Κωνικές Τομές (Conic Sections)
Ένα σύνολο δραστηριοτήτων που αφορούν στους ορισμούς και σε ορισμένες ιδιότητες των κωνικών τομών.
Table of Contents
- Κωνικές τομές στο χώρο
- Κωνικές τομές στο χώρο
- Κύκλος
- Σχετικές θέσεις σημείου ως προς έναν κύκλο
- Εξίσωση κύκλου
- Παραβολή
- 1η κατασκευή σημείων της παραβολής
- 2η κατασκευή σημείων της παραβολής
- Κατασκευή εφαπτομένης παραβολής
- Ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής
- Κάθετες χορδές παραβολής
- Έλλειψη
- Ορισμός έλλειψης
- 1η κατασκευή σημείων της έλλειψης
- 2η κατασκευή σημείων της έλλειψης
- Εκκεντρότητα έλλειψης
- Κατασκευή εφαπτομένης έλλειψης
- Ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης
- Υπερβολή
- Κατασκευή σημείων της υπερβολής
- Ορισμός Υπερβολής
- Τα 3 διάσημα προβλήματα της αρχαιότητας
- Τετραγωνισμός του κύκλου
- Τριχοτόμηση Γωνίας - Μέθοδος Αρχιμήδη
- Διπλασιασμός κύβου
Κωνικές τομές στο χώρο
Οδηγίες
[br][br]Μία κωνική τομή, είναι [b]η τομή ενός επιπέδου και ενός[br]κώνου[/b]. Οι 4 κωνικές τομές είναι τμήματα [b]κύκλου, έλλειψης, παραβολής ή[br]υπερβολής[/b] και μπορούν να παραχθούν αλλάζοντας την κλίση του επιπέδου[br](δηλαδή, τη γωνία μεταξύ των αξόνων του κώνου και του τέμνοντος επιπέδου).[br][br]Στην παρακάτω εφαρμογή θεωρούμε έναν (άπειρο) κώνο με γωνία.[br][br][list][*]Πειραματιστείτε με το κινούμενο σχέδιο.[/*][*]Με δεξί κλικ σταθερό στρέφετε τον κώνο στον χώρο. [/*][/list][br]Παρατηρήστε τις διαφορετικές καμπύλες από τις τομές των επιπέδων με τον κώνο :[br]του κύκλου, της παραβολής, της έλλειψης και της υπερβολής.[br][br]Σταματήστε την κίνηση και εξερευνήστε πρόσθετες ειδικές[br]περιπτώσεις αλλάζοντας τη γωνία του επιπέδου (σύρετε το πορτοκαλί σημείο) και[br]τη θέση του επιπέδου (σύρετε το καφέ σημείο).
Κατασκευή κωνικών τομών
[url=https://www.geogebra.org/u/irinaboyadzhiev]Irina Boyadzhiev[/url]
[url=https://www.geogebra.org/m/D55ER2yN]Περισσότερα έργα σαν [/url][url=https://www.geogebra.org/m/D55ER2yN]αυτό[/url]
Σχετικές θέσεις σημείου ως προς έναν κύκλο
Οδηγίες
Στην επόμενη δραστηριότητα, ο στόχος είναι να διερευνήσουμε αλγεβρικά, τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένα σημείο Μ:[br][list][*]να ανήκει σε έναν κύκλο C.[/*][*]να είναι εξωτερικό του κύκλου C.[/*][*]να είναι εσωτερικό του κύκλου C.[/*][/list][br]Και στις 3 περιπτώσεις, απαραίτητη πλαισίωση αποτελούν οι ικανές και αναγκαίες [b]γεωμετρικές[/b] συνθήκες που είναι γνωστές από την [b]Ευκλείδεια Γεωμετρία[/b].
Πειραματισμός - διερεύνηση
[color=#1e84cc][b]1η δραστηριότητα[/b][/color][br][br]Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Μ επί του κύκλου C ή όχι (χρησιμοποιήστε τα κόκκινα κουμπιά) και για διάφορες ακτίνες R.[br][br][list=1][*]Πότε ένα σημείο Μ [b]ανήκει [/b]στον κύκλο C;[/*][*]Πότε ένα σημείο είναι [b]εξωτερικό [/b]του κύκλου C;[/*][*]Πότε ένα σημείο είναι [b]εσωτερικό [/b]του κύκλου C;[/*][/list][color=#1e84cc][b][br]2η δραστηριότητα[/b][/color][br][br]Πειραματιστείτε για διάφορες σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ. Σε κάθε περίπτωση, το ζητούμενο είναι η [b]γεωμετρική αναπαράσταση[/b] των σχέσεων [math]x^2+y^2>\left(<,=\right)R^2[/math]
1η κατασκευή σημείων της παραβολής
Ως γνωστό παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει: [br][b][i]η απόστασή τους από ένα σταθερό σημείο Ε (εστία) είναι ίση με την απόστασή τους από μια σταθερή ευθεία δ (διευθετούσα).[br][br][/i][/b]Μετακινήστε το σημείο Ε για αλλαγές στη μορφή της καμπύλης.
Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, σημείων της παραβολής
Ορισμός έλλειψης
Κατασκευή σημείων της υπερβολής
Οδηγίες
Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις των σημείων Α,Β και Ε, Ε΄. [br][br][list=1][*]Τι εκφράζει η εκκεντρότητα ε;[/*][*]Για ποιες τιμές του ε το σχήμα είναι [b]υπερβολή [/b]και για ποιες [b]έλλειψη[/b];[/*][*]Τι φαίνεται να ισχύει για το σχήμα όταν ε=1; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. [/*][/list]
Τετραγωνισμός του κύκλου
Εισαγωγή
[i]Τετραγωνισμός ενός κύκλου σημαίνει ότι η κατασκευή, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου. Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη και, να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.[/i][br][br]Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς. Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την [b][i]υπερβατικότητα του αριθμού π[/i][/b]: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό γιατί ο αριθμός π είναι υπερβατικός (δηλ. δεν μπορεί να είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές), οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.[br]