[color=#999999]Este apartado pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br][b]El “test de la botella” de Piaget[/b][br][br]El llamado “test de la botella” o del “nivel del agua” de Piaget tiene que ver con sus estudios y experimentos sobre el desarrollo ontogenético del conocimiento espacial en los seres humanos. [br][br]Muy brevemente, diríamos que el experimento de Piaget comienza presentando al sujeto de la experiencia una botella, colocada sobre una mesa, con cierto nivel de líquido. Luego, tras tapar la botella, se solicita la explicación (verbal, gestual o gráfica), por parte del mismo sujeto, de la línea que tendría el nivel del agua en esa misma botella tras inclinarla (Figura 1). Ver [[url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh#material/xtvpwudh]1[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh#material/xtvpwudh]2[/url]] para una detallada presentación de este experimento en documentos de acceso abierto en castellano.[br][br]Diversas respuestas a este test, según las etapas de desarrollo cognitivo (y, supuestamente, también según el género, ver [[url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh#material/xtvpwudh]4[/url]]), incluyen posiciones erróneas como la expresada a la derecha de la Figura 1, hasta que el individuo reconoce que la línea que representa el nivel en la botella inclinada debería seguir siendo horizontal, que es la respuesta que Piaget considera como válida tras alcanzar cierto nivel de desarrollo cognitivo.[br][br][table][tr][td][img]https://www.geogebra.org/resource/ptdexse8/h3u4USsHT8w86Sjk/material-ptdexse8.png[/img][/td][td][img]https://www.geogebra.org/resource/yduejdzy/xjiGqt2EHWoPQRWJ/material-yduejdzy.png[/img][/td][/tr][/table]Figura 1: [i]El “test de la botella” o del “nivel del agua”. A la izquierda, posición inicial. A la derecha, la línea azul marca una posible respuesta a la pregunta sobre la hipotética posición del nivel del agua al inclinar la botella.[/i][br][br][br]Pero ¿qué tiene que ver este test piagetiano y GeoGebra? Los autores de esta breve nota parten de la hipótesis (conscientes de que es un puro pretexto para ejercitarse creativamente con problemas geométricos) de que el profesor Piaget se hubiera planteado realizar este mismo test, pero en un contexto un “poco” diferente:[br][list][*]dirigido a personas con ciertos conocimientos matemáticos[/*][*]exigiendo que calculen, con una construcción geométrica sintética y, por tanto, exacta, la línea de nivel del agua en función de la inclinación de la botella[/*][*]que dispongan de [url=http://geogebra.org/?pk_vid=167206766145fdec]GeoGebra[/url] o [url=https://github.com/kovzol/geogebra/releases]GeoGebra Discovery[/url][/*][/list]Ver la Figura 2 para un ejemplo (que describiremos con detalle en las secciones siguientes) visual del tipo de respuesta que, en estas nuevas circunstancias, ¡el profesor Piaget tal vez estaría buscando![br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/kxrtp3zd/RFFXbRqQ0VgItFlq/material-kxrtp3zd.png[/img][br]Figura 2: [i]Construcción con GeoGebra de la línea de nivel del agua al inclinar la botella.[/i][br][br]Pero nuestro objetivo no es simplemente resolver el test de Piaget en esta versión más exigente, calculando y construyendo exacta y dinámicamente la línea de nivel de modo que, por ejemplo, en la construcción con GeoGebra, el simple giro de la botella arrastrando el punto A’ de la misma (en la Figura 2), haga que la línea de nivel C’C se posicione de nuevo correctamente. Lo que pretendemos –tal vez con una perspectiva demasiado próxima a la ciencia ficción– es estudiar cómo, en algún momento del futuro, ciertos aspectos de este test pudieran ser objeto de automatización, del uso de herramientas de razonamiento automático (ver [[url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh#material/xtvpwudh]3[/url]]) que ayudaran al humano a resolver algunos de los problemas geométricos que se plantean. La sección "GeoGebra Discovery" proporciona, ya, algunos avances y ejemplos (tanto de éxito como de fracaso) hacia este objetivo.

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br]Un viejo acertijo pregunta cómo vaciar una típica pecera de base rectangular (un ortoedro) llena de agua, hasta que quede justo la mitad de agua. El acertijo advierte que no disponemos de ningún instrumento de medida. La solución, en el siguiente párrafo (para verla, arrastrar el ratón por encima del texto en blanco):[br][br]"[color=#ffffff]Inclinar la pecera hasta que el nivel del agua coincida con una arista de la base de la pecera[/color]."[br][br]La solución de este acertijo nos da la clave para resolver el test de la botella de Piaget. Al inclinar la botella, el líquido desciende por uno de los lados en la misma medida que asciende por el otro, de modo que se mantiene constante la distancia del centro (O) del nivel del agua a la base de la botella.[br][br]Dado que las dimensiones de la botella no afectan más que a la inclinación máxima que admite antes de que el nivel del líquido alcance la base inferior o superior de la botella, supondremos, en principio, que la altura [b][i]a[/i][/b] de la botella (dada por el segmento AD) es [i]exactamente [/i]el doble que la del líquido que contiene ([b][i]a[/i] = 2[i]h[/i][/b]). [br][br]En tal caso, el nivel del líquido alcanza [b][i]a la vez[/i][/b] la base inferior y superior de la botella, lo que permite calcular fácilmente el polígono que representa el líquido más allá de ese instante:[br][list][*][b]U[/b] y [b]A[/b] definen el suelo. La longitud [b][i]b[/i][/b] de la base viene dada por el segmento UA, equivalente a A'A. [/*][*]La altura [i][b]a[/b][/i] de la botella viene dada por el segmento AD.[br][/*][*]El punto [b]A'[/b] gira la botella.[/*][*]El polígono azul, que representa el líquido, tiene por vértices A, A', C1' y C1, antes de que el nivel del líquido alcance la base y A, A', C2' y C2 para inclinaciones mayores.[br][/*][/list]

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br]Veamos ahora el caso general de una botella ortoédrica de altura [b][i]a[/i][/b] y anchura [i][b]b[/b][/i], llena de líquido hasta una altura inicial [i][b]h[/b][/i]. [br][br]Analizaremos en primer lugar la posición en la que la inclinación de la botella no es suficiente para que el líquido alcance una base. En tal caso, la altura [i][b]a[/b][/i] de la botella es intrascendente.[br][list][*][b]U[/b] y [b]A[/b] definen el suelo. La longitud [b][i]b[/i][/b] de la base viene dada por el segmento UA, equivalente a A'A. [/*][*][b]H[/b] determina la altura [b][i]h[/i][/b] del líquido sin giro.[/*][*]El punto [b]A'[/b] gira la botella.[/*][*]El polígono azul, que representa el líquido, tiene por vértices [b]A[/b], [b]A'[/b], [b]C'[/b] y [b]C[/b].[br][/*][/list]Como O es el punto medio de HH', los triángulos OCH y OC'H' son congruentes, al tener dos ángulos iguales (el recto y el opuesto por el vértice O) y un lado igual OH'=OH. Por tanto, tienen igual área. [br][br]Relaciones comprobadas con la herramienta [color=#ff0000]Relación [/color]de GeoGebra:[br][list][*]OH' = OH (relación “siempre cierto” que no haría falta comprobar pues así hemos definido O)[/*][*]C'H' = CH (siempre que U y A sean distintos)[/*][*]OC' = OC (siempre que la construcción no sea degenerada)[/*][/list]

Como ya hemos visto, la altura que alcanza el nivel del líquido en la botella de anchura [b][i]b[/i][/b]=AA' y altura inicial del líquido [b][i]h[/i][/b]=AH es, en función del ángulo de inclinación α:[center][math]f\left(\alpha\right)=h\cdot cos\left(\alpha\right)+\frac{b}{2}\cdot sen\left(\alpha\right)[/math][/center]

[color=#999999]Este apartado pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br][url=https://kovzol.github.io/geogebra-discovery/]GeoGebra Discovery[/url] es una versión de GeoGebra que mejora y amplia determinadas herramientas de razonamiento automático de la versión estándar. Está implementada y mantenida por el [url=https://matek.hu/zoltan/]Dr. Zoltán Kovács[/url] (2), del equipo de desarrolladores de GeoGebra, como puede verificarse al abrir la aplicación GeoGebra y hacer clic en la barra superior, donde pone GeoGebra, [i]Acerca de[/i]….  [br][br]Podemos ejecutar GeoGebra Discovery de dos modos: [br][list=1][*]Modo web (basado en GeoGebra 6).[/*][*]Modo local (basado en GeoGebra 5, aunque también existe la opción de descargar la versión 6 [i]offline[/i]).[/*][/list]En ambos casos, podemos elegir como idioma de la interfaz nuestro idioma local. Aquí supondremos que lo hemos personalizado al español.[br][br][b]1. Modo web[/b][br][br]Para ejecutarlo vía web, basta acceder a la página: https://autgeo.online/ Una vez en ella, podemos buscar y abrir cualquier archivo de GeoGebra que se encuentre publicado en su almacén de recursos o bien cualquier archivo local. [color=#ff00ff]Para usar esta web no es preciso disponer de una cuenta de usuario de GeoGebra.[/color]

Los pasos preliminares para su uso son:[br][br]1. Copiar al portapapeles la URL de la actividad que vamos a abrir, en el caso de que esté publicada en el almacén de recursos de GeoGebra.[br]2. Abrir la página de GeoGebra Discovery: [url=https://autgeo.online/]https://autgeo.online/[/url] y elegir como idioma ([i]Configuración [/i]> [i]Idioma[/i]) el español.[br]3. Desde ella, seleccionar abrir un archivo ([i]Archivo[/i] > [i]Abrir[/i]) y pegar la URL copiada (también podemos elegir un archivo local, ya sea creación nuestra o previamente descargado). Seleccionar ese archivo y elegir [i]Edita[/i].[br]4. Mostrar la Barra de Entrada ([i]Vista [/i]> [i]Barra de entrada[/i]) y la Vista Algebraica ([i]Vista[/i] > [i]Vista Algebraica[/i]) de esa construcción. [br][br][b]2. Modo local[/b][br][br]Para ejecutarlo en local, debemos contar con Java (8 o superior) y descargar e instalar el ejecutable correspondiente a nuestro sistema operativo, que podemos encontrar en: [url=https://github.com/kovzol/geogebra/releases]https://github.com/kovzol/geogebra/releases[/url]. Al ejecutarlo (al menos por primera vez) [color=#ff00ff]nos pedirá una cuenta de usuario[/color] de GeoGebra.[br][br][br]Una vez ejecutado GeoGebra Discovery, podemos ver que existen, esencialmente, cuatro comandos que facilitan el Descubrimiento Automático de relaciones: [color=#ff0000]Demuestra[/color], [color=#ff0000]Descubrir[/color], [color=#ff0000]EcuaciónLugar [/color]y [color=#ff0000]Relación[/color]:[br][list][*]Demuestra( [code]<[/code]Expresión lógica[code]>[/code] )[/*][*]DemuestraDetalles( [code]<[/code]Expresión lógica[code]>[/code] )[br][/*][/list][list][*]Descubrir( [code]<[/code]Punto[code]>[/code] )[/*][/list][list][*]EcuaciónLugar( [code]<[/code]Lugar Geométrico[code]>[/code] )[/*][*]EcuaciónLugar( [code]<[/code]Punto del lugar[code]>[/code], [code]<[/code]Punto variable[code]>[/code] )[/*][*]EcuaciónLugar( [code]<[/code]Expresión lógica[code]>[/code], [code]<[/code]Punto variable[code]>[/code] )[/*][/list][list][*]Relación( [code]<[/code]Lista[code]>[/code] )[/*][*]Relación( [code]<[/code]Objeto o expresión[code]>[/code], [code]<[/code]Objeto o expresión[code]>[/code] ) [/*][*]Compara( [code]<[/code]Expresión[code]>[/code], [code]<[/code]Expresión[code]>[/code] ) [/*][/list][br]Se trata, en su mayoría, de comandos que ya existen en la versión estándar de GeoGebra, pero que aquí han sido mejorados, permitiendo, por ejemplo, establecer relaciones de desigualdad entre