Bunryu Kamimura, Dec 8, 2017

作図は面白い。 もしかしたらこういう作図ができるのではないかと考え、試してその通りになると、証明などしなくても良いように思えてくる。 そして、いろいろ試しているうちに新たな発見がある。 これが数学の魅力ではないかと思えてくる。 そうすると、証明とは何か、作図は証明ではないか、ジオジェブラの作図は証明そのものではないか、という気がしてくる。 でも、そういう多様な現象が出てきて、関連がわからなくなると、統一した見方やすっきりとした見方が欲しくなる。 現象の互いの関係も気になる。 そうなると、やはり証明が必要となる。 多様な現象を整理するために。 原理が何かを探るために。 そこで、今までのことをまとめるために、証明に本格的に取り組むことにした。 でも、ジオジェブラで証明を書くことは難しいと思っていた。 ところがシートに複数の絵を入れたり、テキストで数式を書けることがわかった。 扱ったテーマは、「[b]楕円の極と極線の研究[/b]から[b]楕円に外接する多角形の極と極線の関係[/b]」。 作図だけだと現象が多すぎて混乱してくるけど、証明でまとめるとすっきりとしてくる。 特に、[b]極と極線[/b]がこれらの証明と関連をはっきりしてくれる。 原理は極と極線だった。 これが証明の強力な武器になるとは最初は思っていなかった。

ある仮説をもって作図をすると、その仮説が正しければ作図の結果も予想した通りとなる。 つまり、作図で実験的に証明したことになる。 これは科学でいうと実験にあたり、理論は証明になる。 数学の実験は計算と作図とシュミレーションがあるが、 いずれも仮説が大事だ。 そして、証明は「[b]極と極線[/b]」を使って行われる。 実に単純明快な証明になる。

• 1. 基本の絵から
• 2. まとめの絵
• 3. 作図と証明について
• 4. 円の極と極線の性質
• 5. 外接三角形が一点で交わることの証明
• 6. 円の外接三角形の極線の証明
• 7. 三角形の極線の極線の秘密
• 8. 共役な極線と極点

作図で描かれた図を見ただけではわからないが、その作図の順番によって、条件と結果がはっきりする。 これは、「ＡならばＢ」という命題を示していて、作図の順番によって「ＢならばＡ」という逆の命題も作図で示せる。 つまり、逆も成り立てば、その条件は実験的に同値であると示せる。

• 1. 内接四角形とその逆
• 2. チェバ三角形と外接三角形
• 3. 楕円と極から外接チェバ三角形を作れるか？
• 4. 楕円と極線から三角形を作る
• 5. 極線と楕円と外接四角形（極を通る）
• 6. 楕円と極から外接チェバ三角形を求める
• 7. 楕円と極からチェバ三角形を作図する

どうやら作図の楽しさは、実験と同じで、仮説を立ててその仮説が正しいかどうかを確かめることができる所にあるようだ。 そして、それをやっていると、だんだん原理へとさかのぼっていくことも体験する。 つまり、定理→定理→定理・・・ではなく、現象→現象→定理 と遡っていくこともあるのだ。 最後に証明で定理としてまとめた。

• 1. 内分と外分（調和列点）
• 2. 調和列点から三角形を作る
• 3. 極線の調和列点
• 4. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
• 5. 円の場合の調和点列の証明

現象は多様な様相を示す。 でも、そこには単純な本質が潜んでいる。 その本質がつかめると一気に見晴らしが良くなる。 証明は登山のようなものだ。 ここでの本質は極線。 円や楕円の外接多角形が示す現象とその裏に潜む法則を「極と極線」で探ることができる。

• 1. 二次曲線に外接する多角形と極線
• 2. パスカルの定理とブリアンションの定理の証明
• 3. 外接四角形の対角線の証明
• 4. 調和点列であることの証明
• 5. 極と極線のまとめ