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Charakteristische Punkte ganzrationaler Funktionen

Tobias Hammer, Apr 1, 2014

Schritt für Schritt wird vom Verständnis der Zusammenhänge von Funktionen und ihren Ableitungen zu den notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Bestimmung der charakteristischen Punkte übergeleitet. Hierbei liegt der Schwerpunkt zunächst auf der Bestimmung von lokalen Extrema, welche zuerst anhand eine realistischen Optimierungsproblems vorgenommen wird.

Zusammenhänge Funktionsgraph und Ableitungsgraph
1. Ableitungsfunktion punktweise herleiten
2. Tangentensteigung, Funktion und Ableitungsfunktion
Die Suche nach der optimalen Schachtel
1. Schachtel aus einem DinA4-Blatt
2. Funktion zur interaktiven Schachtel
Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema
1. Erkundung lokaler Extremstellen
2. Bedingungen für Extrem- und Wendestellen
Die Bedeutung der zweiten Ableitung
1. Besondere Intervalle des Funktionsgraphen
Extrem- und Wendestellen bestimmen
1. Besucherzahlen im Zoo - Bestimmung charakteristischer Punkte

Information

1.

Zusammenhänge Funktionsgraph und Ableitungsgraph

1. Ableitungsfunktion punktweise herleiten
2. Tangentensteigung, Funktion und Ableitungsfunktion

1.1.

Ableitungsfunktion punktweise herleiten

Hier könnt ihr Vermutungen anstellen, was für eine Funktion sich ergibt, wenn man jedem x-Wert die Tangentensteigung an dieser Stelle zuordnet. Aufgabe Dreht die kurzen Geradenabschnitte an den grünen Punkten solange, bis sie Tangenten an die roten Punkte auf dem Funktionsgraphen darstellen. Die wandernden roten Punkte halten den Wert der Steigung der Geradenabschnitte als y-Wert fest. Was fällt euch auf? Stellt Vermutungen an, wie die Vorschrift einer "Ableitungsfunktion" zur gegebenen blauen Funktion aussehen könnte! Könnt ihr eure Hypothese mithilfe der Grafik begründen?

1.2.

2.

Die Suche nach der optimalen Schachtel

1. Schachtel aus einem DinA4-Blatt
2. Funktion zur interaktiven Schachtel

2.1.

Schachtel aus einem DinA4-Blatt

Wie kann man eine möglichst große, nach oben offene quaderförmige Schachtel aus einem DinA4-Blatt durch Ausschneiden quadratischer Ecken herstellen?

Variiere die Werte für x und gib an, für welche Werte von x das Schachtelvolumen V maximal wird. Gib dieses maximale Volumen an.
Erläutere, welche Beobachtungen dich zu deiner Lösung geführt haben.
Begründe, ob und ggf. warum du dir sicher sein kannst, das maximale Volumen gefunden zu haben.
Diskutiere mit deinen Arbeitspartnern, ob es andere (bessere?) Wege gibt, das x zu finden, bei dem das Volumen der Schachtel maximal wird.

2.2.

3.

Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

1. Erkundung lokaler Extremstellen
2. Bedingungen für Extrem- und Wendestellen

3.1.

Erkundung lokaler Extremstellen

Bewege den Punkt P und beobachte die Lage der Tangente in den (lokalen) Hoch- und Tiefpunkten des Graphen. Untersuche, wie die ersten beiden Ableitungen dabei helfen können, diese Punkte mit Gewissheit zu finden - auch rechnerisch.

3.2.

4.

Die Bedeutung der zweiten Ableitung

1. Besondere Intervalle des Funktionsgraphen

4.1.

Besondere Intervalle des Funktionsgraphen

Aufgabe Untersucht durch Verschiebung des Punktes A die "wichtigen" Intervalle des Graphen von f. Bestimmt durch Ablesen die Monotonie-Intervalle und gebt die Grenzen dieser Intervalle an. Um was für Punkte handelt es sich? Wie könnt ihr diese Intervalle anhand des Graphen der ersten Ableitung bestimmen? Was für Intervalle ergeben sich, wenn man f zwischen den Nullstellen der zweiten Ableitung untersucht? Was bedeutet die zweite Ableitung geometrisch? Könnt ihr eure Vermutungen beweisen? - Benutzt die Hilfsmittel, die euch das Applet zur Verfügung stellt. Ändert den Funktionsterm und untersucht verschiedene Funktionen!

5.

Extrem- und Wendestellen bestimmen

1. Besucherzahlen im Zoo - Bestimmung charakteristischer Punkte

5.1.

Besucherzahlen im Zoo - Bestimmung charakteristischer Punkte

Der folgende Graph zeigt die Besucherzahl im Kölner Zoo in der Öffnungszeit von 10 Uhr (t=0) bis 20 Uhr (t=10). Beantwortet mithilfe des Graphen folgende Fragen: - Wann befinden sich am meisten Besucher im Zoo? - Wie viele Besucher sind es zu diesem Zeitpunkt? - Zu welchem Zeitpunkt ist der Andrang an den Kassen am größten? --> Welche geometrischen Zusammenhänge haben euch geholfen, die Fragen zu beantworten? Aufgabe: Die Funktionsgleichung, die sich hinter dem Graphen verbirgt ist: f(t)=t^5-20t^4+100t³. Beweist eure Ergebnisse aus der geometrischen Anschauung auch rechnerisch. Schreibt genau auf, welche Rechenschritte im Einzelnen hierzu notwendig sind.

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