Charakteristische Punkte ganzrationaler Funktionen
Schritt für Schritt wird vom Verständnis der Zusammenhänge von Funktionen und ihren Ableitungen zu den notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Bestimmung der charakteristischen Punkte übergeleitet. Hierbei liegt der Schwerpunkt zunächst auf der Bestimmung von lokalen Extrema, welche zuerst anhand eine realistischen Optimierungsproblems vorgenommen wird.
Table of Contents
- Zusammenhänge Funktionsgraph und Ableitungsgraph
- Ableitungsfunktion punktweise herleiten
- Tangentensteigung, Funktion und Ableitungsfunktion
- Die Suche nach der optimalen Schachtel
- Schachtel aus einem DinA4-Blatt
- Funktion zur interaktiven Schachtel
- Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema
- Erkundung lokaler Extremstellen
- Bedingungen für Extrem- und Wendestellen
- Die Bedeutung der zweiten Ableitung
- Besondere Intervalle des Funktionsgraphen
- Extrem- und Wendestellen bestimmen
- Besucherzahlen im Zoo - Bestimmung charakteristischer Punkte
Ableitungsfunktion punktweise herleiten
Hier könnt ihr Vermutungen anstellen, was für eine Funktion sich ergibt, wenn man jedem x-Wert die Tangentensteigung an dieser Stelle zuordnet.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Dreht die kurzen Geradenabschnitte an den grünen Punkten solange, bis sie Tangenten an die roten Punkte auf dem Funktionsgraphen darstellen.[br]Die wandernden roten Punkte halten den Wert der Steigung der Geradenabschnitte als y-Wert fest.[br]Was fällt euch auf? Stellt Vermutungen an, wie die Vorschrift einer "Ableitungsfunktion" zur gegebenen blauen Funktion aussehen könnte![br]Könnt ihr eure Hypothese mithilfe der Grafik begründen?
Schachtel aus einem DinA4-Blatt
Wie kann man eine möglichst große, nach oben offene quaderförmige Schachtel aus einem DinA4-Blatt durch Ausschneiden quadratischer Ecken herstellen?[br][list][br][*]Variiere die Werte für x und gib an, für welche Werte von x das Schachtelvolumen V maximal wird. Gib dieses maximale Volumen an.[br][*]Erläutere, welche Beobachtungen dich zu deiner Lösung geführt haben.[br][*]Begründe, ob und ggf. warum du dir sicher sein kannst, das maximale Volumen gefunden zu haben.[br][*]Diskutiere mit deinen Arbeitspartnern, ob es andere (bessere?) Wege gibt, das x zu finden, bei dem das Volumen der Schachtel maximal wird.[br][/list]
Erkundung lokaler Extremstellen
Bewege den Punkt P und beobachte die Lage der Tangente in den (lokalen) Hoch- und Tiefpunkten des Graphen.[br]Untersuche, wie die ersten beiden Ableitungen dabei helfen können, diese Punkte mit Gewissheit zu finden - auch rechnerisch.
Besondere Intervalle des Funktionsgraphen
[b]Aufgabe[/b][br]Untersucht durch Verschiebung des Punktes A die "wichtigen" Intervalle des Graphen von f.[br]Bestimmt durch Ablesen die Monotonie-Intervalle und gebt die Grenzen dieser Intervalle an.[br]Um was für Punkte handelt es sich? [br]Wie könnt ihr diese Intervalle anhand des Graphen der ersten Ableitung bestimmen?[br]Was für Intervalle ergeben sich, wenn man f zwischen den Nullstellen der zweiten Ableitung untersucht?[br]Was bedeutet die zweite Ableitung geometrisch?[br]Könnt ihr eure Vermutungen beweisen? - Benutzt die Hilfsmittel, die euch das Applet zur Verfügung stellt.[br]Ändert den Funktionsterm und untersucht verschiedene Funktionen!
Besucherzahlen im Zoo - Bestimmung charakteristischer Punkte
Der folgende Graph zeigt die Besucherzahl im Kölner Zoo in der Öffnungszeit von 10 Uhr (t=0) bis 20 Uhr (t=10).[br]Beantwortet mithilfe des Graphen folgende Fragen:[br]- Wann befinden sich am meisten Besucher im Zoo?[br]- Wie viele Besucher sind es zu diesem Zeitpunkt?[br]- Zu welchem Zeitpunkt ist der Andrang an den Kassen am größten?[br][br]--> Welche geometrischen Zusammenhänge haben euch geholfen, die Fragen zu beantworten?[br][br][b]Aufgabe:[/b][br]Die Funktionsgleichung, die sich hinter dem Graphen verbirgt ist:[br]f(t)=t^5-20t^4+100t³.[br]Beweist eure Ergebnisse aus der geometrischen Anschauung auch rechnerisch.[br]Schreibt genau auf, welche Rechenschritte im Einzelnen hierzu notwendig sind.