[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]FUNCIONES MUSICALES[/b][br][i]Publicado en la sección [color=#cc0000]Música y matemáticas[/color] de Divulgamat[/i][br][url=https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=8745:3-septiembre-2007-funciones-musicales&catid=67:ma-y-matemcas&directory=67]Septiembre 2007[/url][br][br][b]La insoportable levedad del ser[/b][br][br]La constancia de lo pasajero de la existencia humana provoca en el poderoso cerebro del Homo la necesidad de dejar constancia, de algún modo, de su propia y fugaz existencia. Como reacción a la dolorosa conciencia del paso del tiempo hemos creado sistemas para mitigarla: aprecio familiar y social, celebraciones, valores morales, fama y poder, religiones, investigación, ciencia y... artes.[br][br][b]La línea del tiempo[/b][br][br]El arte surge de la necesidad de cada individuo de comunicar su propia sensibilidad, por lo que no precisa una finalidad material. La artesanía, la arquitectura, la escultura, la pintura o la fotografía se convierten en arte cuando logran esa comunicación con alguien que no sea algún admirador incondicional, lo que les dota de cierta intemporalidad. Pero, además, otras artes incluyen un tiempo narrativo específico como elemento artístico, como es el caso de la literatura, el teatro, la cinematografía, la danza y, sobre todo, la música.[br][br][b]Funciones[/b][br][br][i]Función[/i]. 3. Acto organizado, que constituye un espectáculo de cualquier clase, al que concurre gente. 5. [i]Mat[/i]. Con respecto a una cantidad, otra cuyo valor depende del de aquella. (Diccionario de uso del español de María Moliner.)[br][br]La música comparte estas dos acepciones. Por una parte, necesita de una ejecución interpretativa, ya sea propia o ajena, que le confiere carácter de espectáculo. Por otra, su dependencia de la variable tiempo es total.[br][br][b]Huellas musicales[/b][br][br]Basta una piedra o algo de barro para dejar una huella que nos sobreviva pero, hasta hace muy poco, nuestra voz moría con nosotros. De la misma forma que podemos enseñar palabras y frases, también podemos enseñar canciones. Durante siglos, las canciones populares (y los bailes asociados) no necesitaron de ningún registro material para su transmisión y enriquecimiento de generación en generación.[br][br]Cuando las canciones se fueron acumulando se hizo patente la necesidad de registrarlas como ya se registraba la palabra: por escrito. Ahora bien, ¿cómo?[br][br][b]Frecuencias fundamentales: hacia la abstracción[/b][br][br]Cuando cantamos bajo la ducha [i]Cantando bajo la lluvia[/i], gloriosos reyes de nuestro privado espectáculo musical, cualquier parecido con E. J. Curran ([i]Gene Kelly[/i]) será, normalmente, una calumnia. Sin embargo, casi milagrosamente, los sufridos familiares o vecinos seguramente habrán reconocido la canción subyacente a nuestra infame interpretación.[br][br]Independientemente de nuestra voz, nos hemos acercado (valga el eufemismo) lo suficiente a “la secuencia de distancias –[i]intervalos[/i]- entre sucesivas frecuencias fundamentales” que rigen la canción para hacerla reconocible. Así que si disponemos de alguna forma de anotar estos intervalos tendríamos una especie de “esqueleto” de la canción. En eso consiste una [i]partitura[/i].[br][b][br]“Las sinfonías de Beethoven no existen” (Daniel Baremboim)[/b][br][br]Esta frase del conocido pianista resume contundentemente su propia labor como intérprete y director. Las partituras registran la duración y frecuencia de cada sonido en cada instante, pero carecen de “carne palpitante”. Necesitan de una segunda inteligencia creadora, un “recreador” (el intérprete o el director, según el caso) que intente reconstruir la idea original del compositor. Con otras palabras, la partitura muestra un código abstracto que deberá concretarse en la interpretación.[br][br]Volviendo a la ducha, supongamos que nos escucha alguien que oye por vez primera nuestra personalísima versión de [i]Singin’ in the rain[/i]. Al margen de su más que probable estupefacción, solo una recreación completa a partir de nuestras vagas indicaciones sonoras, basada en el conocimiento y estudio de otras composiciones análogas, le haría posible reconstruir algo similar al original.