Die Waldschlösschenbrücke findet auf jeden Fall Zustimmung, wenn sie als mathematisches Objekt betrachtet wird. Es ist nun länger kein Geheimnis mehr: Die Brückenbögen verhalten sich wie eine Parabel, folgen damit einer quadratischen Funktionsgleichung [math]f(x) = ax²+bx+c[/math]. Das lässt sich auch mit GeoGebra verifizieren. Wir wollen für diese Gleichung die konkreten Koeffizienten a, b und c herausfinden, damit wir die Brücke näher untersuchen können. Aus den technischen Daten geht hervor: [list=1] [*] Bogenspannweite [math]w_B= 145 m[/math] [*] größte Höhe des Bogens über Fahrbahn [math]h_B = 9,7 m[/math] [*] Höhe der Fahrbahn über Wasser [math]h_F = 14 m[/math] [/list]
Aufgaben [list=1] [*] Graphischer Teil Im Arbeitsblatt ist die Brücke maßstabsgerecht so im Koordinatensystem angeordnet, dass der Hochpunkt des Brückenbogens auf der y-Achse liegt und der Elbpegel auf der x-Achse. Überlege, wie der Hochpunkt ermittelt werden kann, wenn die Funktionsgleichung vorliegt. [list] [*] Überzeuge dich davon, dass der Brückenbogen einer quadratischen Funktion folgt und blende den Graphen der Funktion ein. Der (rote) Punkt T ist auf dem Graphen von [math]f(x)[/math] beweglich. Diese quadratische Funktion wurde mit dem Verfahren der mathematischen Regression mittels der GeoGebra-Funktion zur Ermittlung polynomialer Trendfunktionen n-ten Grades [math]f(x)=TrendPoly[f,n][/math] aus einer Liste von gegebenen Punkten bestimmt. [*] Blende die Punkte ein. Diese (blauen) Punkte sind frei verschieblich. Aus den Koordinaten dieser Punkte berechnet [math]TrendPoly[f,2][/math] eine Funktion 2-ten Grades mit der besten Annäherung an diese Punkte. Ein Reset des Arbeitsblattes kann immer mit dem Symbol rechts oben erfolgen. [*] Blende die Fahrbahn ein. Du siehst, dass sie einer Geraden [math]g(x)[/math] genügt und mit den Brückenbögen Schnittpunkte bildet. [*] Blende die Bogenspannweite [math]w_B[/math] ein. Gibt es einen Zusammenhang zu den Nullstellen der Funktion [math]f(x)[/math]? [*] Blende die Höhe des Bogens über der Fahrbahn und die Höhe der Fahrbahn über dem Wasser ein. Was haben diese Höhen mit dem Hochpunkt gemeinsam? [*] Blende die Tangente [math]t(x)[/math] im Punkt T an [math]f(x)[/math] ein. Mit ihr kannst du deren Steigung und die Steigungswinkel ermitteln. [*] Die Graphen der Funktionen [math]f(x)[/math] und [math]g(x)[/math] bilden Schnittpunkte [math]S_1[/math] und [math]S_2[/math]. Blende diese ein. Wie können diese ermittelt werden? [/list] [*] Mathematischer Teil Gegeben sind die 3 Größen [math]w_B[/math], [math]h_B[/math] und [math]h_F[/math] der Brücke. Aus diesen Größen wollen wir allgemeine Berechnungsformeln für die Berechnung von a, b und c, als auch für die Schnittpunkte [math]S_1[/math] und [math]S_2[/math] der beiden Graphen und den Winkeln von Bogen und Fahrbahn in diesen Schnittpunkten aufstellen. [list] [*] Ermittle für die Funktionsgleichung [math]f(x) = ax²+bx+c [/math]die erste Ableitung [math]f'(x)[/math]. [*] Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen gelten für den Hochpunkt? Ermittle aus der Tatsache, dass der Hochpunkt auf der y-Achse liegt, den Wert für b. [*] Aus der Lage des Hochpunktes [math]H(0, h_F + h_B) [/math] lässt sich auch der Wert für c gewinnen. Wie geht das? [*] Da nun b und c berechenbar sind, sollte nun die Berechnung von a möglich sein. Überlege, wie dies mit der Bogenspannweite [math]w_B[/math] möglich ist. Stelle die Berechnungsformel für a auf. [*] Die Koeffizienten a, b und c von [math]f(x)[/math] sind jetzt bekannt und damit die Funktionsgleichung [math]f(x)[/math]. Gemeinsam mit der Funktionsgleichung [math]g(x)[/math] lassen sich die Schnittpunkte [math]S_1[/math] und [math]S_2[/math] der beiden Graphen bestimmen. Welche Bedingung gilt hierfür? Welche allgemeine Berechnungsformel erhältst du für die Stellen, an denen die Schnittpunkte auftreten? [*] Bestimme nun, welche Steigung bzw. welcher Winkel an diesen Schnittpunkten vorliegt. [*] Stelle die Gleichung für die Tangente im Punkt [math]T(x_T,y_T)[/math] auf. [/list] [*] Rechnerischer Teil Nehme mit den gegebenen technischen Daten Bogenspannweite [math]w_B = 145 m[/math] größte Höhe des Bogens über Fahrbahn [math]h_B = 9,7 m[/math] Höhe der Fahrbahn über Wasser [math]h_F = 14 m[/math] die konkreten Berechnungen vor und überprüfe deine Berechnungen mit dem Arbeitsblatt, in dem du die Größen maßstabsgerecht umrechnest. [/list]