La cardioïde

rousseau-wallon, Apr 28, 2015

Ce Livre GeoGebra rassemble des constructions de la cardioïde, de sa tangente en un point, ainsi que des figures illustrant certaines de ses propriétés. Vous y trouverez des explications quant à la réalisation technique des figures à l'aide du logiciel GeoGebra. Pour les démonstrations je renvoie aux ouvrages ou articles de la bibliographie, en particulier les travaux de Raymond Clare Archibald et de Jean-Michel Ferrard. [b]Bibliographie[/b] [b]Ouvrages généraux sur les courbes planes[/b] Œuvres de [i]Laguerre[/i], tome II Géométrie, 1898 (consultable en ligne) Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, tome I, II et III, [i]Francisco Gomes Teixeira[/i], 1908-1915 Courbes géométriques remarquables (courbes spéciales) planes et gauches, [i]H. Brocard et T. Lemoine[/i], 1919 [b]Articles traitant plus spécifiquement de la cardioïde (consultables en ligne)[/b] Sur la cardioïde, [i]Laguerre[/i], 1878 Note sur la cardioïde et le limaçon de Pascal, [i]Weill[/i], 1881 Sur le lieu des sommets des angles constants circonscrits ou normaux à une épicycloïde, [i]Loucheur[/i], 1892 The Cardioide and some of its related curves, [i]Raymond Clare Archibald[/i], 1900 Note sur la cardioïde, [i]F. Balitrand[/i], 1915 Sur un rapprochement remarquable entre l’hypocycloïde à trois rebroussements, le folium de Descartes et la cardioïde, [i]R. Goormaghtigh[/i], 1916 Some Properties of the Limacon and Cardioid, [i]J.H. Butchart[/i] 1945 Quelques propriétés de la cardioïde, [i]Jean-Michel Ferrard[/i], 2013

Table of Contents

  1. Constructions de la courbe
    1. Épicyloïde
    2. Points remarquables
    3. épicycloïde 2
    4. Caustique d'un cercle
    5. Caustique d'un cercle : construction du trajet d'un rayon
    6. Caustique de cercle : visualisation des trajets des rayons
    7. Génération de Cremona 1
    8. Génération de Cremona 2
  2. Constructions de la tangente
    1. Construction de la tangente double
    2. Construction de la tangente en un point
    3. Trois tangentes de même direction
    4. Six tangentes
    5. Trois tangentes
  3. Propriétés de la tangente
    1. Angle d'inclinaison de la tangente
    2. Une propriété angulaire des tangentes parallèles
    3. Intersection d'une tangente avec la tangente double
    4. Un triangle d'aire constante
    5. Théorème de Wolstenholme
    6. Corde interceptée
  4. Autres propriétés
    1. Corde passant par le point de rebroussement
  5. Divers
    1. Mécanisme traceur

1.

Constructions de la courbe

  • 1. Épicyloïde
  • 2. Points remarquables
  • 3. épicycloïde 2
  • 4. Caustique d'un cercle
  • 5. Caustique d'un cercle : construction du trajet d'un rayon
  • 6. Caustique de cercle : visualisation des trajets des rayons
  • 7. Génération de Cremona 1
  • 8. Génération de Cremona 2

1.1.

Épicyloïde

Un cercle roule sans glisser autour d'un autre cercle de même rayon. La courbe que décrit un point donné du cercle en rotation s'appelle une [b]cardioïde[/b] (du grec [i]kardia[/i], cœur). Sur la figure ci-dessous : Lorsque le cercle C' tourne sans glisser autour du cercle C, le point M, fixé sur le cercle C', décrit une cardioïde. Déplacer le centre du cercle C'.

[b]Détails de la construction[/b] Le centre de C' se déplace sur un cercle de même centre que C et de rayon le double de celui de C. Le point M s'obtient par symétrie axiale d'axe la médiatrice du segment joignant les deux centres.
– rousseau-wallon

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

2.

Constructions de la tangente

  • 1. Construction de la tangente double
  • 2. Construction de la tangente en un point
  • 3. Trois tangentes de même direction
  • 4. Six tangentes
  • 5. Trois tangentes

2.1.

Construction de la tangente double
– rousseau-wallon

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Propriétés de la tangente

  • 1. Angle d'inclinaison de la tangente
  • 2. Une propriété angulaire des tangentes parallèles
  • 3. Intersection d'une tangente avec la tangente double
  • 4. Un triangle d'aire constante
  • 5. Théorème de Wolstenholme
  • 6. Corde interceptée

3.1.

Angle d'inclinaison de la tangente

Déplacer le point M
– rousseau-wallon

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

Autres propriétés

  • 1. Corde passant par le point de rebroussement

4.1.

Corde passant par le point de rebroussement

Toutes les cordes passant par le point de rebroussement ont la même longueur (2a). Déplacer le point M.
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5.

Divers

  • 1. Mécanisme traceur

5.1.

Mécanisme traceur

Déplacer le point M.
– rousseau-wallon

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