[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. [/color][br][br]Recuerda que a las funciones del tipo [color=#B45F06]f(x)=m x[/color] se les conoce por [b]funciones lineales [/b](representadas por rectas que pasan por el origen), mientras que a las funciones del tipo [color=#B45F06]f(x)= m x + n[/color] se les llama [b]funciones afines [/b](representadas por rectas cualesquiera).[br][br]Del mismo modo, a las transformaciones del plano del tipo [color=#B45F06]P' = M P[/color] se les conoce como [b]transformaciones lineales[/b] (el sistema conserva el origen), mientras que las transformaciones del tipo [color=#B45F06]P' = M P + O [/color]se les conoce como [b]transformaciones afines[/b] (a la transformación lineal se le añade una traslación del origen).[br][br]Resumiendo, hemos visto que realizar un cambio de base equivale a aplicar a cada punto P del plano una transformación lineal invertible P' = M P, mientras que realizar un cambio de sistema de referencia equivale a aplicar una [color=#cc0000]transformación afín invertible [/color]P' = M P + O (como ya hemos visto, son invertibles, o [i]no singulares[/i], porque [b]a[/b] y [b]b[/b] son independientes).[br][br]Si en la construcción anterior añadimos los puntos A y B, de modo que los vectores [b]a[/b] y [b]b[/b] pasen a ser, respectivamente, los vectores OA y OB, entonces el nuevo sistema de referencia queda totalmente determinado por las posiciones de O, A y B. Es decir, por la imagen de los puntos (0,0), (1,0) y (0,1) en la transformación afín.[br][br]Si ahora consideramos los puntos O, A y B como los vértices de un triángulo (O, A y B no pueden estar alineados pues [b]a[/b] y [b]b[/b] son vectores independientes), concluimos que el triángulo OAB determina la transformación. Observa que la imagen del cuadrado unidad (con dos lados en [b]i[/b], [b]j[/b]) siempre es un paralelogramo (con dos lados en [b]a[/b], [b]b[/b]).[br][br]El cambio de sistema de referencia determina, de este modo, además del nuevo origen, la forma de la "cuadrícula". Por ejemplo, cuando [b]a[/b] y [b]b[/b] tengan igual módulo y formen un ángulo de 60º, la cuadrícula se volverá isométrica (el cuadrado unidad se transformará en un [i]diamante[/i], un rombo descomponible en dos triángulos equiláteros).[br][br]En cualquier caso, [b]a[/b] y [b]b[/b] determinan un paralelogramo cuya [color=#cc0000]área [/color]viene dada por el módulo del producto vectorial de [b]a[/b] y [b]b[/b], que a su vez es el valor absoluto del determinante de M. Este valor es el factor en que se agrandará (si es mayor que 1), conservará (si es igual a 1) o reducirá (si es menor que 1) el área de cualquier figura plana sometida al cambio de sistema de referencia.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]