完全四角形と完全四辺形

Bunryu Kamimura, Dec 21, 2015

三角形を３線分ではなく、３直線の交わったものととらえるとより広い性質が浮かび上がる。 同様に、４線分の四角形ではなく、４直線の四角形を考えると、もっと広がる。 どんな世界が見えてくるのだろうか。

Table of Contents

  1. 完全四角形
    1. 完全四角形（四辺形）
    2. メネラウスの定理
    3. チェバの定理の発見のし方
    4. 完全四角形からミケル点へ
    5. 完全四角形から調和点列へ
    6. 相似の軸
    7. 完全四角形の内心と傍心
    8. 円に内接する完全四角形について
    9. 完全四角形に外接する楕円について
  2. ニュートン線
    1. ニュートン線
    2. ニュートン外接四角形
    3. ニュートン線楕円
    4. ニュートン線放物線
    5. ニュートン線と放物線
    6. ニュートン線双曲線
  3. スタイナー点（ミケル点）とスタイナー円
    1. ミケル・スタイナー点
    2. スタイナー点とスタイナー円
    3. 完全四角形の外接円は一点（焦点）で交わる
    4. 完全四角形から準線を作図する
    5. スタイナー円
    6. 完全四角形のスタイナー円の性質（補題）
    7. 完全四角形の向かい合う辺の垂直二等分線の交点
    8. 内接四角形の内接楕円と極線
    9. 円に外接する四角形の作る外接楕円
    10. 完全四角形の内接楕円と外接楕円
  4. 円に内接する完全四角形の性質
    1. 完全四角形の外接円
    2. 内接する完全四角形のミケル点が垂直の証明
    3. 円に内接する完全四角形の作る完全四角形
    4. 円に内接する完全四角形の極とミケル点
    5. 円に内接する完全四角形のミケル点
    6. 円に内接する完全四角形のある性質
    7. ミケル点と極
    8. 円に内接する完全四角形の対称性
  5. その他
    1. ジーマンの定理
    2. 完全四辺形の４本のオイラー線
    3. 直角双曲線の性質
    4. クーリッジの定理

1.

完全四角形

完全四角形は拡張の方向が二つあります。 ①調和点列から極と極線へという方向 ②ミケル点やスタイナー円から放物線との関連の方向

  • 1. 完全四角形（四辺形）
  • 2. メネラウスの定理
  • 3. チェバの定理の発見のし方
  • 4. 完全四角形からミケル点へ
  • 5. 完全四角形から調和点列へ
  • 6. 相似の軸
  • 7. 完全四角形の内心と傍心
  • 8. 円に内接する完全四角形について
  • 9. 完全四角形に外接する楕円について

1.1.

完全四角形（四辺形）

三角形の各辺を延長して直線にした三角形の方が一般的であると同様に、四角形の各辺を延長して直線にすると、さらに大きな構造が現われる。 この構造全体を完全四角形（四辺形）という。 ABCDをその頂点、EFGを対頂点、それらを通る一双の直線を対辺という。 この四角形は４つの完全三角形からできている。その三角形とは？
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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2.

ニュートン線

ニュートン線など面白い性質がある。 さらに二次曲線の接線から完全四辺形を作図してみる。 特に放物線との関連から、ミケル点の意味も分かってくる。

  • 1. ニュートン線
  • 2. ニュートン外接四角形
  • 3. ニュートン線楕円
  • 4. ニュートン線放物線
  • 5. ニュートン線と放物線
  • 6. ニュートン線双曲線

2.1.

ニュートン線

完全四辺形の３つの対角線の中点は一直線上にある。[br]（１６８５ニュートン）
こんな性質もある。３円は一点で会する。
平行四辺形を利用して証明する方法。余形の定理を使う。
面積を利用して証明する方法。△BFI＝▢ADHE／４＝△IFCという定理がある。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

スタイナー点（ミケル点）とスタイナー円

完全四角形の各三角形に注目してみる。 各三角形の外接円は一点で交わる。 各三角形の外心は一円周上にある。 各三角形の垂心は一直線上にある。 ミケル点とスタイナー点は同じ。

  • 1. ミケル・スタイナー点
  • 2. スタイナー点とスタイナー円
  • 3. 完全四角形の外接円は一点（焦点）で交わる
  • 4. 完全四角形から準線を作図する
  • 5. スタイナー円
  • 6. 完全四角形のスタイナー円の性質（補題）
  • 7. 完全四角形の向かい合う辺の垂直二等分線の交点
  • 8. 内接四角形の内接楕円と極線
  • 9. 円に外接する四角形の作る外接楕円
  • 10. 完全四角形の内接楕円と外接楕円

3.1.

ミケル・スタイナー点

完全四角形でミケル・スタイナー点を作図。４つの円は一点で交わる。3-2は４つの外心と３のミケル点が同一円周上にある。他のミケル点でも確かめてみよう。外心のコマンドはTriangleCenter(A, D, F, 3)。
４円が一点で交わることは内接四角形の定理を用いて簡単に証明できる。円と円の交点をMとする。▢ABFMが内接四角形であることを示す。
４円の中心が同一円周上にあることを示す。証明の筋道はナビゲーションを戻して、一つひとつ確かめながらたどってみよう。後はMがこの円周上にあることを示す。
点Mが円Kの円周上にあることを示すために、まず△GMEと△HMBが相似であることを示す。
不思議なことを発見した。BEとDFの垂直二等分線の交点はこの円周上にある。なぜだろう？
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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4.

円に内接する完全四角形の性質

円に内接する完全四角形について調べてみます。 とても面白い性質を示します。 ①極と極線の関係 ②ミケル点は双曲線の焦点 ③ミケル点は極線上にある ④円の中心と極とミケル点は一直線上にある ⑤ミケル点は相似の中心

  • 1. 完全四角形の外接円
  • 2. 内接する完全四角形のミケル点が垂直の証明
  • 3. 円に内接する完全四角形の作る完全四角形
  • 4. 円に内接する完全四角形の極とミケル点
  • 5. 円に内接する完全四角形のミケル点
  • 6. 円に内接する完全四角形のある性質
  • 7. ミケル点と極
  • 8. 円に内接する完全四角形の対称性

4.1.

完全四角形の外接円

KIを結んでみよう。
円に内接する完全四角形のGHを直径とする円は、その外接円に直交する。[br]KIを結ぶと、AK⊥KI。[br]これを証明してみよう。
証明のGeoGebraシート
[url=https://www.geogebra.org/m/kasjde7w]円に内接する完全四角形のミケル点 – GeoGebra[/url]
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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5.

その他

  • 1. ジーマンの定理
  • 2. 完全四辺形の４本のオイラー線
  • 3. 直角双曲線の性質
  • 4. クーリッジの定理

5.1.

ジーマンの定理

完全四辺形の一つの辺が他の３辺の作る三角形のオイラー線に平行であるならば、残りの辺についても同様のことが成り立つ。[br]（ジーマン１９００）
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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