[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]En la anterior actividad hemos visto cómo a partir de una curva plana F(x, y)=0, después de someterla a un cambio de sistema de referencia, es decir, a una transformación afín invertible, podemos obtener la ecuación de otra curva plana G(x, y)=0. [br][br]Por ejemplo, cualquier elipse puede ser obtenida a partir de cualquier otra elipse; para ello basta ajustar la escala de los semiejes y girarlos adecuadamente.[br][br]Todas las curvas planas que puedan obtenerse de cualquiera de ellas mediante alguna transformación afín están, de este modo, relacionadas. Esta relación es una [i]relación de equivalencia[/i], es decir, se cumplen las propiedades:[br][list][*]Reflexiva: toda curva se puede transformar en sí misma (mediante la matriz identidad).[/*][*]Simétrica: si F se puede transformar en G, entonces G se puede transformar en F (mediante la matriz inversa).[/*][*]Transitiva: Si F se puede transformar en G y G se puede transformar en H, entonces F se puede transformar en H (mediante el producto de matrices).[br][/*][/list]Por lo tanto, las curvas planas que se pueden transformar unas en otra forman una [i]clase de equivalencia[/i] y decimos que son [i]afínmente equivalentes.[/i][br][br][color=#999999]Nota: Una clase de equivalencia es un modo de agrupar una colección de objetos conectados por una relación, llamada [i]relación de equivalencia[/i]. Por ejemplo, todas las fracciones {2/5, 4/10, 6/15,...} tienen el mismo valor 0.4, por lo que decimos que son [i]equivalentes[/i]. [/color][color=#999999]De todas ellas, la primera ([i]fracción irreducible[/i]) es más sencilla que el resto, pues en su expresión intervienen los números más pequeños. Como todas ellas son [i]equivalentes[/i] (en cuanto a su valor), podemos tomarla como [color=#cc0000]representante [/color]de toda la clase.[/color][br][br]Entonces, tiene sentido hablar de una curva de expresión lo más simple posible de entre todas las curvas afinmente equivalentes, que represente a toda la clase. A esta curva le llamaremos [color=#cc0000]curva canónica[/color].[br][br]Por ejemplo, es evidente que todas las rectas a[sub]1[/sub] x + a[sub]2[/sub] y + a[sub]0[/sub] = 0 proceden de un cambio de sistema de referencia de la recta canónica y = 0, pues a partir de esta última, mediante giro y traslación, podemos obtener cualquier otra. [br][br]Ahora bien, dada una curva cualquiera F(x, y)=0, ¿cómo es la familia de curvas que podemos obtener cambiando el sistema de referencia? Por ejemplo, ¿puede la curva cúbica x[sup]3[/sup] - x - y[sup]2[/sup]= 0 transformarse en cualquier otra curva cúbica?[br][br]En la siguiente construcción puedes comprobar que, por mucho que varíes el sistema de referencia {O, [b]a[/b], [b]b[/b]}, no obtendrás la curva x[sup]3[/sup] - y[sup]2[/sup]= 0 (en color verde) a partir de x[sup]3[/sup] - x - y[sup]2[/sup] = 0 (o viceversa). Es decir, estas dos curvas no son afinmente equivalentes, no pertenecen a la misma [i]clase[/i].

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]