[b]Jedná se o otázku nalezení velikosti největší krychle, kterou lze protáhnou otvorem čtvercového průřezu v jednotkové krychli, vytvořeným tak, aby se jím jednotková krychle nerozpadla na několik částí.[/b][br][br]Problém je spojován s osobou prince [i]Ruprechta Falckého[/i] (1619-1682), který se narodil roku 1619 v Praze jako mladší syn "zimního krále" [i]Fridricha Falckého[/i] (viz [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Ruprecht_Falck%C3%BD]https://cs.wikipedia.org/wiki/Ruprecht_Falck%C3%BD[/url]). Princ Ruprecht si byl vědom toho, že krychlí lze bezpečně "protáhnout" krychli stejných rozměrů a vyslovil názor, že existuje i takové řešení, které by dovolovalo protáhnout krychli větší. [br][br]Geometrickým řešením tohoto problému se zabýval nejprve anglický matematik [i]John Wallis[/i] (1616-1703, viz [url=https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis]https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis[/url]), Ruprechtův vrstevník a přítel. Jemu je připisováno pojmenování problému po Ruprechtovi. Zhruba sto let po Wallisovi pak problém řešil nizozemský matematik [i]Pieter Nieuwland[/i] (1764-1794, viz [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Pieter_Nieuwland]https://en.wikipedia.org/wiki/Pieter_Nieuwland[/url]). Přitom až druhý jmenovaný vyřešil otázku maximálních rozměrů krychle, která může být protažena otvorem v jednotkové krychli. Toto řešení je pak často uváděno jako ona [i]krychle prince Ruprechta[/i] (viz [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube]https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube[/url]).[br][br]Další informace viz "WolframMathWorld: Prince Rupert's Cube: [url=https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html]https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html[/url]" nebo "The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video): [url=https://youtu.be/rAHcZGjKVvg]https://youtu.be/rAHcZGjKVvg[/url]".[br][br]Se jménem prince Ruprechta je spojen ještě jeden objekt, možná známější něž krychle, [b] kapka prince Ruprechta [/b], viz [url=https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta]https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta[/url], nebo [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop]https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop[/url]

[size=100][size=150][b]PROBLÉM: [/b]Jakou největší krychli lze protáhnout otvorem v jednotkové krychli, vytvořeným tak, že se jím jednotková krychle nerozpadne na několik částí?[/size][/size][br]

[size=150][b]ÚKOL č. 1:[/b] Jaký největší čtverec lze vepsat jednotkové krychli?[/size]

[i]Řešení:[/i] Zde je nabídnut dynamický model řezu krychle rovinou. Nastavováním podoby řezu manipulací s určujícími body I, J, K získáme představu o jeho možných tvarech. To nás může dovést, třeba v kombinaci s potřebnými výpočty, k umístění hledaného čtverce maximálních rozměrů.

[i]Řešení:[/i] Hledaný čtverec je vepsán řezu krychle rovinou, který má tvar nepravidelného šestiúhelníku, viz obrázek níže. Toto řešení odpovídá tomu, které provedl [i]Pieter Nieuwland[/i] ([i]John Wallis[/i] pracovel se čtvercem vepsaným řezu krychle ve tvaru pravidelného šestiúhelníku). Dvojím užitím Pythagorovy věty dospějeme k soustavě dvou rovnic druhého stupně. Nezáporné řešení x = 1.06 (zaokrouhleno) této soustavy odpovídá délce strany hledaného čtverce.

[size=150][b]ÚKOL č. 2:[/b] Sestrojte obě krychle?[/size]

[i]Řešení:[/i] Postup řešení v programu GeoGebra, v Grafickém náhledu 3D.

[size=150][b]Zdroje informací:[/b][br][list][*]Alsina, C. & Nelsen, R. B. A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. USA: MAA, Dolciani Mathematical Expositions #50, 2015, str. 130-131.[br][/*][*]WolframMathWorld: Prince Rupert's Cube: [url=https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html]https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html[/url][/*][*][size=150]Burkard Polster: [/size]The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video): [url=https://youtu.be/rAHcZGjKVvg]https://youtu.be/rAHcZGjKVvg[/url][/*][*]Problem of the Week 1225: Square Peg in Square Hole. The Math Forum at NCTM. [url=http://mathforum.org/wagon/current_solutions/s1225.html]http://mathforum.org/wagon/current_solutions/s1225.html[/url][br][/*][*]Kapka prince Ruprechta (ČT: Zázraky přírody) [url= https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta ] https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta [/url][/*][*]Prince Rupert's drop (Wikipedia) [url= https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop ] https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop [/url][/*][/list][/size][list][/list]

[size=150][b]ÚKOL:[/b] Sestrojte pohyblivý model uvažovaného jevu, tj. průniku kostky maximálního rozměru (Ruprechtovy kostky) otvorem v jednotkové kostce. [/size]

[size=150]Zajímavým důsledkem nalezení čtverce maximálních rozměrů, který lze vepsat krychli, je řešení následující úlohy. [b][br][br]ÚKOL:[/b] Umístěte do krychle pravidelný osmistěn maximálních rozměrů.[/size]

[size=150][i]Nápověda pro konstrukci v GeoGebře:[/i] Sestrojte postupně body I, J a K, každý vždy vyznačující čtvrtinu příslušné hrany, viz obrázek, a potom do vstupního řádku zadejte příkaz Osmisten(I, J, K).[/size]