Hexagon Tessellations
  • 4. L-tiling (embaldosado en L)
  • 5. A Tessellation
  • 6. pavage demi-cercle
  • 7. Composición Monika Buch
  • 8. Estructura de Weaire-Phelan para rellenar el espacio
  • 9. Teselaciones de Penrose
  • 10. Mosaico de circunferencias

2.1.

Teselados Regulares

Construye los tres posibles teselados regulares que existen:[br]Triangular[br]Cuadrado[br]Hexagonal
Teselados Regulares
– Javier Cayetano Rodríguez

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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3.

Construcción de Frisos y Mosaicos

(Tomado de wikipedia) En matemáticas, un friso es el cubrimiento de la región del espacio de longitud infinita pero de anchura finita, limitada por dos rectas paralelas,1 obtenido a partir de la aplicación de movimientos en el plano a una determinada figura o agrupación de figuras. La combinación de los movimientos de traslación, reflexión, y rotación permiten obtener siete subgrupos de frisos diferentes: Frisos de las traslaciones; Friso de las traslaciones y la simetría horizontal; Friso de las traslaciones y la simetría vertical; Friso de las traslaciones y del deslizamiento; Friso de las traslaciones y del giro de 180º; Friso de las traslaciones, el giro de 180º y las simetrías horizontales; Friso de las traslaciones, la simetría vertical y el deslizamiento; Cuando el motivo o figura es una figura plana que se repite sin solaparse ni dejar huecos, el friso se denomina mosaico. La simetría y efecto visual de los frisos han inspirado profusamente a arquitectos y artistas desde la antigüedad. En la página [url]http://www.tessellations.org/tess-what.shtml[/url], hay mucha información y ejemplos de teselaciones.

  • 1. Método de compensación de áreas
  • 2. Método de la malla invisible (cuadriláteros)
  • 3. Frieze Activity
  • 4. Transformations in a Penrose Tiling
  • 5. Reto 4 - Solución 1

3.1.

Método de compensación de áreas

Mueve los puntos azules para modificar la figura. Se creará el teselado usando el método de compensación de áreas.[br]Los puntos rojos sólo pueden moverse en una dirección.
Teselados con deslizamiento
[list][*]De la misma forma que hemos trazado líneas rectas para crear el teselado con compensación de áreas, no habría problema en usar líneas curvas.[/*][*]Además, con algunos cambios, podemos aplicar esta técnica a "teselados con deslizamiento". En estos teselados, se aplica un desplazamiento de la figura base en una dirección. En nuestro caso, trasladamos de forma vertical u horizontal los rectángulos.[/*][/list][b][br]Ejercicio[/b]: ¿qué modificación hay que hacer en los recortes para que, a pesar de esta traslación, la figura siga encajando? Explícalo usando tu vocabulario matemático (distancias, vértices, rectas, paralelas, perpendiculares...).[br][br]Como ayuda, aquí tenemos un ejemplo de este tipo de teselado. [br][list][*]El punto marcado con la "[color=#ff0000]flecha[/color]" nos permite controlar el deslizamiento de los rectángulos que, en este caso, será vertical.[/*][*]Moviendo el punto [b][color=#351c75]lila[/color][/b] podemos desplazar la copia de la figura por el teselado.[/*][/list][br][b]El reto[/b]: utiliza el applet para crear una figura curva que permita hacer este tipo de teselación con deslizamiento y luego haz una réplica en papel. Haremos una presentación de nuestras construcciones en clase.[br][b]Consejo[/b]: recorta un patrón con la figura y luego utilízalo para ir marcando el borde de las diferentes traslaciones.[br][b]Truco[/b]: muchas figuras quedan muy bonitas al "girarlas" (por ejemplo, 45º), de manera que los desplazamientos para crear el teselado no sean horizontal o vertical, sino inclinados. ¡Haz la prueba para hacer la presentación en clase!
Decorador de exteriores
¿Qué tal quedaría un graffiti que crease un teselado en esta pared, que está teselada con estos desplazamientos? [br][br]Para terminar la obra, el ayuntamiento nos ha encargado mejorar el aspecto de este paso elevado, haciendo un dibujo encima. Nosotros hemos pensado en hacer uno matemático, en este caso, una teselación con el método de compensación de áreas.[br]¿Te atreves a hacer una propuesta teselación "a mano alzada" sobre la imagen? (hay que imprimirla o calcarla primero)
– Javier Cayetano Rodríguez

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

Teselados y Arte

Los conocimientos geométricos y técnicos de los artistas islámicos han sido fuente de inspiración para innumerables artistas. El ejemplo más famoso lotenemos en el dibujante y pintor holandés M. C. Escher. Escher quedó impresionado al observar los mosaicos que adornan las construcciones civiles musulmanas, sin embargo, en su obra transforma las formas geométricas abstractas en motivos concretos y reconocibles por todos. Si te interesan estos teselados, puedes echar un vistazo a la página http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Escher/escher.htm para ampliar la información.

