[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/qg2gkkat]Música y Matemáticas[/url].[/color][br][br][b]Congruencias modulares[/b][br][br]Analicemos ahora cómo efectuamos los cálculos para averiguar qué día de la semana caerá un día determinado a partir de hoy.[br][br]Para ello no emplearemos la notación introducida por Gauss en su obra cumbre, [i]Disquisiciones aritméticas[/i] (1801), referencia obligatoria en la Teoría de Números, sino una muy similar –derivada de aquella- que actualmente se utiliza en los programas informáticos.

Como los días de la semana vuelven a repetirse cada 7 días, es decir, vuelven a ser de la misma clase, sumar 7 y no sumar nada viene a ser lo mismo a efectos de cálculo:[br][center]7 (mod7) = 0[/center]La expresión anterior se lee “7 módulo 7 es igual a 0”, y significa que el resto del número 7 al ser dividido por 7 es 0.[br][br]Una consecuencia de ese resultado es la siguiente igualdad:[br][center]L + 7 (mod7) = L (mod7) = 1[/center]Es decir, el resultado de sumar 7 días a un lunes cualquiera vuelve a dar lunes. A este tipo de operaciones se le conoce como [i]aritmética modular[/i]. Como los restos posibles de dividir cualquier número entre 7 son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, el resultado de aplicar a una expresión cualquiera el módulo 7 arrojará como resultado uno de estos números.[br][br]Resumiendo, decir que “L+7 es igual que L módulo 7” simplemente significa que ambos días, L+7 y L, pertenecen a la misma [i]clase de equivalencia[/i] [lunes] (llamada [i]clase de congruencia[/i] en la aritmética modular), y por lo tanto los números correspondientes a esos lunes arrojan el mismo resto 1 al ser ambos divididos por 7.[br][br]Sigamos con los cálculos. Observamos que:[br][center]L + 14 (mod7) = 1[/center]pues añadir 14 días equivale a sumar dos semanas enteras.[br][br]De igual forma, para cualquier número natural [i]n[/i]:[br][center]L + 7n (mod7) = 1[/center]pues hemos sumado [i]n[/i] semanas enteras, por lo que todos ellos son elementos de la misma clase [lunes].[br][br]Por otra parte, tenemos que:[br][center]L + 8 (mod7) ≡ L+ 1 (mod7) = M (mod7) = 2[/center]pues 8 = 1 + 7, por lo que al sumar 8 y al sumar 1 se obtienen elementos de la misma clase (en este caso, [martes]).[br][br]En general, como cada siete días la cuenta vuelve a cero, sumar N días a un día de semana particular equivale a sumar el resto de dividir N entre 7, es decir, sumar N (mod 7), tal como indica la siguiente tabla:

Es importante señalar aquí, para nuestros propósitos, que la aritmética modular se puede aplicar con éxito tanto a los días de la misma clase como de diferentes clases porque todos ellos guardan la misma distancia entre sí: entre el lunes y el miércoles de una semana determinada hay la misma distancia que entre el miércoles y el viernes.[br][br][b]El año sin martes 13[/b][br][br]Veamos cómo el empleo de la aritmética modular nos permite resolver rápidamente esta cuestión: ¿es posible un año de nuestro calendario actual en donde no coincida ningún [i]agresivo [/i]martes con un [i]nefasto [/i]13?[br][br]Ya sabemos que no es el caso de este año 2008, pues el día siguiente al Día Escolar de las Matemáticas es el 13 de mayo, martes. Pero, ¿habrá algún año que se libre de esta coincidencia?[br][br]Para averiguarlo, tomemos la semana del 13 de enero de ese supuesto año como semana inicial y llamemos C al cardinal o número correspondiente al día de la semana de ese 13 de enero. Así, el número C puede variar entre 1 y 7, es decir, entre lunes y domingo.[br][br]Como enero tiene 31 días, lo que ofrece resto 3 al dividirlo por 7, el día de semana correspondiente al 13 de febrero será igual C+3, módulo 7:[br][center]C + 31 (mod7) = C + 3 (mod7)[/center]Hagamos lo mismo con los distintos meses. Ya que su número de días, de enero a noviembre, sigue la secuencia {31, 28 (29), 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30}, añadidos al número C y quedándonos con el resto de dividir entre 7, obtenemos:

Por ejemplo, en este año bisiesto 2008 los días de la semana correspondientes al 13 son:

Ordenando los días de la semana entre C y C+6, como muestra la siguiente tabla, observamos que cada uno aparece al menos una vez. Esto significa que independientemente del valor de C, el día 13 cae al menos una vez en cada uno de los días de la semana. Luego es imposible que exista un año en el que ningún 13 caiga en martes. Lo sentimos por los supersticiosos.

Es más, gracias a esta tabla de frecuencias también podemos predecir cuáles son los [i]fatídicos [/i]años en donde hasta tres veces el día 13 coincide en martes: son los años no bisiestos en donde el 13 de enero (C) corresponde a sábado (y por lo tanto C+3 a martes) y los años bisiestos en donde el 13 de enero cae en martes. Eso fue lo que sucedió en el 2007 y, [i]afortunadamente[/i], no volverá a suceder hasta el año 2018.[br][br]Mientras tanto, vamos a ver qué tiene que ver todo esto con la música.