Cônicas
Esse material foi desenvolvido com o objetivo de ser trabalhar as cônicas com alunos do ensino médio, no formato híbrido ou à distância. Trata-se de uma sequência de atividades com orientações aos alunos para que compreendam a origem das secções cônicas a partir do cone de revolução. Cada uma das cônicas são abordadas em um capítulo, partindo de uma construção a partir da função rastro de um ponto e seguida de atividade que esclarece cada uma das constantes da equação correspondente. Esse material faz parte do acervo do projeto MatemáTDIC - Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação no Ensino de Matemática, sob coordenação da Profa. Ma. Viviane Moretto da Silva Fuly.
Inhaltsverzeichnis
- Secções Cônicas
- Cone de Revolução
- Elipse
- Elipse - Construção e Elementos principais
- Elipse - Equações
- Parábola
- Parábola - Construção
- Equação da Parábola
- Hipérbole
- Hipérbole - Construção
Cone de Revolução
Construção de um cone de revolução
É obtido a partir da revolução de uma reta, fixada num ponto A, em torno do eixo Oy.[br]No applet abaixo, o ângulo [math]\alpha[/math] se refere à revolução do segmento de reta em torno do eixo.[br]Mova o botão e observe como o cone se constrói.
Cone de revolução
As cônicas
As cônicas são obtidas a partir das interseções de um cone de revolução com um plano. No applet acima, o plano (em azul) pode ser alterado em relação à sua inclinação (dada pelo ângulo [math]\theta[/math]) e sua "altura" h.[br]Movimente esses botões (no applet acima) e observe o que acontece.
As interseções
Esse próximo applet destaca a interseção entre o cone de revolução e o plano. [br]Mova a inclinação [math]\beta[/math] desse plano e observe a projeção dessa interseção em azul à esquerda.[br]
Assista à vídeo-aula sobre cônicas baseada nesse material no canal do MatemáTDIC.
Elipse - Construção e Elementos principais
Mova o ponto P e observe o que acontece:
1 - Após observado que os pontos F1 e F2 são fixos (não se movem), o que acontece com a soma das distâncias PF1 e PF2?
Definição da Elipse
Elipse é o conjunto de pontos P cuja soma das distâncias de P aos focos F1 e F2 é constante.
Elementos da Elipse
2 - Selecione as caixas Centro e Focos, veja as informações sobre os focos e marque as afirmações verdadeiras:
3 - Limpe as caixas de seleção e marque somente a caixa "Eixo Maior". Observe as informações e selecione as afirmações verdadeiras:
4 - Limpe as caixas de seleção e marque somente a caixa "Eixo Menor". Observe as informações e selecione as afirmações verdadeiras:
5 - Limpe as caixas de seleção e marque somente as caixas "Centro", "Focos" e "Ponto P". Observe as informações, mova o ponto P e observe a informação "Soma" e responda:
6 - Limpe todas as caixas de seleção e marque apenas a caixa "Excentricidade". Observe seu valor e selecione a afirmação correta:
Assista à vídeo-aula sobre construção da Elipse baseada nesse material no canal do MatemáTDIC.
Parábola - Construção
Construção da Parábola
Vamos considerar um ponto F e uma reta d, fixos no plano cartesiano.[br]Chamaremos esse ponto F de Foco e essa reta d de reta diretriz.
Questão 1
Mova o ponto B sobre a reta diretriz e observe o que acontece.[br]Você reconhece essa construção em vermelho?
Questão 2
Movendo o ponto B, que é sempre pertencente à reta diretriz d, o que pode ser observado comparando os segmentos PB e PF?
Questão 3
Tente escrever a condição para a marcação dos pontos P na construção acima, observando qual a condição sempre fixa nessa construção.
Assista à vídeo-aula sobre a Construção da Parábola baseada nesse material no canal do MatemáTDIC.
Hipérbole - Construção
Construção da Hipérbole
Mova os pontos P1 e P2 no applet abaixo. Observe os pontos F1 e F2 e a mudança entre as distâncias entre esses pontos (focos) até os pontos P1 e P2 durante as movimentações.
Mova os pontos P1 e P2
Questão 01 - Sobre as distâncias de P1 aos focos.
Movimente agora somente o ponto P1, pare e anote a distância desse ponto ao foco F1 (mostrado pela linha tracejada F1P1). Anote também a distância do ponto P1 ao foco F2. Agora subtraia esses dois valores.[br]Compare com a operação entre módulos dada à esquerda do applet, o que você observa?[br]Faça o mesmo para o P1 em duas ou três posições diferentes e compare seus resultados.
Questão 02 - Sobre as distâncias de P2 aos focos
Movimente agora somente o ponto P2, pare e anote a distância desse ponto ao foco F1 (mostrado pela linha tracejada F1P2). Anote também a distância do ponto P2 ao foco F2. Agora subtraia esses dois valores.[br]Compare com a operação entre módulos dada à esquerda do applet, o que você observa?[br]Faça o mesmo para o P2 em duas ou três posições diferentes e compare seus resultados.
Definição da Hipérbole
Dados dois pontos fixos F1 e F2, ditos focos, chamamos de hipérbole o conjunto de pontos P tais que a diferença entre P e os focos F1 e F2 seja fixo. (igual a 2a)[br]No caso do exemplo da construção, todo ponto P marcado pelo rastro tem essa propriedade, a diferença entre as distâncias de P ao foco F1 e de P ao foco F2 é sempre igual a 5 (em módulo).[br]Esse valor 5 é exatamente a distância entre os vértices da hipérbole A1 e A2.