  • 1. Escherized Tessellation
  • 2. Escher's Lizard Tessellation
  • 3. Mosaic art
  • 4. 15ª Teselación del plano con pentágonos irregulares convexos (Casey Mann, Jennifer McLoud, y David Von Derau)
  • 5. Hexágonos y curvas
  • 6. Curvas, rectas y hexágonos
  • 7. Teselación del espacio con el Octaedro Truncado
  • 8. Teselación basada en el Teorema de Napoleón
  • 9. Miura Folding (plegado de Miura)
  • 10. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
  • 11. ¿Cubos o rombos? Ilusión óptica
  • 12. Estrella isométrica
  • 13. Mosaico romano de Medusa. Huerta de Otero (Mérida)

4.1.

Escherized Tessellation

What can you tell about this tessellation?[br]What motions move one tile onto its neighbor?[br]What is the underlying shape before it was modified? How do you know?
Escherized Tessellation
More GeoGebra at [url]mathhombre.blogspot.com[/url].[br]Base tessellation at [url]http://www.geogebratube.org/material/show/id/28859[/url]
– John Golden

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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4.12.

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4.13.

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5.

Fractales

Algunos ejemplos de construcciones geométricas fractales. Se incluyen diversas construcciones dinámicas realizadas con Geogebra. Para ampliar la información sobre fractales, ver más tipos, etc. se puede visitar la página de Andrew Hoyer ([b][url]http://andrew-hoyer.com/experiments/fractals/[/url][/b]), que te permite ver cómo se construyen los fractales, o también [b][url]http://www.dmae.upm.es/cursofractales/index.htm[/url], [/b] que es un amplio curso sobre fractales, realizado por Bartolo Luque y Aiga Agea. También puedes ver más construcciones fractales hechas con Geogebra (fractales lineales) en la página [b][url]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/fractales.htm[/url][/b]

  • 1. Triángulo de Sierpinski
  • 2. Curva de Koch
  • 3. Pirámide de Sierpinski (3D)
  • 4. fractal fern
  • 5. Mandelbrot Visualization
  • 6. Infinitely many stars
  • 7. Esponja fractal de Menger. Generación por traslaciones
  • 8. Triángulo de Selmi. Triángulo fractal imposible

5.1.

Triángulo de Sierpinski

Se muestra cómo se construye el triángulo de Sierpinski.[br]Esta construcción se basa en la autosemejanza, resultando una figura fractal.[br]En este caso, partimos de un triángulo, y en casa paso, se copia la figura anterior, pero desplazándola hacia los lados.
Triángulo de Sierpinski
¿Cuántos triángulos son necesarios en cada iteración?[br]En la primera tenemos 1 triángulo.[br]En la segunda, el anterior, más otros dos. En total 3.[br]En la tercera, los tres anteriores, más dos veces esos mismos tres. En total 3x3=9.[br]En la cuarta, de manera similar se tienen 9x3=27,...[br]Resulta una progresión geométrica de razón 3.
– Javier Cayetano Rodríguez

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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6.

Otras Construcciones

Aquí tienes otros tipos de construcciones geométricas. ¡Algunas imposibles de llevar a la realidad! También podemos definir lugares geométricos mediante tangentes, o el movimiento de un punto que se encuentra sobre un objeto que se desplaza (cicloide y trocoide), etc. Como curiosidad, recomiendo echar un vistazo a la página de Andrew Hoyer ([url]http://andrew-hoyer.com/[/url])

  • 1. Cicloide y Trocoide
  • 2. Hipocicloides, epicicloides y trocoides
  • 3. Trazado de curvas tangentes
  • 4. Polígonos imposibles
  • 5. Triángulo de Reutersvärd
  • 6. Puzles de Triángulos y Cuadriláteros
  • 7. Espirales, iris y girasoles
  • 8. cube d'Escher ou de Penrose.
  • 9. escalier
  • 10. Art and Geometry 1
  • 11. Harriss Spiral - Example
  • 12. Pentominós 5x12
  • 13. Mosaic Tesellation
  • 14. Geometric Mosaic

6.1.

Cicloide y Trocoide

Se muestran las curvas obtenidas al hacer girar sin deslizamiento una circunferencia sobre un segmento.[br]Dependiendo del radio de la circunferencia y el punto que gira, se obtienen diversas curvas.
Cicloide y Trocoide
– Javier Cayetano Rodríguez

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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6.8.

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6.9.

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6.10.

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6.11.

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6.12.

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6.13.

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6.14.

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