Mosaicos: grupo 1 (o, p1)
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Isometrías. Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro Cambio de sistema de referencia.
Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los grupos de isometrías de los mosaicos.
Es recomendable que sigas el orden numérico de los grupos.
En esta actividad explorarás el grupo 1 (o, p1). Es un grupo especial y muy sencillo: simplemente no se hacen copias del motivo decorativo dentro del mismo azulejo. En el azulejo se dibuja cualquier cosa que no tenga simetría, como el dibujo de un cisne visto lateralmente. De este modo, las únicas simetrías que tendrá el mosaico son las traslaciones de los azulejos, todos ellos idénticos.
1. Mueve el vértice del azulejo (punto verde) y observa el efecto. ¿Qué tipo de paralelogramo es el azulejo? Variando de posición el vértice, ¿puede tomar una forma cuadrada? ¿Y rómbica? ¿Y rectangular?
2. La parte del azulejo donde colocamos el motivo decorativo (el cisne) se denomina "Celda primitiva". En este caso, esta celda es todo el azulejo. Desactiva y activa esa casilla para ver el efecto producido. Observa que uno de los azulejos aparece sombreado. ¿Crees que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, podrían aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne?
3. Deja activada la casilla "Celda primitiva". Desactiva y activa la casilla Azulejo. Observa que cuando se encuentra desactivada es mucho más difícil darse cuenta de la distribución precisa de los azulejos. Cuando la activas, se muestra el borde de cada azulejo. ¿Qué tipo de rectas forman todos los bordes al juntarse unos con otros?
4. Deja activada la casilla Azulejo. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" no sucede nada. ¿Por qué? (Nota: esta casilla no tiene en cuenta las simetrías por traslación.)
5. Desactiva la casilla Azulejo y activa la casilla "Vectores de traslación". Muévelos por el punto medio verde. ¿Qué indican esos vectores? Activa de nuevo la casilla Azulejo. ¿Qué relación existe entre esos vectores y cada azulejo?
6. Desactiva la casilla "Vectores de traslación". Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada. ¿Por qué?
7. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada. ¿Por qué?
8. Activa la casilla "Copiar parte del mosaico". Mueve la copia desplazando la imagen de flechas rojas. ¿Cuánto tienes que desplazar la copia para que vuelva a coincidir con el original? ¿Cómo se llama la isometría que corresponde a esa simetría por desplazamiento?
9. Activa la casilla Centrar para volver la copia a su posición inicial. Activa la casilla "Rotar cierto ángulo" y elige un ángulo de 90º (puedes usar las teclas + y - del teclado para mayor precisión). ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?
10. Rota la copia 180º. ¿Coincide al copia con el original? ¿Por qué?
11. Rota la copia 360º. ¿Coincide al copia con el original? ¿Por qué?
12. Desactiva las casillas "Centrar" y "Rotar cierto ángulo". Activa la casilla "Reflejar en la horizontal". ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?
13. ¿Coinciden las esquinas de la copia (paralelogramo azul) con las esquinas originales? ¿Por qué?
14. Si efectúas dos traslaciones seguidas de la copia, ¿obtienes una nueva traslación? ¿Crees que la composición de dos traslaciones siempre será una traslación?
15. Escribe todos los tipos de isometrías presentes en este grupo o.
16. Desactiva las casillas "Celda primitiva" y "Copiar parte del mosaico". Activa la casilla "Dibujo libre". Aparecerá un punto. Muévelo por la zona del azulejo sombreado. Activa la casilla Rastro y vuelve a mover el punto. Explica qué sucede. Para dejar de pintar basta con que desactives la casilla Rastro y vuelvas a activarla para seguir pintando en otro lugar. También puedes mover la goma de borrar para limpiar todos los rastros dejados.
17. La aplicación está diseñada para variar automáticamente el color en función de la posición del punto que mueves, de forma que se consigan fácilmente resultados vistosos y agradables en la mayoría de los casos. Es una opción muy recomendable. Sin embargo, también puedes usar tu propia paleta de colores. Para ello, debes activar la casilla "Color manual". Actívala e intenta dibujar (el lápiz se coge por su extremo superior) algún motivo decorativo con distintos colores a tu gusto.
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss