[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/WG8PPmyg]Juegos de iluminación (con soluciones)[/url].[/color][br][br]Para encontrar las soluciones se hace uso de la resolución de sistemas de [b]ecuaciones lineales[/b] y de la [b]aritmética modular[/b].[br][br]Si suponemos que hemos acertado con las casillas que hay que pulsar en la primera fila, las pulsaciones del resto de las filas quedan determinadas, pues hará falta pulsar en cada casilla debajo de una no iluminada de la primera fila, para poder iluminarla, y así sucesivamente. Ahora bien, hay 25 posibles elecciones para pulsar o no casillas de la primera fila. Si el cuadrado fuera de 100 casillas de lado, el número a considerar sería astronómico. Pero, afortunadamente... ¡menos mal que tenemos el álgebra!

Cada casilla de la fila primera tiene asignada una letra. Las filas siguientes se deducen de la primera, así que debe existir una relación entre ellas. Veamos: [u]la casilla ocupada por la letra [i]a[/i][/u] (que puede ser 1 o 0, es decir, puede ser seleccionada o no) [u]debe quedar iluminada[/u]. Lo que conlleva que si llamo x al estado de la celda inmediatamente inferior, entonces [i]a + b + x[/i]  ha de ser un número impar. Es decir, “[i]a + b + x [/i] es congruente con 1 módulo 2”.[br][br]Esta notación puede ser simplificada si convenimos que, en adelante, todas las operaciones las realizamos con el álgebra módulo 2 (en cuya aritmética 1+1=0).[br][br]De esta manera podemos escribir  [i]x = a + b + [/i]1  (comprobación: [i]a[/i] + [i]b +  [/i]([i]a +[/i] [i]b + [/i]1) = 1). [br][br]De la misma forma, [u]para iluminar irremediablemente la casilla que ocupa la letra [i]b[/i][/u], la letra [i]y[/i] debe tomar un valor tal que [i]a + b + c[/i] + [i]y  [/i]dé como resultado “1”.  De lo que se deduce que el valor de [i]y [/i]debe ser precisamente [i]a + b + c + [/i]1. [br][br]Así se pueden ir completando en pocos segundos el resto de las casillas.[br][br]¡Ah, pero ahora [i]necesito que[/i] [i]también la última fila quede iluminada[/i]!  Para ello, se añade una sexta fila “virtual” cuyo estado, siguiendo el mismo método, será el que muestra la figura anterior.[br][br]Bien, ya está iluminada la quinta fila, pero ahora “sobra” la sexta fila que he añadido. Esta fila fue añadida para obligar a la quinta a iluminarse, pero no aparecía en el cuadrado original. Por tanto, ninguna de estas “casillas virtuales” podrá ser seleccionada. Pues nada, hay que eliminarlas, suprimirlas, [i]anularlas[/i]:[br][br][math]\begin{matrix}b+c+e+1=0\\a+b+c=0\\a+b+d+e=0\\c+d+e=0\\a+c+d+1=0\end{matrix}[/math][br][br]De lo que se deduce que dos de las variables (por ejemplo d y e) son libres (pueden tomar cualquier valor, 0 o 1, así que hay 4 posibilidades) y las otras tres dependen de ellas, como muestra el recuadro negro de la figura.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]