objetos, o descubrir automáticamente todas las relaciones que involucran un objeto A dado, sin necesidad de usar reiteradamente el comando Relación(A,B), tras elegir otro objeto B, etc. [br][br]Debe señalarse que las respuestas de estos comandos no están basadas en consideraciones visuales o numéricamente aproximadas entre los objetos, sino que son matemáticamente rigurosas (de hecho, formalmente equivalentes a las tradicionales demostraciones de geometría sintética), y son el resultado de traducir las construcciones geométricas a un conjunto de ecuaciones e inecuaciones polinómicas y de determinar, mediante algebra computacional, que las soluciones de tales sistemas verifican otra ecuación o inecuación (la tesis), a través de un programa de cálculo simbólico que se encuentra implementado dentro de GeoGebra. [br][br]También es necesario indicar que las respuestas simplemente indican si la respuesta a cierta pregunta (cierta Relación) es verdadera o falsa, o enumeran una serie de propiedades entre objetos, sin dar, en ningún caso, argumentos para apoyar tales respuestas. Se trata, por tanto, de considerar GeoGebra Discovery como una suerte de oráculo, que responde a las preguntas del alumno, pero deja a este la tarea de analizar el ‘por qué’ de tal respuesta.[br][br] El lector interesado puede encontrar más detalles sobre GeoGebra Discovery en los artículos [5, 6, 7], a los que se puede acceder libremente y están escritos en castellano o portugués, que enfatizan, en particular, el potencial educativo de las herramientas de razonamiento automático en geometría, como una especie de tutor tecnológico que puede ayudar al alumno a conjeturar, verificar y probar resultados geométricos. Véase también [8] para una detallada exposición y discusión de estas herramientas y su impacto educativo.[br][br]En las siguientes secciones ejemplificaremos la utilización de estas herramientas en el contexto de la botella de Piaget, mostrando su potencial colaboración y sus limitaciones. La botella de Piaget puede considerarse, en este momento del desarrollo de GeoGebra Discovery, como un contexto muy relevante en el que ensayar y contribuir a la mejora de estas herramientas.

[color=#999999]Este apartado pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br]Son tres las conclusiones que los autores de este artículo querrían destacar sobre el mismo. En primer lugar, la riqueza de la problemática planteada a partir de una “inocente” forma de observar un test clásico, de reconocida relevancia en el mundo de la psicología y pedagogía, pero que posiblemente no ha sido, hasta ahora, objeto de un planteamiento matemático tan exhaustivo (aunque totalmente irrelevante para el objetivo inicial del test: es, para nosotros, un simple pretexto para hacer matemáticas).  [br][br]En segundo lugar, creemos que el artículo (y su contrapartida como libro GeoGebra) muestra la extraordinaria ayuda que GeoGebra proporciona al usuario para que este pueda construir, visualizar y comprobar dinámicamente, hechos matemáticos de cierta complejidad, cuya descripción y tratamiento serían mucho más difíciles sin GeoGebra. Una afirmación con la que esperamos el lector esté de acuerdo, sin más que apreciar el concurso de GeoGebra a lo largo de las secciones 2 y, sobre todo, 3.[br][br]Y, en tercer lugar, la sección 4 del artículo quiere ser una muestra de las capacidades y limitaciones de los nuevos desarrollos de GeoGebra (GeoGebra Discovery), que dotan a esta herramienta de capacidad de “inteligencia” (en cierto sentido: posibilitando a la misma la verificación de la verdad o falsedad de afirmaciones geométricas, o el descubrimiento de nuevos hechos). Esperamos que el lector encuentre, al menos, interesante, la mera noticia de su existencia, aunque el valorar la misma como positiva sea algo que exija, para muchos lectores, una discusión más detallada, que los autores de este trabajo querrían dejar, en[br]todo caso, para otra futura contribución a este Boletín.[br][br][br]

