Coordenadas homogéneas

[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra [/i][url=https://www.geogebra.org/m/z5d7n5n4]Cambio de sistema de referencia[/url].[/color][br][br][color=#BF9000]Comando GeoGebra asociado: AplicaMatriz[/color][br][br]Hemos visto que si un punto P' tiene las mismas coordenadas que P pero respecto a un nuevos sistema de referencia S={O, [b]a[/b], [b]b[/b]}, entonces sus coordenadas canónicas (es decir, respecto al sistema de referencia canónico S[sub]2[/sub] ={(0,0), [b]i[/b], [b]j[/b]}) son:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\end{matrix}\right)[/math]= p[sub]x[/sub][math]\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\right)[/math]+p[sub]y[/sub][b][math]\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\end{matrix}\right)[/math][/b]+[math]\left(\begin{matrix}o_x\\o_y\end{matrix}\right)[/math][/center]O, de forma más compacta:[center]P' = M P + O[/center]donde M = ([b]a[/b] | [b]b[/b]), es la matriz de cambio de base:[center][math]M=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\;\begin{matrix}b_x\\b_y\end{matrix}\right)[/math][/center]Si sumamos las matrices del segundo miembro en la primera ecuación matricial, obtenemos:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}p_xa_x+p_yb_x+o_x\\p_xa_y+p_yb_y+o_y\end{matrix}\right)[/math][/center]que es equivalente a la ecuación matricial:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_xp_x+b_xp_y+o_x\\a_yp_x+b_yp_y+o_y\\\;0\;\;\;+\;\;0\;\;+1\end{matrix}\right)[/math][/center]que a su vez se puede expresar como:[br][center][math]\left(\begin{matrix}p'_x\\p'_y\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_x\;b_x\;o_x\\a_y\;b_y\;o_y\\0\;\;0\;\;1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\1\end{matrix}\right)[/math][/center]Observa el modo de escribir como matrices 3x1, con la última coordenada igual a 1, las coordenadas de P y P'. Estas nuevas coordenadas se denominan [b]coordenadas homogéneas[/b]. La matriz 3x3 del segundo miembro se llama [b]matriz ampliada[/b], porque a la matriz de cambio de base M le hemos añadido las coordenadas homogéneas del punto O. Llamando T a esta matriz, la ecuación anterior queda como:[center][color=#cc0000][size=150]P' = T P[/size][/color][/center][color=#999999]Nota: El término "homogéneas" alude a que las ecuaciones polinómicas (en varias variables) que usan tales coordenadas tienen todos sus monomios de igual grado. Por ejemplo la ecuación y - x[sup]3[/sup] + 1= 0 en coordenadas cartesianas se expresa como yz[sup]2[/sup] - x[sup]3[/sup] + z[color=#999999][sup]3[/sup][/color] = 0 en coordenadas homogéneas. Se usan en el [i]plano proyectivo[/i], con el cual no nos meteremos en este libro. [/color][br][br]A estas alturas, nos podemos preguntar para qué nos estamos complicando la vida, pues la expresión a la que hemos llegado, aunque más breve, es más complicada que la expresión de partida. ¿Para qué sirve, entonces, usar las coordenadas homogéneas?[br][br]Como veremos más adelante, estas coordenadas facilitan el manejo de las transformaciones afines. La clave reside en que en la última ecuación (P' = T P) [b]no aparece la operación suma[/b]. Solo hay un producto de matrices. Así que, en lo sucesivo, para aplicar cualquier transformación afín nos bastará con multiplicar por la matriz ampliada correspondiente a esa transformación afín (es decir, a ese cambio de sistema de referencia).[br][br][color=#999999]Nota: Aunque en la construcción aparece P' = T P, debemos interpretar que en realidad las coordenadas bidimensionales de P' corresponden a las dos primeras componentes del vector tridimensional T P (cuya tercera coordenada es siempre 1). Recuerda que GeoGebra dispone de un comando específico para realizar correctamente esta interpretación del producto T P. Se trata del comando [color=#cc0000]AplicaMatriz[/color](T, P), que se puede aplicar tanto a puntos como a imágenes.[/color]
[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]

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