[color=#999999]Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra[i] [url=https://www.geogebra.org/m/pedzgbyt]Correcaminos (bip, bip)[/url][/i].[/color][br][br]En la construcción de la actividad anterior, el punto C=c(p) es el punto de parámetro (de recorrido) [b][color=#ff7700]p[/color][/b] de la curva c(t). Ahora bien, mientras que el parámetro [b][b][color=#ff7700]p[/color][/b][/b] varía siempre entre 0 y 1, el parámetro t de la curva c(t) puede variar entre dos valores arbitrarios t1 y t2 (por ejemplo, entre -π y 3π).[br][br]En este libro GeoGebra necesitaremos más adelante (para calcular el vector normal a una superficie en un punto dado) encontrar el valor de t que corresponde al valor de [b][b][color=#ff7700]p[/color][/b][/b]. Es decir, necesitaremos una [i]transformación lineal[/i] del intervalo [0, 1] en el intervalo [t1, t2]. Sea [b]h(x) = a x + b[/b] esa transformación. Entonces ha de cumplirse que [b]t1 = a 0 + b[/b] y que [b]t2 = a 1 + b[/b]. Por lo tanto, la transformación buscada es [b]h(x) = (t2 - t1) x + t1[/b]. Esta transformación transforma el valor [b][b][color=#ff7700]p[/color][/b][/b] en el valor [b](t2 - t1) [b][color=#ff7700]p[/color][/b] + t1[/b]. [br][br]Veamos un modo más rápido y natural de llegar al mismo resultado. Cuando [b][color=#ff7700]p[/color][/b] valga 0, (1 - [b][color=#ff7700]p[/color][/b]) valdrá 1, y viceversa. Así que la transformación:[br][center][b](1 - [b][color=#ff7700]p[/color][/b]) [/b]t1 [b]+ [b][color=#ff7700]p[/color][/b] [/b]t2[/center]pasará de modo continuo del valor t1 (cuanto [b][color=#ff7700]p[/color][/b]=0) al valor t2 (cuando [b][color=#ff7700]p[/color][/b]=1). Este razonamiento no solo vale para valores en una dimensión, sino que es igualmente válido para cualquier dimensión. Si A y B son puntos (de cualquier dimensión), la siguiente transformación pasará de modo continuo del punto A al punto B:[br][center][b](1 - [b][color=#ff7700]p[/color][/b]) [/b]A + [b][b][color=#ff7700]p[/color][/b][/b] B[/center]Podemos sustituir los puntos A y B por curvas o por superficies. Esta transformación resulta básica para pasar de modo continuo de un objeto al otro. Es tan importante que tiene nombre propio: [i]homotopía lineal [/i][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADa][img]https://www.geogebra.org/resource/scjbyz2p/0tuzuVw455vxurEw/material-scjbyz2p.png[/img][/url]. [br][br]En la siguiente construcción puedes ver algunos ejemplos (en ellos también hemos usado la homotopía para transformar un color en otro). Puedes ver otros ejemplos de homotopía en estos libros GeoGebra de [url=https://www.geogebra.org/m/MSNNQCmE#chapter/284391]José Manuel Arranz[/url] y [url=https://www.geogebra.org/m/DCRzbTbQ#material/KFAPeA7E]Juan Carlos Ponce Campuzano[/url]. La homotopía es un recurso muy usado en GeoGebra para conectar de modo natural dos curvas, creando una superficie que las una (como el vaso de la construcción, de base elíptica y boca circular). En este libro solo la usaremos, como ya hemos adelantado, para llevar el intervalo [0, 1] al intervalo [t1, t2].

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]