[color=#999999]Este apartado pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh]Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery[/url].[/color][br][br]El conocido como "segundo teorema de Tales" dice lo siguiente:[br][list][*][i]Sea [/i]C[i] un punto de la circunferencia de diámetro [/i]AB[i], distinto de [/i]A[i] y de [/i]B[i]. Entonces, el triángulo [/i]ABC[i] es un triángulo rectángulo, pues el ángulo ([/i]γ[i]) en [/i]C[i] es recto[/i].[br][/*][/list]Ya que, según anuncia el teorema, en los puntos de la circunferencia se consigue que el ángulo que abarca el diámetro sea recto, podemos intuir que la circunferencia es el lugar geométrico límite o frontera entre dos regiones planas, su interior y su exterior, en donde el ángulo es, respectivamente, mayor y menor que 90º.[br][br]Efectivamente, así es. La siguiente imagen muestra sombreados (en rojo) los puntos del interior de la circunferencia. En ellos, el ángulo γ es mayor que un ángulo recto. Y, en [i]todo [/i]el exterior, es menor.[br][br]Por lo tanto, el recíproco del segundo teorema de Tales también es cierto:[br][list][*][i]Si [/i]ABC[i] es un triángulo rectángulo de hipotenusa [/i]AB[i], entonces [/i]C[i] descansa en la circunferencia de diámetro [/i]AB.[/*][/list]

Recordemos ahora lo que dice el teorema de la altura:[br][list][*][i]En todo triángulo rectángulo la altura [/i](c)[i] sobre la hipotenusa es igual a la media geométrica entre las proyecciones ortogonales [/i](a y b)[i] de los catetos en la hipotenusa.[/i][br][/*][/list]Ya que, según anuncia el teorema, en los puntos de la circunferencia se consigue que el cuadrado de la altura coincida con el producto de las proyecciones de los catetos, podemos intuir que la circunferencia es el lugar geométrico límite o frontera entre dos regiones planas, su interior y su exterior, en donde el cuadrado de la altura es, respectivamente, mayor y menor que el producto de las proyecciones.[br][br]Sin embargo, ahora no es así. La siguiente construcción muestra sombreados (en rojo) los puntos del interior de la circunferencia. En ellos, el cuadrado de la altura es menor que el producto de las proyecciones. Pero no sucede lo contrario en [i]todo [/i]el exterior de la circunferencia. [br][br]Tal como mostraron, usando Discovery, F. Etayo, N. de Lucas, T. Recio y M. P. Vélez en [[url=https://www.geogebra.org/m/v6prxfzh#material/xtvpwudh]5[/url]], existe otra región, limitada por las ramas de una hipérbola equilátera, en donde el cuadrado de altura vuelve a ser menor que el producto de las proyecciones. En los puntos de la hipérbola, la tesis del teorema de la altura vuelve a ser cierta, a pesar de que en ellos el triángulo ABC no es rectángulo, sino "pseudo-rectángulo", como lo denominan los autores de ese artículo. Si en los triángulos rectángulos es la [i]suma [/i]de dos ángulos igual a 90º, en los pseudo-rectángulos lo es su [i]diferencia [/i](lo que equivale a decir que el ángulo en C es el complementario del doble del ángulo en A, en una rama de la hipérbola, o del ángulo en B, en la otra rama).[br][br]Por lo tanto, el recíproco del teorema de la altura no es cierto, a no ser que en el enunciado del teorema interpretemos "hipotenusa" estrictamente como el segmento AB (obligando a la proyección de C a permanecer en este segmento) y no como la recta AB.