[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/kxxrwxyg]Cómo se hace... con GeoGebra[/url].[/color][br][br]En la [url=https://www.geogebra.org/m/w6x9jjwp]actividad anterior[/url] se ha mostrado cómo crear rápidamente una elipse general usando la curva paramétrica basada en su centro [b]O[/b] y sus semiejes [b]a[/b] y [b]b[/b]:

Este procedimiento permite manejar con agilidad elipses generales (es decir, cuyos ejes no tienen por qué ser paralelos al los ejes de coordenadas).[br][br]Alternativamente, podemos usar la herramienta o comando específicos de GeoGebra para trazar esa elipse general, previo cálculo de la posición de los focos (C y C'):[br][br][center]Elipse(C, C', Punto en la elipse)[/center]Dados O, A y B, es fácil calcular uno de los focos como:[br][br][center]C = O + sqrt((abs(A - O))² - (abs(B - O))²) VectorUnitario(A - O)[/center]y el otro foco, como:[br][center]C' = O + O - C[/center]Como A es un punto de la elipse, ya podemos aplicar el comando de GeoGebra y obtener tanto la curva como su ecuación:

Ahora bien, el uso de la herramienta específica de GeoGebra no es tan general como el uso de la curva paramétrica [b]c[/b], ya que GeoGebra solo dispone de comandos específicos para unas pocas curvas.[br][br]Incidentalmente, observemos que los coeficientes de la ecuación son decimales, mientras que, tal como hemos colocado los puntos O, A y B, tenemos que [b]a[/b]=(3,1), [b]b[/b]=(-0.6,1.8), por lo que a[sup]2[/sup]=10 y b[sup]2[/sup]=3.6, así que deberíamos esperar que GeoGebra nos devolviese una ecuación con coeficientes enteros. Estos coeficientes enteros los podemos recuperar fácilmente escribiendo en la vista CAS: [b]Simplifica(c)[/b], [br][br]Ahora bien, ¿qué sucede si GeoGebra no dispone de un comando específico para la curva paramétrica? En este caso podemos intentar comprobar si tal curva puede ser generada a partir de alguna otra [b]curva canónica[/b] mediante un cambio de base, tal como se detalla en el libro [url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url]. [br][br]Por ejemplo, para el caso anterior, la curva canónica que genera todas las elipses es la circunferencia unidad centrada en el origen, de ecuación f(x,y)=0, donde [b]f(x,y) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2 [/sup]- 1[/b]. El nuevo sistema de referencia es {[b]O[/b], [b]a[/b], [b]b[/b]}, por lo que la matriz de cambio de base es:[br][center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\begin{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}b_x\\b_y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\begin{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}-0.6\\1.8\end{matrix}\right)[/math][/center]Llamando M' a su inversa, obtenemos, gracias al uso de la vista CAS, la siguiente ecuación:

El procedimiento de cambio de sistema de referencia no solo nos aporta inmediatamente los coeficientes enteros de la ecuación, sino que lo podemos aplicar a muchas más curvas además de la elipse. En particular, se puede aplicar, por ejemplo, a todas las curvas cuadráticas, incluidas las cónicas degeneradas y a todas las funciones cúbicas.

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]