[color=#999999]Esta actividad pertenece al [i]libro de GeoGebra[/i] [url=https://www.geogebra.org/m/mrvzmuk6]Julia y Mandelbrot[/url].[/color][br][br][b]Se recomienda [url=https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/sjce3yv9]descargar el archivo ggb[/url] para una mayor agilidad del escáner.[/b][br][br]Hemos visto que, para un determinado valor de la constante [b][color=#cc0000]c[/color][/b], el conjunto de Julia asociado a [color=#cc0000][b]c[/b][/color] está formado por todos los valores de partida que generan sucesiones [b]acotadas[/b], da igual si son convergentes o caóticas. Pero en vez de limitarse a valores reales (puntos en el eje X) el auténtico [i]conjunto de Julia[/i] considera todos los valores complejos (puntos en el plano XY), pues estos "números complejos" también se pueden sumar y multiplicar.[br][list][*]Nota: aquí consideramos solo los conjuntos de Julia correspondientes a la función f(z) = z[sup]2[/sup] + c, simbolizados como [color=#cc0000][b]J[sub]c[/sub][/b][/color]. Estos conjuntos de Julia se pueden generalizar a otras funciones.[br][/*][/list]Existe una estrecha relación entre el conjunto de Julia asociado a [color=#cc4125][b]c[/b][/color] y el conjunto de Mandelbrot. Resulta que [color=#cc0000][b]J[sub]c[/sub][/b][/color] será conexo (es decir una sola región y no varias aisladas) solo cuando [color=#cc4125][b]c[/b][/color] pertenezca al conjunto de Mandelbrot.[br][br]Para casi todo valor de [b][color=#cc0000]c[/color][/b], el conjunto de Julia es un fractal. El objeto resultante no es un fractal para [color=#cc0000][b]c = -2[/b][/color] (es el intervalo [-2, 2]) y [color=#cc0000][b]c = 0[/b][/color] (es el círculo unidad), aunque no se sabe si estas dos son las únicas excepciones.[br][br]Si detenemos la sucesión en algún paso (como hace en la aplicación el deslizador de iteraciones), los valores de [color=#cc0000][b]c[/b][/color] pueden generar vistosos conjuntos conocidos como conjuntos de Julia "llenos". El verdadero conjunto de Julia [color=#cc0000][b]J[sub]c[/sub][/b][/color] sería la frontera, es decir, el límite del conjunto lleno cuando el número de iteraciones tiende a infinito. [br][br]En la siguiente tabla puedes ver algunos ejemplos, todos ellos con el centro de la vista gráfica en (0,0) y zoom con factor 5. Puedes ampliar cualquier imagen pulsando sobre ella.[br][br][table][tr][td][/td][td]Posición de [b][color=#cc0000]c[/color][/b][/td][td]Iteraciones[/td][td][br][/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/pvwccpkr/tS7pYNyIzmBVM6BF/material-pvwccpkr.png][img]https://www.geogebra.org/resource/fukpgaut/H1JpSfJnkWsszGsu/material-fukpgaut.png[/img][/url][/td][td](0.285, -0.01)[/td][td]57[/td][td]Conjunto de Julia lleno. El complejo [b][color=#cc0000]c[/color][/b] no pertenece al conjunto de Mandelbrot, por lo que el conjunto frontera (el verdadero conjunto de Julia) es inconexo.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/r78g7jru/dTAPyLYmYc3Hoe40/material-r78g7jru.png][img]https://www.geogebra.org/resource/tcrgrgrd/L10qYqtTPIrwwqQS/material-tcrgrgrd.png[/img][/url][/td][td](0.285, -0.01)[/td][td]114[/td][td]Al duplicar el número de iteraciones, el conjunto se va vaciando. Ya es evidente que el conjunto no es conexo.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/duttwrkd/alkvfBBZ0DsaEADL/material-duttwrkd.png][img]https://www.geogebra.org/resource/b4fgkddr/UCZufGcGaBApFXoo/material-b4fgkddr.png[/img][/url][/td][td](0.285, -0.01)[/td][td]228[/td][td]Al volver a duplicar el número de iteraciones, vemos que este conjunto de Julia estará formado por un conjunto de puntos aislados.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/cdan4qjj/5QTo6zkw8CZvR1Si/material-cdan4qjj.png][img]https://www.geogebra.org/resource/xc9udqhw/GSISC0f5qDlN4VKX/material-xc9udqhw.png[/img][/url][/td][td](-0.8, 0.156)[/td][td]72[/td][td]Otro ejemplo de conjunto de Julia lleno. El conjunto de Julia correspondiente a este valor de [b][color=#cc0000]c[/color][/b], al igual que el anterior, es inconexo, pues este valor no pertenece al conjunto de Mandelbrot.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/vmnr8tqn/HPmAi7hncwtkTI5K/material-vmnr8tqn.png][img]https://www.geogebra.org/resource/phm98suy/8A1Lppo3py7cgvos/material-phm98suy.png[/img][/url][/td][td](0, 1)[/td][td]89[/td][td]Este conjunto de Julia lleno se conoce como fractal [i]dendrita[/i]. Corresponde al número complejo [b][color=#cc0000]c = i[/color][/b]. El conjunto de Julia correspondiente es conexo, pues [b][color=#cc0000]i[/color][/b] pertenece al conjunto de Mandelbrot.[/td][/tr][tr][td][url=https://www.geogebra.org/resource/pvf2eu2f/1LvKJGiRbNMHywh7/material-pvf2eu2f.png][img]https://www.geogebra.org/resource/gpsqkpzj/eGY02N5YmeXprRQx/material-gpsqkpzj.png[/img][/url][/td][td](-0.123, 0.745)[/td][td]60[/td][td]Este último ejemplo de conjunto de Julia lleno tiene el nombre de fractal [i]conejo de Douady[/i]. El correspondiente conjunto de Julia es conexo.[/td][/tr][/table][br][br]En esta actividad puedes alternar la visualización del conjunto de Julia (más exactamente, del conjunto de Julia lleno) asociado a [color=#cc4125][b]c[/b][/color] y el conjunto de Mandelbrot pulsando el botón "Conjunto de Julia" o "Conjunto de Mandelbrot". También podrás elegir el valor de la constante [color=#cc4125][b]c[/b][/color] (que no tiene por qué ser un número real, puede ser cualquier número complejo).

[color=#999999]Autor de la actividad y construcción GeoGebra: [url=https://www.geogebra.org/u/rafael]Rafael Losada[/url].[/color]