[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br]Las coordenadas (p[sub]x[/sub], p[sub]y[/sub]) de un punto cualquiera P en el plano cartesiano son un par de números ordenados (primero [i]x[/i], después [i]y[/i]) que indican la posición de P en el plano. El centro de coordenadas es el punto (0, 0). Si consideramos los vectores[center][b]i[/b] =[math]\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)[/math] y [b]j[/b] =[math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math], [/center]las coordenadas de P significan que el vector de posición de P (que denominamos [b]p[/b]) es una combinación lineal de los vectores [b]i[/b], [b]j[/b]:[br][center][b]p[/b]= p[sub]x[math]\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)[/math][/sub]+p[sub]y[/sub][b][math]\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)[/math][/b][/center]Es decir:[center][b]p[/b] = p[sub]x[/sub] [b]i[/b] + p[sub]y[/sub] [b]j[/b][/center]Esta combinación lineal depende del sistema de referencia [color=#0000ff]S[sub]2[/sub]={(0, 0), [b]i[/b], [b]j[/b]}[/color], formada por el centro de coordenadas y el par de vectores independientes {[b]i[/b], [b]j[/b]}. Este par de vectores se denomina [b]base canónica[/b], por lo que al sistema S[sub]2[/sub] le llamaremos [b]sistema de referencia canónico[/b] (también se conoce como [i]sistema de referencia universal[/i]) del plano cartesiano.[br][br]Si ahora tomamos un sistema de referencia diferente [color=#0000ff]S={O, [b]a[/b], [b]b[/b]}[/color], donde O=(o[sub]x[/sub], o[sub]y[/sub]) es un punto del plano y [b]a[/b] y [b]b[/b] son vectores independientes, un punto P' de coordenadas las mismas que P [color=#cc0000][color=#000000]pero [/color]con respecto a este nuevo sistema de referencia S[/color] tendrá como vector de posición, en S, una combinación lineal de los vectores [b]a[/b], [b]b[/b]:[center][math]\vec{OP'}[/math]= p[sub]x[/sub] [b]a[/b] + p[sub]y[/sub] [b]b[/b][/center]Por lo que sus coordenadas en el plano cartesiano serán:[br][center][b]p'[/b]= [math]\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\end{matrix}\right)_S[/math]= [math]\left(\begin{matrix}o_x\\o_y\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][b][math]\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\end{matrix}\right)[/math][/b][/center]La expresión de P' se puede manejar con mayor facilidad sustituyendo la ecuación vectorial por su equivalente ecuación matricial. Para ello, consideramos la matriz M = ([b]a[/b] | [b]b[/b]), denominada [b]matriz de cambio de base[/b]:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\;\begin{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}b_x\\b_y\end{matrix}\right)[/math][/center]De este modo, P' se puede expresar simplemente como [color=#999999](recordemos el abuso de notación)[/color]:[br][center][size=150]P' = O + M P[/size][br][/center]En la construcción, mueve P para observar qué le sucede a P'. En particular, observa que cuando P ocupa la posición (1, 1), P' ocupa la posición O + 1[b]a[/b] + 1[b]b[/b].[br][br][color=#999999]Nota: Que P' quede determinado por S={O, [b]a[/b], [b]b[/b]} no significa que S quede determinado por P'. Es decir, el mismo punto P' puede ser imagen del mismo punto P respecto a varios sistemas de referencia diferentes. Por ejemplo, al iniciarse la construcción, P'=(4, 7) es la imagen de P respecto al sistema {O=(5, 2), [b]a[/b]=(3, 1), [b]b[/b]=(-2, 2)}, pero P' también es (4, 7) respecto al sistema {O=(6, 0), [b]a[/b]=(4, 1), [b]b[/b]=(-3, 3)}.[/color]

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]