[br][br][b]El periódico ABC[/b][br][br]Como las letras ya estaban inventadas, los primeros intentos para escribir música se basaron en ellas, asignando una frecuencia concreta a cada una de las primeras letras del alfabeto. Así, las siete notas básicas se representan en la notación inglesa y alemana como A, B, C, D, E, F y G, que corresponden, respectivamente, a la notación latina La, Si, Do, Re, Mi, Fa y Sol.[br][br]La famosa canción [i]Do-Re-Mi[/i] de [i]The Sound of Music[/i] (Sonrisas y lágrimas) nos recuerda el carácter cíclico de las notas (en inglés, Do Re Mi Fa So La Ti). El doblaje no tiene desperdicio.[br][br][br][table][tr][td][color=#cc0000]Doe[/color], a deer, a female deer[br][color=#cc0000]Ray[/color], a drop of golden sun[br][color=#cc0000]Me[/color], a name I call myself[br][color=#cc0000]Far[/color], a long, long way to run[br][color=#cc0000]Sew[/color], a needle pulling thread[br][color=#cc0000]La[/color], a note to follow Sew[br][color=#cc0000]Tea[/color], a drink with jam and bread[br]That will bring us back to [color=#cc0000]Do [/color](oh-oh-oh)[/td][td][/td][td][/td][td][color=#cc0000]Don[/color], es trato de barón[br][color=#cc0000]Res[/color], selvático animal[br][color=#cc0000]Mi[/color], denota posesión[br][color=#cc0000]Fa[/color](r) es “lejos” en inglés[br][color=#cc0000]Sol[/color], ardiente esfera es[br][color=#cc0000]La[/color], al nombre es anterior[br][color=#cc0000]Sí[/color], asentimiento es[br]Y otra vez ya viene el [color=#cc0000]Do [/color](oh-oh-oh)[/td][/tr][/table][br]En realidad, se trata de una versión moderna, y muy buena, al estilo del poema elegido por el monje Guido d'Arezzo (992-1050) para enseñar a solfear, y de donde provienen los nombres de las notas (la nota Si se añadió posteriormente).[br][br][b]Ut[/b] queant laxis[br][color=#cc0000]Re[/color]sonare fibris[br][color=#cc0000]Mi[/color]ra gestorum[br][color=#cc0000]Fa[/color]muli tuorum[br][color=#cc0000]Sol[/color]ve polluti[br][color=#cc0000]La[/color]bii reatum[br][color=#cc0000]S[/color]ancte Ioannes[br][br]En este tipo de notación –nomenclatura– se observan graves deficiencias. Primero, se limita a siete frecuencias fundamentales. Esto es fácilmente superable añadiendo más letras. Segundo, no indica la duración de cada sonido. También superable, añadiendo las indicaciones correspondientes. Tercero, y lo más grave, no ofrece una visión global rápida de la evolución de las notas y sus duraciones, algo fundamental para una correcta reconstrucción de la composición.[br][br]Podemos ver cada nota por separado, pero resulta difícil ver su evolución al variar el tiempo.[br][br][b]Subamos el volumen[/b][br][br]Mientras tanto, los matemáticos se enfrentaban a un problema similar. Es sencillo reconocer visualmente una forma, como un cubo (el cuerpo regular, no el recipiente de la fregona), y calcular su volumen. En principio, este cálculo se hacía para cada cubo particular. Así, para cubos con aristas de longitudes 1, 2, 3, 4,... se obtuvieron los correspondientes volúmenes 1, 8, 27, 60 (perdón, 64),... Posteriormente, se generalizó a cualquier lado x, obteniendo el volumen x3. Esta potencia heredó el nombre de su origen geométrico: “número cúbico”, “elevar al cubo”, “x al cubo” o “el cubo de x”.[br][br]Tenemos entonces que podemos ver cada volumen por separado, pero resulta difícil ver su evolución al variar el lado. ¡El mismo problema de notación que en música![br][br][b]Los músicos se adelantan[/b][br][br]Dado que gran parte de las antiguas composiciones musicales se dirigían hacia el canto, no parecía conveniente añadir más letras a las propias de la canción. Tampoco se pretendía “leer música” tal como ahora lo conocemos. Simplemente, había que crear una notación que ayudase a recordar si la sílaba a cantar tenía una altura o frecuencia mayor o menor que la precedente.[br][br]Surgieron así en la Edad Media los [i]neumas[/i], unos signos que se colocaban sobre el texto ayudando a refrescar la memoria. Al principio, la posición de estos signos no dependía de su indicación sobre la altura de la nota –notación adiastemática–, solo acompañaba al texto.[br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/sdyshvzv/eYEcROYEh2wbBM5e/material-sdyshvzv.png[/img]