Εκτός από τα προβλήματα που επιλύονται στο πλαίσιο της Ελληνικής γεωμετρικής παράδοσης του Ευκλείδη, εμφανίστηκαν και τα γνωστά ως άλυτα (ή πιο σωστά ως μη επιλύσιμα) προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών της αρχαιότητας:
Τετραγωνισμός του κύκλου
Διπλασιασμός του κύβου
Τριχοτόμηση μιας οξείας γωνίας
Κατασκευή κανονικών πολυγώνων
Στην αρχαιότητα, σημαντική συμβολή στην επίλυση των άλυτων προβλημάτων είχαν οι μεγάλοι Έλληνες γεωμέτρες όπως, για παράδειγμα, ο Ιππίας ο Ηλείος, ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος, ο Νικομήδης, ο Ιπποκράτης ο Χίος. Ευτυχώς, τις πρώτες λύσεις αυτών των προβλημάτων διέσωσαν τόσο ο Πάππος στη Μαθηματική Συναγωγή του και ο Ευτόκιος στα σχόλια του στο «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» του Αρχιμήδη.
Κύριο χαρακτηριστικό αυτών των προβλημάτων ήταν η αδυναμία εκτέλεσης των κατασκευών τους με τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη. Όμως, αυτή η αποτυχία των αρχαίων Ελλήνων είχε ως αποτέλεσμα την επινόηση νέων εργαλείων, τεχνικών και μεθόδων που οδήγησαν τον εμπλουτισμό της «Ευκλείδειας Γεωμετρίας».
Έτσι, επινοήθηκαν νέες καμπύλες όπως, για παράδειγμα, η τριχοτομούσα ή τετραγωνίζουσα του Ιππία, η κογχοειδής καμπύλη του Νικομήδη και η έλικα (ή σπείρα) του Αρχιμήδη.
Επιπλέον, μαζί με αυτά τα προβλήματα που αδυνατεί να αντιμετωπίσει η Ευκλείδεια παράδοση, άρχισε να εφαρμόζεται με ιδιαίτερη επιτυχία και η μέθοδος της νεύσης. Όμως, το πιο σημαντικό είναι ότι δόθηκε περαιτέρω ώθηση στη μελέτη των κωνικών τομών (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή).
Με σκοπό να γνωρίσουμε ορισμένες από τις μεθόδους και τις καμπύλες που επινόησαν οι αρχαίοι Έλληνες για την επίλυση του προβλήματος της τριχοτόμησης μιας οξείας γωνίας επιλέξαμε κατασκευαστικές προσεγγίσεις που προτάθηκαν από δύο Γεωμέτρες: τον Αρχιμήδη και το Νικομήδη.
